Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

§ wT ·èä			0,
¨		¸
© wv ¹u

т.е. температура идеального газа при адиабатном расширении не изменяется.

Располагая значениями v и T с помощью диаграмм состояния

22

или таблиц термодинамических свойств нетрудно найти давление газа

в сосуде после расширения до давления P .

2

Изменение энтропии газа в данном процессе

S

u,v

S

u,v

v2 §

wS

·

dv.

2

v³

¨ ¸

2

1

1

© wv ¹u

1

Учитывая, что

§ wS ·

P

,

¨

¸

T

© wv ¹u

получаем

v2 P

S2 u,v2 S1 u,v1 ³T dv. (**)

v1

Интеграл уравнения (**) вычисляется с помощью таблиц термо-

	P
динамических свойств газов (строится зависимость		f v äëÿ
	T

u=const, затем интегрируется).

Поскольку интеграл всегда положительный, то всегда

S >S ,

21

т.е. энтропия в процессе Джоуля, являющемся типично необратимым процессом, возрастает.

Для идеального газа

P

R

,

T

v

значит

S

u,v

S

u,v

R ln

v2

,

2

2

1

1

v1

откуда для m кг газа

S

2

U ,V

S

U ,V

mR ln

V2

.

2

1

1

V1

151

Глава 12

ПРОЦЕССЫ ТЕЧЕHИЯ ГАЗОВ, ПАРОВ И ЖИДКОСТЕЙ

12.1. Основные уравнения процессов течения

Уравнение первого закона термодинамики для потока

h

h

w2

w2

g z

z

q

2

1

l

l ,

2

2

2

1

1

2

1

òåõí

òð

или в дифференциальном виде

dq

dh wdw gdz dl

dl .

òåõí

òð

С учетом того, что q

l

, получаем

òð

òð

h

w2

w2

g z

l , (12.1.1)

q

h

2

1

z

2

2

âíåø1 2

1

2

1

òåõí

dq

dh wdw gdz dl .

âíåø

òåõí

Эти уравнения справедливы и при наличии и при отсутствии вяз-

кого трения на стенках канала.

Åñëè dz = 0, dl = 0, òî

òåõí

dq	dh wdw.	(12.1.2)
	âíåø

Это уравнение показывает, что тепло, подводимое к потоку или

отводимое от него (q ), расходуется на изменение энтальпии и ско-

âíåø

рости движения жидкости или газа (w).

В технике наибольший интерес представляет рассмотрение слу- чая адиабатного течения. Мы будем изучать закономерности обратимого адиабатного потока, т.е. течения без трения, а затем рассмотрим вопрос об учете необратимости потока, обусловленной трением.

Для случая адиабатного потока dq = 0, тогда (12.1.2) примет

внешн

âèä

dh wdw 0.

(12.1.3)

152

Из (12.1.3) видно, что если адиабатный поток ускоряется (dw>0), то его энтальпия уменьшается (dh < 0) и наоборот.

Рассмотрим практически важный случай обратимого адиабатного течения. Уравнение первого закона термодинамики для потока запишем в виде

	u				P v					w2	w2
q			u				Pv			2		1	g z					z l		l .
		2		1													2
12						2 2	1 1				2							1	òåõí	òð
Ïðè q = 0, l					= 0 получаем
			òåõí
							w2									w2
			u		Pv		1	gz		u		P v					2	gz	.	(12.1.4)
											2
				1	1	1	2		1			2		2	2			2
Если жидкость несжимаема, то v = v = v и dv = 0.
										1		2
Из первого закона термодинамики
							dq		du Pdv

следует, что для обратимого адиабатного течения (q=0)

Pdv du.

Отсюда следует, что в случае несжимаемой жидкости (dv = 0) du = 0, т.е. u = u , и уравнение (12.1.4) приобретает вид

12

		w2									w2
Pv		1			gz				P v			2		gz		.		(12.1.5)
1		2					1		2	2				2
С учетом того, что v		1					, получаем
				Υ
			Υw2										Υw2
P					1			Υgz	P					2	Υgz		.	(12.1.6)
1		2					1		2					2		2

Уравнение (12.1.6) носит название уравнение Бернулли. Если z = z , то

12

					Υw2			Υw2
			P		1	P		2	.	(*)
		1			2	2		2
		Υw2
	Комплекс		носит название динамического давления (скорос-
		2

тного напора), величина P иногда называется статическим давлени-

153

ем. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением. Уравнение (*) показывает, что в обратимом адиабатном потоке несжимаемой жидкости при z = const полное давление постоянно по длине потока.

Интегрируя уравнение (12.1.3) между двумя точками, получаем

w2 w2

h

h

2

1

,

2

1

2

откуда

w

2 h

h

2

w2 .

