Вопросы по матану

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

по курсу «Высшая математика»

для групп В2 – 11, 12п, 12э.

2007 – 2008 уч.год.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Определения и свойства. Таблица основных интегралов.

2. Основные методы интегрирования (заменой переменной и по частям).

3. Комплексные числа. Основные операции над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Формула Эйлера. Формула Муавра возведения комплексного числа в натуральную степень. Извлечение корня из комплексного числа.

4. Интегрирование рациональных функций.

5. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

6. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Верхние и нижние интегральные суммы, их свойства.

7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

8. Ограниченность интегрируемой функции

9. Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.

10. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.

11. Основные свойства определенного интеграла.

12. Формула среднего значения для определенного интеграла.

13. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

14. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

15. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.

16. Применение определенного интеграла. Понятие спрямляемой кривой и ее длины. Вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла (в том числе кривой, заданной параметрически, в декартовых и полярных координатах).

17. Понятие квадрируемой плоской фигуры и определение ее площади. Вычисление площади криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.

18. Понятие кубируемого тела и его объема. Вычисление объемов некоторых тел, в том числе тел вращения. Вычисление площадей их поверхностей.

19. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.

20. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

21. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

22. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

23. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

24. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса.

25. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).

26. Степенной ряд. Теорема Абеля.

27. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

28. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора e^x, sin x, cos x, (1+x)^α, ln(1+x).

29. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидова пространства. Множества точек евклидова пространства. Окрестность точки. Последовательность точек. Предел последовательности точек. Определение функции нескольких переменных.

30. Определение предела функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.

31. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

32. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

33. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши. Интегральная кривая. Уравнения с разделяющимися переменными.

34. Понятие квадратур обыкновенного дифференциального уравнения. Общий интеграл уравнения. Общее решение. Интегрирование однородного уравнения первого порядка.

35. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Нахождение его решения. Метод вариации постоянной.

36. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.

37. Интегрирующий множитель. Доказательство его существования. Общий вид интегрирующего множителя. Примеры нахождения интегрирующего множителя.

38. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра.

39. Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.

40. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение общего решения в случае n различных действительных корней, в случае кратного корня и в случае комплексных корней.

41. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нахождение общего и частного решения.

Лектор Михайлов В.Д.