3.5. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости получается решением уравнений движения Эйлера (3.10) для установившегося потока. Для этого умножим левую и правую части каждого из уравнений (3.10) соответственно на dx, dy, dz и разделим на плотность жидкости ρ. Получим

;

;

.

Учитывая, что , , , сложим эти уравнения

. (3.12)

Слагаемые левой части выражения (3.12) могут быть представлены как

; ; .

Следовательно, их сумма будет равна

,

где W – скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей координат равны , , . В то же время второе слагаемое в правой части выражения (3.12) есть полный дифференциал давления dр (при установившемся движении давление зависит только от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не изменяется вo времени). Значит, формула (3.12) принимает вид

.

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

Отсюда

(3.13)

Для двух любых поперечных сечений потока (трубопровода) уравнение (3.13) можно представить в виде

(3.14)

Выражения (3.13) и (3.14) называются уравнением Бернулли для идеальной жидкости. Слагаемые z и , как уже известно, называются соответственно нивелирной высотой и пьезометрическим напором. Напомним, что сумма есть статический напор, характеризующий удельную потенциальную энергию жидкости. Величину называют скоростным (динамическим) напором; анализ размерностей показывает, что эта составляющая уравнения Бернулли может быть выражена в единицах длины [м] и в единицах удельной энергии [Дж/н], т. е. кинетической энергией, приходящейся на единицу веса жидкости. Сумма называется полным гидродинамическим напором (гидродинамическим напором). Поэтому, в соответствии с (3.13), геометрический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма статического и скоростного напоров, равная гидродинамическому напору, не изменяется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли, в соответствии с энергетическим смыслом его членов, следует, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной. В соответствии с этим в трубопроводе переменного сечения при его сужении часть потенциальной энергии переходит в кинетическую, а при расширении, наоборот, часть кинетической энергии превращается в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что при движении идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения и превращения энергии и выражает энергетический баланс потока. При W = 0 уравнение Бернулли (3.13) совпадает с основным уравнением гидростатики (2.4).

Приведем пример использования уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости, движущейся через трубопровод, показанный на рис. 3.6.

Выберем два поперечных сечения I–I и II–II; плоскость сравнения совместим с осью 0х так, что нивелирные высоты равны z₁ и z₂. Установим в центре сечений I–I и II–II две вертикальные открытые с обеих сторон трубки. Прямые трубки называются пьезометрическими трубками (пьезометрами); в них жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках погружения (т. е. эти приборы будут измерять пьезометрические напоры и ). В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку (трубках Пито), уровень жидкости будет выше, чем в пьезометрических трубках, так как трубки Пито показывают сумму пьезометрического и скоростного напоров . Однако согласно уравнению (3.14), в обеих трубках Пито жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н. Площадь живого сечения II–II трубопровода меньше сечения I–I. Значит, при постоянном расходе жидкости средняя скорость ее движения больше скорости (согласно закона сплошности потока (3.9). Поэтому (см. рис. 3.6)

;

Приведенный пример демонстрирует переход потенциальной энергии в кинетическую при уменьшении площади живого сечения трубопровода, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

Линия Е–Е, проведенная по горизонтам жидкости в трубках Пито, называется напорной линией; линия Р–Р, проведенная по горизонтам жидкости в пьезометрах, называется пьезометрической линией (см. рис. 3.6). Для идеальной жидкости напорная линия всегда горизонтальна, а пьезометрическая линия либо горизонтальна, либо может иметь уклон как вверх по направлению движения жидкости, так и вниз (в зависимости от изменения площади живого сечения потока). Фигура, ограниченная пьезометрической линией и плоскостью сравнения, представляет собой эпюру изменения статического напора вдоль потока. В то же время фигура, заключенная между напорной и пьезометрической линиями, характеризует изменение скоростного напора вдоль потока. Итак, уравнение Бернулли выражает энергетический баланс движущейся идеальной жидкости.