(12.1.7)

2

1

1

Для течения без трения при l

= 0 è dz = 0

òåõí

wdw vdP.

Интегрируя это соотношение, имеем

w2

w2

P2

P1

2

1

³vdP

³vdP,

2

2

P1

P2

отсюда

P1

w2

2³vdP w12 .

(12.1.8)

P2

Точки 1 и 2 лежат на изоэнтропе, и этот интеграл представляет

собой площадь, ограниченную изоэнтропой и изобарами P и P

1 2

(ðèñ.12.1.1).

Для реальных газов и жидкостей этот интеграл вычисляется по экспериментальным данным P, v, T численными методами, а для идеальных газов – по уравнению адиабаты.

			P1
		Интеграл	³vdP представля-
P			P2
1		ет собой разность работы рас-
P		ширения потока и работы про-
1
P1		талкивания (P v			– P v ):
³vdP			2	2	1	1
		vdP	d Pv Pdv
P2
P	2	v
1		èëè
Ðèñ. 12.1.1

154

P2				v2		2 2	1 1
³	vdP			³				,
						Pdv P v	Pv
P1				v1
откуда
P1			v2			2 2	1 1
³		vdP	³
					Pdv P v		Pv .
P2			v1

12.2. Скорость звука

Как известно, скоростью звука называется скорость распространения в среде малых возмущений (малыми называются такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т.е. амплитуда давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением).

Из курса общей физики

c2	dP	,	(12.2.1)
	dΥ

где c – скорость распространения малого возмущения (или звуковая скорость).

Для адиабатного процесса можно записать

c2 kPv.

(12.2.2)

Величина звуковой скорости зависит от параметров среды. Вдоль потока параметры состояния меняются, соответственно меняется и величина звуковой скорости. Под величиной звуковой скорости в потоке понимается значение местной звуковой скорости (в данном сечении потока).

Очевидно, что при стационарном режиме течения расход газа (жидкости) одинаков в любом сечении потока

fwΥ const,

где f – площадь поперечного сечения. Логарифмируя последнее уравнение, получаем

ln f ln w ln Υ const,

дифференцируя данное соотношение, имеем

155

df

dw

dU

0

w

U

f

– уравнение неразрывности в дифференциальной форме.

Приведем его к виду

df

§ w

dU

· f

¨

1¸

.

(à)

U

dw

© dw

¹ w

dw

Величину

найдем из уравнения

w

vdP wdw dl gdz

0.

T

Полагая dl = 0, dz = 0, находим

Ò

wdw

dP

,

U

откуда

dw

dP

.

(â)

w

Uw2

Подставляя (в) в (а), получаем

df

§

w2

· f

¨

1¸

.

(c)

dw

¨

§ dP

·

¸ w

¨

¨

¸

¸

©

© dU

¹

¹

Используя уравнение (12.2.1), получаем

df

§ w2

· f

¨

1¸

.

(d)

dw

c

2

©

¹ w

Отношение истинной скорости w к звуковой c (в том же сечении) называется числом Маха:

		M	w
				,
			c
следовательно,
	df	M 2 1			f	.	(12.2.3)
	dw				w

156

Пусть в каком-то сечении потока скорость меньше звуковой, w < c, т.е M < 1, тогда правая часть будет числом отрицательным, т.к. f и w – положительные числа, поэтому df и dw должны иметь разные знаки, т.е. если df > 0, то dw < 0 и наоборот.

Для того, чтобы скорость увеличивалась (dw > 0), необходимо, чтобы сечение потока уменьшалось (df < 0). При этом, как указывалось, будет происходить расширение газа, давление и температура будут снижаться.

Для повышения давления газа в потоке необходимо, чтобы скорость его движения уменьшалась (dw < 0), поэтому сечение потока должно увеличиваться, при этом происходит сжатие газа и повышение его температуры.

Если же в данном сечении потока имеется сверхзвуковая скорость течения (w > c), то M > 1. Правая часть (12.2.3) будет положительной, df и dw будут иметь одинаковые знаки. Расширение газа с увеличением его скорости происходит при увеличении сечения потока,

àсжатие – при уменьшении его сечения.

Âсечении потока, где скорость равна звуковой, w = c, M=1, тогда (12.2.3) примет вид

df

0. (e)

dw

Это означает, что при переходе через звуковую скорость сечение потока должно оставаться постоянным, хотя бы на малом участке. Условие (е) является условием экстремума функции f = M(w). Можно показать, что это есть условие минимума, т.к.

2

ª

2 º w

df

1

d

f

2 f

§

w

·

dw

1

2

2

Ǭ

¸

dw

c

»

w

2

«

©

c ¹

»

¬

¼

èëè ïðè w=c

§ d 2 f

·

2 f

¨

¸

> 0.

