Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г

21.1.1. Классическая электронная теория дисперсии

Последовательное описание взаимодействия света с веществом возможно только в рамках квантовой теории. Однако, во многих случаях можно ограничиться описанием в рамках волновой (электромагнитной) теории излучения и классической электронной теории , согласно которой каждую молекулу среды можно рассматривать как систему зарядов, имеющих возможность совершать гармонические колебания - как систему осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания. Движение этих осцилляторов можно рассматривать на основе законов Ньютона.

21.1.1.1. СВЯЗЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ С ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ МОЛЕКУЛЫ

Из теории Максвелла следует(см.16.5.2), что

.

Диэлектрическая проницаемость вещества εпоказывает, во сколько раз E0 - напряженность электрического поля в вакууме больше, чем Е- напряженность поля в среде (см. 9.13.3):

.

Как известно (см. 9.13.3), поле в среде уменьшается за счет возникновения встречного поля Е', вызванного поляризацией сре-

ды. Величина Е'связана с поляризованностью диэлектрика Р(вектором поляризации) следующим соотношением (см. 9.13.3):

.

Таким образом, поле в вакууме E0 больше, чем в среде на величину Е', т.е.:

.

По определению, поляризованность Р- это сумма дипольных моментов единицы объема среды. Если обозначить через N0 чис-

ло молекул среды в единице объема, - наведенный полем световой волны дипольный момент молекулы, то

.

Тогда для εполучим:

.

Так как ε = n2(см. 16.5.2), то

.

21.1.1.2. СВЯЗЬ ДИПОЛЬНОГО МОМЕНТА МОЛЕКУЛЫ С НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Как видно из только что полученной связи n2 с pзависимость показателя преломления nот частоты волны ωопределяется отношением p/E.

Здесь надо сделать две оговорки. Во-первых, поле, действующее на отдельную молекулу (локальное поле), вообще говоря, не

совпадает с величиной среднего (макроскопического) поля в среде E. Мы не будем учитывать в элементарной теории дисперсии это различие, таким образом количественные выводы такой теории могут быть применены только к разреженным газам.

Во-вторых, дипольный момент молекулы p, наведенный полем световой волны E, является функцией от времени, т.е. p = p(t). Так как E = E(t)и фаза колебаний p(t)не совпадает, в общем случае, с фазой колебаний E(t), то для нахождения показателя преломления надо усреднить по времени отношение p(t)/E(t).

Тогда формула для n2 приобретет следующий вид:

.

21.1.1.2.1. Простейшая модель атома в поле световой волны

Под действием световой волны совершают колебания только внешние электроны атома, их называют оптическими электронами. Будем считать, что у молекулы (атома) - один оптический электрон. Моделью такого атома будет упругий диполь, дипольный момент которого (см. 9.13.1.1):

.

Оптический электрон будет двигаться под действием квазиупругой силы, силы "трения" и внешней силы, действующей со стороны электрического поля световой волны. Если световая волна поляризованная, то все эти силы будут действовать вдоль од-

ной прямой. Направим вдоль этой прямой ось x, начало координат совместим с положительным зарядом, который будем, в первом приближении, считать неподвижным. Таким образом, мы приходим к модели пружинного маятника, который совершает колебания под действием внешней гармонической силы.

21.1.1.2.2. Уравнение движения электрона и его решение

Уравнение движения, описывающее вынужденные колебания маятника с затуханием было получено нами из второго закона Ньютона в разделе 14.5.5.:

.

Здесь у нас x - координата электрона, ω0 - собственная частота незатухающих колебаний электрона, β - коэффициент затухания, а

.

Em - амплитуда световой волны;

ω- циклическая частота световой волны; me- масса электрона,

e- элементарный заряд (e = 1,6 10-19 Кл).

Стационарное решение этого уравнения движения (14.5.6.1):

,

где

21.1.1.2.3. Проекции дипольного момента и напряженности поля волны на ось x

На следующем рисунке изображен диполь, силы действующие на его полюсы, ось x и вектор электрического поля волны в мо-

мент времени t = 0:

Как видно из рисунка, проекция дипольного момента (21.1.1.2.1) на ось x:

.

Проекция напряженности электрического поля световой волны на ось x:

,

знак минус означает, что в начальный момент времени вектор направлен против оси x. Напомним, что в нашем уравнении движения (21.1.1.2.2) сила, действующая на электрон, при t = 0 имеет положительный знак.

21.1.1.3. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ N2

Подставим в формулу, полученную в (21.1.1.2) для n2, выражения px(t), Nx(t) с использованием для x(t)решения уравнения движения, записанное в (21.1.1.2.2):

При усреднении по времени	дает	. Подставляя выражение для амплитуды A-колебаний электрона (из
21.1.1.2.1) получим:

;

.

21.1.1.4. АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ N(Ω)

Как показывает опыт затухание оказывает незначительное влияние на движение оптического электрона, если частота световой волны не равна ω0 - собственной частоте колебаний электрона. Точнее, затуханием можно пренебречь, если

.

При выполнении этого условия

.

В первом случае (если ω < ω0) колебания электрона происходят в фазе с вынуждающей силой, Cosφ = 1. Во втором (ω > ω0) - в противофазе, Cosφ = -1.

Учитывая это можно записать упрощенное выражение для n2, применимое для частот далеких от ω0:

.

Здесь знак второго слагаемого при ω < ω0 положителен, при ω > ω0 второе слагаемое отрицательное.

Для ω = ω0 φ = π/2, а Cosφ = 0, тогда, возвращаясь к исходному выражению для n2 (20.1.1.3), получим:

n = 1.

21.1.1.5. ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ N(Ω)

Проведенный анализ позволяет изобразить примерный вид графика зависимости показателя преломления от циклической частоты:

На участках AB и DEnрастет с ростом ω- дисперсия нормальная. На участке BCDдисперсия аномальная - с ростом показатель преломления падает.

21.1.1.2.6. ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ N(Λ)

Так как длина волны λи циклическая частота величины, связанные обратно пропорциональной зависимостью (15.1.8), то гра-

фик n(λ), соответствующий приведенному выше графику, будет иметь примерно следующий вид:

.

21.1.1.2.7.УЧЕТ КОЛЕБАНИЙ С ДРУГИМИ СОБСТВЕННЫМИ ЧАСТОТАМИ

Ввеществе могут быть заряды, колеблющиеся с различными собственными частотами ω0 и затуханиями βi, величины зарядов

qi могут быть разными, разными могут быть и их массы. С учетом этого формула для n2 примет следующий вид:

.

График зависимости n(ω)при наличии двух собственных частот (N = 2)будет иметь следующий вид: