- •Глава 1. Введение в математический анализ
- •§ 1. Множество r действительных чисел и его свойства
- •§ 2. Числовые множества, их границы
- •§ 3. Абсолютная величина числа
- •§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства
- •§ 5. Сходящиеся последовательности, их свойства
- •§ 6. Монотонные последовательности. Число е
- •§ 7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости
- •§ 8. Отображение множеств. Обратное отображение. Композиция отображений. Понятие действительной функции
- •§ 9. Арифметические операции над функциями. Композиция функций
- •§ 10. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции
- •§ 11. Четные и нечетные функции. Периодические функции
- •§ 12. Обратная функция
§ 5. Сходящиеся последовательности, их свойства
Определение 1. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если последовательностьявляется бесконечно малой. При этом числоаназываютпределом последовательностии пишутилипри.
Из определения 1 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как=, то есть. В частности,и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей,для любыхи.
Определение 2. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех значений.
Из определения 2 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть, так как для любогодля всех значений.
Определение 3. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если в любой-окрестности точкиа находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение 4. Числоа называетсяпределом последовательности, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех значений.
Нетрудно заметить, что определения 1-4 равносильны.
Замечание. Из определения 1 следует, что если последовательностьсходится ка, то, где– бесконечно малая последовательность, отсюда. Верно и обратное, т.е. если последовательностьможно представить в виде суммы постояннойа и бесконечно малой последовательности, то последовательностьсходится к числуа. Действительно,по определению 1.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим, что последовательностьимеет два предела:с иd. Тогдаи, гдеи– бесконечно малые последовательности (см. замечание выше). Отсюда. Поскольку– бесконечно малая последовательность, по теореме 5 § 4. Теорема доказана.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. По определению 1 последовательностьбесконечно малая, по теореме 4 § 4она ограничена, то есть существует числоM> 0, такое, чтоодновременно ограничена и снизу и сверху, поэтому ограничена. Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем
.
Доказательство. Пусть. Тогда(см. замечание в начале параграфа и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.
Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем
.
Доказательство. Имеем,, так как– бесконечно малая последовательность (см. замечание и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть.
Это очевидно, так как .
Теорема 5. Частноедвух сходящихся последовательностейи, таких, что, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, причем
.
Для доказательства теоремы 5 нам потребуется вспомогательное утверждение.
Лемма. Если последовательностьсходится к числу, то последовательностьограничена, где N – некоторое натуральное число.
Доказательство. Положим. По определению предела для него найдется номерN, такой, что для всехвыполняется неравенство, т.е.. Поскольку, тодля всех, т.е.исуществует при, а такжедля всех. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 5. Пусть. Тогда,. Рассмотрим= =. В последнем выражении первый множитель – бесконечно малая последовательность, второй и третий – ограниченная для всехпоследовательность. Поэтому– бесконечно малая последовательность, а так как, то. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь свойства сходящихся последовательностей, связанных знаком неравенства.
Теорема 6. Пустьи– две сходящиеся последовательности, имеющие одинаковый предела. Если, хотя бы начиная с некоторого номера, выполнено неравенство
, (5.1)
то последовательность – сходящаяся, причем.
Доказательство. Пусть, неравенствовыполняется, начиная с номера. Возьмемпроизвольно. Для него существуюти,такие, что
, (5.2)
. (5.3)
Положим . Тогдаодновременно выполнены все неравенства (5.1) – (5.3), значит,
,
то есть , следовательно,. Теорема доказана.
Теорема 6 часто называется «теоремой о сжатой переменной», или «теоремой о промежуточной переменной», или «теоремой о двух милиционерах». Мы ею часто будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема 7. Если все члены двух сходящихся последовательностейи, по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству, то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству, то есть.
Доказательство. Пусть,. Надо доказать, что. Предположим противное, т.е. что, и возьмем. Тогдаи. По определению предела последовательности для этогонайдутсяитакие, что
, откудадля всех,
, откудадля всех.
Обозначим . Тогда для всехэти неравенства выполняются одновременно и, следовательно,, т.е., что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие. Если, начиная с некоторого номера,то и().
Это очевидно, так как вместо одной из последовательностей можно рассмотреть постоянную последовательность .
Заметим, что если , то(). Например,для всехn, однако.
Теорема 8. Если(), то, начиная с некоторого номера,.
Действительно, если (), то, взяв окрестность точкиа, не содержащую точкуА, по определению 3 получим, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности попадут в эту окрестность, т.е. будут большеА (будут меньшеА).