2.6. Сила гидростатического давления на плоскую фигуру

Как рассчитать силу гидростатического давления на плоскую фигуру? Где располагается центр давления (координаты точки приложения равнодействующей силы давления)? Вначале определим силу давления. Для получения расчетной формулы воспользуемся основным уравнением гидростатики. Выберем плоскую фигуру АВ, как показано на рис. 2.12.

0

М

М_с

A

y

y_c

N

y_d

N_c

P

c

x

dy

B

d

S

y

Рис. 2.12

Слева на нее действует гидростатическое давление. Фигура АВ расположена перпендикулярно плоскости чертежа и наклонена к горизонту под углом . Выберем систему координат, как на рис. 2.12. Мысленно вращая вокруг оси 0у фигуру АВ, совместим ее с плоскостью чертежа. Выделим бесконечно малую полоску площадью dS и высотой , погруженную на глубину h и отстоящую от оси 0х на расстоянии у. Для нее абсолютное давление равно , а элементарная сила давления составит

. (2.7)

Из следует, что Произведя эту замену в (2.7), имеем . Интегрируя данное выражение по всей площади фигуры S, получаем

.

Интеграл – есть статический момент площади фигуры АВ относительно оси 0х: где – расстояние от оси 0х до центра тяжести площади фигуры АВ. Из устанавливаем, что Тогда Окончательно сила абсолютного давления равна

,

или

. (2.8)

При этом сила гидростатического давления составляет

. (2.9)

Итак, сила абсолютного давления на плоскую фигуру выражается произведением площади фигуры на величину абсолютного давления в ее центре тяжести, а сила гидростатического давления равна произведению площади фигуры на величину гидростатического давления в ее центре тяжести.

Теперь определим положение центра давления. Из механики твердого тела известно, что момент равнодействующей силы относительно выбранной оси равен сумме моментов сил, составляющих равнодействующую относительно той же оси. В нашем случае равнодействующей силой является сила гидростатического давления , а составляющими являются силы элементарного гидростатического давления на площадки величиной dS. Составим выражение элементарного момента силы dP относительно оси 0х:

.

После интегрирования получим

, (2.10)

где – момент инерции фигуры относительно оси 0х. Находим момент равнодействующей силы Р относительно оси 0х:

, (2.11)

где – координата искомого центра давления (плечо равнодействующей силы гидростатического давления Р). Так как , тo с учетом (2.10) и (2.11) получаем

или

. (2.12)

Введем в (2.12) вместо момента инерции центральный момент инерции , т. е. момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через центр ее тяжести. Величины и взаимосвязаны , поэтому окончательно имеем

. (2.13)

Из (2.13) видно, что сила гидростатического давления приложена ниже центра тяжести фигуры на величину , называемую эксцентриситетом (ср. положение точек c и d на рис. 2.12).

Пример 1. Плоский затвор высотой h и шириной В поддерживает жидкость в открытом водоеме, глубина которого перед затвором также paвна h (рис. 2.13). Определить силу гидростатического давления и точку ее приложения.

Рис. 2.13

Решение. По формуле (2.9) находим . Глубина погружения центра давления, по (2.13), равна

,

так как для прямоугольника . Получили, что для прямоугольной вертикальной стенки эксцентриситет составляет и центр давления находится на глубине от свободной поверхности жидкости.