§ 6. Монотонные последовательности. Число е

Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей), если для всехвыполняется неравенство.

Определение 2. Последовательностьназываетсявозрастающей (неубывающей), если для всехвыполняется неравенство.

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательностьвозрастает,не убывает,убывает,не возрастает,– немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство. Пусть последовательностьне убывает и ограничена сверху, т.е.и множествоограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует. Докажем, что.

Возьмем произвольно. Посколькуа – точная верхняя граница, существует номерN такой, что. Так как последовательность неубывающая, то для всехимеем, т.е., поэтомудля всех, а это и означает, что.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно). Теорема доказана.

Замечание. Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие. Если последовательностьвозрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то().

Действительно, по теореме 1 ().

Определение 4. Еслиипри, то последовательностьназываетсястягивающейся системой вложенных отрезков.

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас, принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство. Докажем, что точкас существует. Поскольку, тои, следовательно, последовательностьне убывает, а последовательностьне возрастает. При этомиограничены, так как. Тогда по теореме 1 существуюти, но так как, то=. Найденная точкас принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1,, т.е.для всех значенийn.

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иdи пусть для определенности. Тогда отрезок принадлежит всем отрезкам, т.е.для всехn, что невозможно, так каки, значит, начиная с некоторого номера,. Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы , очевидно, стягиваются в точку, однако точкане принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е.

Рассмотрим теперь последовательность . Как она себя ведет? Основание

степени , поэтому? С другой стороны,, а, поэтому? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность . Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма. Если, то для всех натуральных значенийnимеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

Если , то, т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для и докажем его справедливость для+1.

Верно . Умножим это неравенство на:

.

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn. Лемма доказана.

Покажем, что последовательность убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀ ,а это и означает, что последовательностьубывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства ‌‌‌׀неравенство Бернулли׀для всех натуральных значенийn.

По теореме 1 существует , который обозначают буквойе. Поэтому.

Число еиррационально и трансцендентно,е= 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания. 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, чтопри. Действительно, если, то. Тогда, по неравенству Бернулли,при. Отсюда приимеем, то естьпри.

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степениn– к, то есть имеет место неопределенность вида. Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела.

2) (*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством для всех, которое является следствием неравенства.

Имеем см. неравенство выше, т.е. последовательность ограничена снизу числом.

Далее, так как, т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует , который обозначимх. Переходя в равенстве (*) к пределу при, получим

, т.е., откуда(берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении приближенно. Заберут любое положительное число. Например, найдем. Пусть. Тогда,. Таким образом,.

3) .

Имеем . Посколькупри, существует номерN, такой, что для всехвыполняется неравенство. Таким образом, последовательность, начиная с некоторого номераN, убывает и ограничена снизу, так какдля всех значенийn. Значит, по теореме 1 существует. Поскольку, имеем.

Итак, .

4) , справа –n корней.

Методом математической индукции покажем, что для всех значенийn. Имеем. Пусть. Тогда, отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим, т.е. последовательностьвозрастает и ограничена сверху. Поэтому существует, так как.

Таким образом, .