Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г
.).pdf
Закрепим левую часть этого элемента (второй рисунок), правую сместим на величину Δξвдоль оси x.
- закон Гука.
Здесь коэффициент kупр, характеризующий упругость стержня, зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.
15.3.1.1. НОРМАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Введем:
- нормальное напряжение,
- относительная деформация.
При Δx → 0
.
Перепишем 
, выразив Fи Δξчерез σи ε:
или
.
15.3.1.2. МОДУЛЬ ЮНГА
Величина не зависит от длины и сечения стержня, она определяется только упругими свойствами материала, ее называют модулем Юнга материала:
.
15.3.1.3. ЗАКОН ГУКА
Тогда связь нормального напряжения σи относительной деформации εбудет иметь вид:
.
Это выражение тоже носит название закона Гука.
15.3.2. Вывод волнового уравнения из 
.
Пусть волна распространяется вдоль упругого стержня. Рассмотрим элемент этого стержня, его длина равна Δx в невозмущен-
ном состоянии. Пусть при распространения волны левая часть этого элемента сместится на величину ξ(x), а правая - на вели-
чину ξ(x + Δx), не равную смещению левой части.
.
В нашем примере стержень растянут внешними силами:
Сумма этих сил равна:
.
Домножим и поделим последнее выражение на x. Величина
при Δx → 0 дает вторую производную от "кси" по x, т.е. |
. |
Тогда |
. |
Масса нашего элемента 
, его ускорение (3.10)
,
тогда 
преобразуется в
,
или
- волновое уравнение.
Проверим, будет ли 
его решением.
Откуда
.
Т.к. |
(15.2.4), то фазовая скорость упругой продольной волны: |
,
и волновое уравнение можно записать в виде:
.
Для волны, распространяющейся в произвольном направлении (15.2.5) волновое уравнение имеет вид:
.
15.4. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ
Найдем полную механическую энергию (5.8.2) для выделенного нами элемента упругой среды, в которой распространяются упругая продольная волна:
.
Скорость (3.8.2):
,
тогда
.
Потенциальная энергия упругого деформированного стержня:
.
Полная энергия выделенного элемента объемом SΔx будет равна:
.
15.4.1. Плотность энергии упругой волны
.
15.4.1.1. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ УПРУГОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
15.4.1.1.1. Среднее по времени значение плотности энергии упругой гармонической волны
, это известно из математики, значит:
.
15.4.2.Поток энергии
15.4.3.Плотность потока энергии
15.4.4.Вектор Умова - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны