Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

	à)			á)
P	T
	a
1		II
	2	L		B
		A	I
		Q	2
b	v	Aχ	Bχ	S
	Ðèñ. 2.6.1

чивается на сжатие рабочего тела. Разность этих работ – работа цикла L, измеряемая площадью цикла 1-а-2-b-1.

В процессах А-II-В (а-2-b в Pv-координатах) энтропия рабочего

тела увеличивается, к рабочему телу подводится тепло Q , которое

1

измеряется площадью А-II-В-В-Аχ. В процессах В-I-А энтропия ра-

бочего тела уменьшается, от рабочего тела отводится тепло Q ,

2

измеряемое площадью А-I-В-Вχ-Àχ-А. Разность подведенного и отведенного тепла Q – Q измеряется площадью цикла на ТS-диаг-

12

рамме А-II-В-I-А.

Q

U

B

U

A

W

,

Q

U

U

W

,

1

AIIB

A

B

2

BIA

ãäå W , W	– работы процессов A-II-B, B-I-A.
AIIB	BIA
Сложение дает
	Q Q	W	W .
	1 2	AIIB	ÂIÀ

Алгебраическая сумма работ процессов А-II-В (а-2-b) и В-I-А (b-1-а), как видно из рис. 2.6.1, а), – это работа цикла L, следовательно,

Q1 Q2 L.

(2.6.1)

Это соотношение называется уравнением теплового баланса двигателя. Из него следует, что площадь цикла на ТS-диаграмме определяет работу цикла. В тепловом двигателе, кроме подвода тепла к рабочему телу, имеет место также отвод тепла от него. Раз-

ность подведенного и отведенного тепла превращается в работу.

В двигателе работа L > 0 в соответствии с Q > Q . Это означает,

1 2

что в тепловом двигателе подвод тепла к рабочему телу (процесс

31

А-II-В) всегда происходит при бо-

ТЕПЛООТДАЧИК

лее высокой в среднем температу-

Q

1

ре, чем отвод тепла (процесс В-I-А),

		ÃÀ
	È	Ò					Q
Â		Å						ðèñ. 2.6.1, á).
		Ë			L = Q
						1		2
Ä		Ü							В работе теплового двигателя
									должны принимать участие, по
			Q	2					меньшей мере, два источника теп-
								ла: теплоотдатчик с высокой тем-
ТЕПЛОПРИЕМНИК
								пературой, от которого к рабочему
		Ðèñ. 2.6.2							телу подводится тепло, и теплопри-
								емник с более низкой температурой,

к которому отводится тепло от рабочего тела (рис. 2.6.2). Тепло, подводимое к рабочему телу от теплоотдатчика, обычно получается за счет затраты какого-то вида энергии: химической (горение топлива), ядерной реакции и т.п. Желательно возможно лучшее использование этого тепла, т.е. получение из него возможно большего количества работы, поэтому важным показателем работы теплового двигателя является величина его термодинамического коэффициента полезного действия (к.п.д.)

	Κ		L
			Q .					(2.6.2)
		1
	Учитывая выражение (2.6.1), можно записать
	Κ	1		Q2				(2.6.3)
				Q1
	èëè
	Κ		L
							.	(2.6.4)

L Q2

2.7. Цикл Карно

Важным вопросом является установление условий, обеспечивающих максимальное значение термодинамического к.п.д. теплового двигателя, т.е. основной задачей является подбор наиболее рациональных процессов рабочего тела в двигателе.

Процессы взаимопревращения тепла и работы могут быть обратимыми и необратимыми. Обратимое расширение рабочего тела

32

T

1			2
4		3					T
							1
		S			T
					2
4χ			3χ					S
		Ðèñ. 2.7.1

совершает больше работы, чем необратимое; на обратимый процесс сжатия рабочего тела необходимо меньше затрат работы, чем на необратимый, поэтому для получения максимального к.п.д. рабочее тело теплового двигателя должно совершать только обратимые процессы.

Пусть к рабочему телу подводится от теплоотдатчика тепло при

постоянной температуре Т и отводится тепло в теплоприемник при

1

постоянной температуре Т . В процессах с подводом и отводом тепла

2

рабочее тело совершает обратимые изотермические процессы 1-2 и 3-4 (рис. 2.7.1). Круговой процесс, с помощью которого происходит непрерывное превращение тепла в работу, может быть осуществлен введением обратимых адиабатных процессов 2-3 и 4-1. Количество подведенного к рабочему телу тепла будет измеряться площадью 1-2-3χ-4χ-1 и равно Q = T S, где S – изменение (увели-

11

чение) энтропии рабочего тела при подводе тепла. Отведенное теп-

ло измеряется площадью 4-3-3χ-4χ-4 и равно Q = T S. В соответ-

2 2

ствии с (2.6.4) термодинамический к.п.д.

Κ 1	T2	.	(2.7.1)
	T1

Из этого выражения видно, что значение к.п.д. цикла растет с

увеличением температуры подвода тепла Т	и уменьшением Т .
1	2

Предельные значения Т и Т совпадают с температурами теплоот-

12

датчика и теплоприемника. Осуществляемый таким образом цикл из обратимых процессов с теплоотдатчиком и теплоприемником с

постоянными температурами теплоотдатчика Т и теплоприемника

1

Т называется циклом Карно. Он является наивыгоднейшим по к.п.д.

2

33

T	Iχ	a	IIχ
	I		II
		1	2
	IV		III	Tχ	T
			IIIχ
	IVχ				1
				Tσ
		b
			T	2
	m		n		S
			Ðèñ. 2.7.2

при данных постоянных температурах теплоотдатчика и теплоприемника.

Значение к.п.д. цикла Карно определяется исключительно температурами теплоотдатчика и теплоприемника независимо от рода рабочего тела, размеров двигателя и его конструктивных особенностей. Это положение носит название теоремы Карно.

Осуществление цикла Карно в реальных тепловых двигателях невозможно, но довольно часто действительные процессы рабоче- го тела в двигателе можно считать обратимыми. Рассмотрим цикл такого двигателя.

Для расчета к.п.д. этого цикла можно заменить его эквивалентным циклом Карно I-II-III-IV с подводом тепла при средней температуре Т χ и отводом тепла при средней температуре Т σ. Площади эллипса и прямоугольника равны для выбора Т χ è Ò σ.

Κ 1 Tχχ.

Tχ

Из рис. 2.7.2 видно, что к.п.д. действительного цикла всегда мень-

ше, чем цикла Карно при предельных температурах цикла Т и Т .

1 2

Термический к.п.д. обратимого цикла Карно

Κ t	T1 T2	,
	T2

а в наиболее общем виде, по определению, термический к.п.д. любого цикла

Κ t	Q1 Q2	,
	Q2

откуда следует, что для обратимого цикла Карно

34

Q1 Q2 T1 T2

Q2 T2

или (что то же самое)

Q1 Q2 .

T1 T2

В общем виде это соотношение может быть записано так:

	¦	Q	0.
		T

Если представить цикл Карно, состоящий из бесконечного множества элементарных циклов, то

n		Q		0
¦		i			.
i 1		Ti
В пределе, если рассмотреть бесконечно малые циклы,
n	Q					dQ
lim ¦		i		Ñ			,
nοφ i 1		T		³		T
		i
откуда получаем
ѳ		dQ		0.
		T				(*)

Интеграл уравнения (*) носит название интеграла Клаузиуса. Уравнение (*) показывает, что для любого обратимого цикла интеграл Клаузиуса равен нулю.

Применение TS-диаграммы позволяет легко доказать справедливость следующего утверждения: термический к.п.д любого обратимого цикла, осуществляемого при числе источников тепла больше двух, меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществляемого между заданными предельными температурами.

Сравним произвольный обратимый цикл I с циклом Карно II, протекающим в крайнем температурном интервале цикла I (рис. 2.7.3).

Опишем вокруг цикла I цикл Карно 1-2-3-4, назовем его циклом III, тогда

35

T

1

d

2

c

I

a

II

4

e

3

b

f

S

Ðèñ. 2.7.3

II

III

Q1 Q2

T1

T2

b

Κ t

Κ t

1

,

Q1

T1

a b e c d f

I Q1I Q2I

b

e f

Κ

1

,

t

QI

a b e f

1

отсюда следует, что Κ tII! Κ tI.

Таким образом, в заданном температурном интервале обратимый цикл Карно имеет термический к.п.д. более высокий, чем любой другой обратимый цикл. Следовательно, обратимый цикл Карно является своего рода эталоном, по сравнению с которым определяется степень эффективности того или иного цикла, осуществляемого в том же, что и цикл Карно, интервале температур. В этом и заключа-

ется особое значение цикла Карно.

Чем в большей мере любой произвольный цикл заполняет прямо-

угольную область осуществляемого в том же температурном интер-

вале и в том же интервале энтропий обратимого цикла Карно, тем

выше величина термического к.п.д. этого произвольного обратимо-

го цикла. Таким образом, цикл любого

P

теплового двигателя следует организо-

вать так, чтобы коэффициент заполнения

1

цикла был возможно большим.

Рассмотрим теперь произвольный

необратимый цикл (рис. 2.7.4), состав-

ленный из двух процессов – необратимо-

го 1-2 и обратимого 2-1.

2

Очевидно, что для рассматриваемо-

vго цикла интеграл Клаузиуса может быть записан в виде суммы двух криво-

Ðèñ. 2.7.4

линейных интегралов:

36

	dQ	§ dQ ·				§ dQ ·			;
		¨		¸		¨		¸
Ñ			T				T
³	T	1³2 ©		¹необр		2³1©		¹îáð

ѳ dQT 0 для необратимого процесса, поэтому

§ dQ ·				§ dQ ·			0.
¨		¸		¨		¸
	T				T			(**)
1³2 ©		¹необр		2³1©		¹	îáð

Для обратимого процесса 2-1

§ dQ ·			1 dQ
¨		¸	³2					S1	S2;
						T
2³1© T		¹îáð
подставляя это выражение в (**), получим
S2 S1 ! ³				§ dQ ·					,
				¨				¸
						T
			12	©			¹необр

откуда в дифференциальной форме

dS ! dQ . T

Это соотношение справедливо для любого необратимого процесса, протекающего в любой системе. Следовательно, если необратимый

процесс протекает в изолированной системе (для которой dQ = 0),

ñèñò

то для такой системы

dS ! 0,

(***)

т.е. энтропия изолированной системы в результате протекания в ней необратимых процессов возрастает.

Таким образом, какие бы процессы не протекали в изолированной системе, ее энтропия не может уменьшаться:

dS t 0.

(****)

Отсюда следует важный вывод: изолированная система, достигшая равновесного состояния, в дальнейшем в этом состоянии и пребывает, т.е. является неспособной к самопроизвольному изменению состояния. В самом деле, любой самопроизволь-

37

ный процесс необратим и, следовательно, протекает с ростом энтропии. Однако энтропия изолированной системы имеет максимум в состоянии равновесия, следовательно, в равновесной изолированной системе невозможны самопроизвольные процессы.

Итак, самопроизвольные процессы продолжаются в изолированной системе до тех пор, пока энтропия системы не достигнет максимума. По достижении состояния равновесия, которому соответствует максимально возможное для данной системы значение энтропии, самопроизвольные процессы прекращаются и система пребывает в состоянии равновесия.

2.8.Особые свойства теплоты

Âрезультате любой деятельности человека энергия первичных источников почти полностью отдается в виде теплоты окружающей среде. Лишь очень небольшая часть производимой энергии на ка- кое-то время сохраняется в виде потенциальной или внутренней энергии в сооружениях, изделиях и продуктах, производимых человеком.