(12.2.4)

2

2

© dw

¹w c

c

Следовательно, переход через звуковую скорость в адиабатном потоке происходит в минимальном сечении потока.

Чтобы воспользоваться уравнением (12.2.1), нужно знать, как происходит процесс распространения звуковых волн. Лаплас показал,

157

что колебание среды при распространении звуковой волны можно считать адиабатным и изоэнтропным, поэтому

§ wP ·

c

¨

¸ .

(12.2.5)

© wU ¹S

Уравнение (12.2.5) называется уравнением Лапласа.

Поскольку U

1

c

v

2 § wP ·

, а т.к. показатель адиабаты

, òî

¨

¸

v

© wv ¹S

k

v § wP ·

¨

¸ , то получаем (12.2.2)

P © wv ¹S

c

kPv,

а для идеального газа

c

kRT .

(12.2.6)

Подчеркнем еще раз, что уравнение (12.2.2) справедливо и для идеальных, и для реальных газов (в том числе и для жидкостей, и для твердых тел), тогда как (12.2.6) справедливо только для идеальных газов.

12.3. Форма насадки

Для получения рабочего тела, вытекающего с большой скорос-

тью, применяются короткие профилированные каналы, называемые

насадками (сопла, диффузоры). Соплами называются насадки (ка-

налы), в которых происходит расширение газа и увеличение скорос-

ти его движения. Диффузорами называются каналы, в которых про-

исходят сжатие газа и уменьше-

ние скорости его движения. Про-

цесс в канале считают адиабат-

ным, т.к. теплообменом за ко-

w δ c

2

роткое время пребывания рабо-

чего тела в канале можно пре-

w < c

небречь.

Обычно на входе в насадок

1

скорость рабочего тела меньше

Ðèñ. 12.3.1

158

w > c

2

w < c

P = P

1

2 C

w, c	w

c

l

l	l
1	2

Ðèñ. 12.3.2

звуковой, w < с (рис. 12.3.1). Профиль насадка определяет скорость

1

на выходе из него w . Если она меньше звуковой, w d c, то необходи-

2 2

мо иметь суживающий насадок.

При сверхзвуковой скорости на выходе, w >c, применяется сопло

2

Лаваля (рис. 12.3.2). В суживающейся части этого насадка скорость увеличивается до звуковой, а в расширяющейся части получаются сверхзвуковые скорости.

В самом узком сечении имеет место переход через звуковую

скорость.

Площадь выходного сечения сопла определяется из уравнения

				Sâûõ	Gv2	,
					w
		1
§ P ·
			k
ãäå v2 ¨	1	¸ v1.
	P2
©		¹

12.4. Истечение из суживающихся сопел

Рассмотрим процесс обратимого, т.е. без трения, адиабатного истечения газа из сопла (рис. 12.4.1).

Объем резервуара предполагаем настолько большим, что исте- чение газа через сопло в течение рассматриваемых промежутков времени не приводит к уменьшению давления газа в резервуаре.

Параметры газа в резервуаре обозначим через P , v , T , а давление

1 1 1

159

газа на выходе из сопла – через P . Будем

										2
						считать, что давление газа на выходе из
				w		сопла P равно давлению среды Р , в ко-
		2						2		Ñ
P , T , v		1				торую истекает газ (важность этого усло-
1	1
				P		вия будет ясна из дальнейшего). Скорость
		2
						газа на входе в сопло обозначим w .
										1
						Определим скорость истечения газа из
						сопла w по известным значениям P , v ,
	Ðèñ. 12.4.1							2		1	1
						T и P , w . Эта задача, как показывалось
						1	2	1
ранее, может быть решена с помощью уравнения
				w		2	h	h	2	w2 ;
		2					1			1

для определения энтальпии удобно пользоваться hS-диаграммой. Можно определить скорость, воспользовавшись уравнением

P1
w2 2³vdP w12 ,	(*)
P2

где интеграл вычисляется по экспериментальным данным.

Величина w легко может быть определена для случая обрати-

2

мого адиабатного течения несжимаемой жидкости. Поскольку здесь v z f (P), то

w	2v P	P	w2 .	(12.4.1)
2	1	2	1

Задача определения w с помощью уравнения (*) легко решается

2

для случая истечения идеального газа. Из уравнения адиабаты получаем

1

v P1k v1.

1

Pk

Подставляя это значение v в (*) и интегрируя, получаем

ª

§ P2

·

k 1

º

k

«

k »

2

w

2

Pv

1

¨

¸

»

w

.

(12.4.2)

2

k 1

1 1

«

P1

1

«

©

¹

»

¬

¼

160