Решение системы линейных уравнений.

Рассмотрим еще одну типовую задачу вычислительной математики:

решение системы линейных уравнений.

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

………………………….

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Система может быть записана в матричном виде: A*x=b, где x ={xj}- вектор неизвестных, A={aij} – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы), b={bj} – вектор свободных членов (правых частей) (i=1…m, j=1,,,n).

Существует множество методов решения систем линейных уравнений

(правило Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса и т.д.).

Простейшим случаем является квадратная крамеровская система A*x=b, у

которой определитель не равен 0.. Такая система имеет единственное решение

– x=A-1b, в терминах ML это x=inv(A)*b.

Для решения этой	системы существует альтернативная запись: A\ b
(операция обратного деления).
В матричной алгебре
X= B/A = B*A-1	(решает уравнение X*A=B)
X= B\A = B-1 *A
X= A\B = A-1 *B	(решает уравнение A*X=B)

Свекторами и матрицами – иначе. Пусть A – матрица, а Х – вектор.

А* Х = В и Х * А = В – разные уравнения.

Для решения уравнения Х * А = В используется обычное деление:

Х = B / A = В *А-1

Для решения уравнения А * Х = В используется обратное деление:

Х = А \ В = А-1 * В Например, найдем корни линейного уравнения вида:

x1 - 3x2 +4x3= 11 2x1 + x2 -7x3= 8

x1- 6x2 - x3=-5

19