Казалось, что теплоту, переданную окружающей среде, можно снова заставить служить людям, однако второй закон термодинамики налагает на «повторное» использование теплоты запрет.

Этот закон утверждает, что теплота является особой формой передачи энергии. Во всех реальных процессах любые формы энер-

гии могут самопроизвольно превращаться в теплоту, но самопроизвольное превращение теплоты в другие виды энергии невозможно.

Слово «самопроизвольно» означает, что любая форма энергии может превратиться в теплоту без того, чтобы в этом процессе уча- ствовали какие-нибудь дополнительные тела, состояние которых по окончании процесса как-то изменилось бы.

Напротив, теплота не может превратиться в другие формы энергии без того, чтобы в каких-либо окружающих телах по окончании процесса преобразования не остались какие-то изменения.

Таким образом, если первый закон термодинамики утверждает взаимную превратимость и эквивалентность всех видов энергии, то второй закон термодинамики отмечает особенность теплоты, ее неравноправность в процессах преобразования энергии.

38

2.9. Общая формулировка второго закона термодинамики

Имеется ряд различных формулировок второго закона термодинамики, каждая из которых является обобщением опыта. В качестве исходной примемнесколько видоизмененную формулировку Клаузиуса.

Невозможно осуществить такие процессы (или их совокупность), единственным результатом которых будет переход

тепла от холодного тела к более нагретому.

Необходимо отметить, что переход тепла от горячего тела к более холодному может быть получен при непосредственном соприкосновении тел с различными температурами, обмене между ними лучистой энергией и т.д. Приведенная формулировка не исключает возможности передачи тепла от холодного к более нагретому телу, но этот переход не может быть, как показывает опыт, единственным результатом, а всегда сопровождается другими: затратой работы, электрической, химической и т.п. видов энергии. Такой переход, как нетрудно показать, должен иметь своим следствием уменьшение энтропии системы тел, в которой производится этот процесс. Действительно, передача тепла в количестве dQ от тела с температурой Т к телу с температурой Т вызовет изменение энтропии систе-

1	2
мы на величину
dS		dQ		dQ	.	(2.9.1)
		T1 T2

При Т < Т dS < 0, т.е. энтропия системы уменьшается. Такие

12

процессы «запрещены» вторым законом термодинамики, даже если они и не противоречат первому. Происходящие в действительности процессы всегда протекают в таком направлении, что энтропия системы тел, в которой они происходят, увеличивается или хотя бы (в предельном случае обратимых процессов) остается постоянной. Положение о росте энтропии системы, в которой совершаются необратимые процессы превращения энергии, по существу равноценно основной формулировке второго закона термодинамики и может служить базой для технических расчетов.

Двигатель, в котором реализовалось бы получение работы за счет тепла в эквивалентном количестве, практически был бы веч- ным двигателем, не противоречившим закону сохранения и превра-

39

щения энергии. Этот двигатель называют вечным двигателем второго рода. Формулировка «вечный двигатель второго рода невозможен» также может считаться формулировкой второго закона.

2.10. Математическое выражение второго закона

термодинамики для необратимых процессов

Представим себе систему из двух тел в адиабатной оболочке. Первое тело отдает тепло dQ второму, совершая при этом обратимый процесс при температуре Т. Его энтропия изменяется (уменьшается) на величину

dS		dQ	.
1		T

Второе тело, совершающее необратимый процесс, получает тепло в том же количестве, а энтропия его увеличивается на величину dS. В системе совершается необратимый процесс, ее энтропия увеличивается:

	dS1 dS ! 0,
	откуда
	dS !	dQ		(2.10.1)
		T
	èëè
	dQ TdS .			(2.10.2)

Формула (2.10.2) представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для необратимых реальных процессов. Общим выражением второго закона является

dQ δ TdS,

(2.10.3)

где знак равенства относится к обратимым процессам.

Объединение уравнений первого и второго законов термодинамики.

dS τ	dQ	, TdS τ dQ,	Tds τ dq, dQ	dU dL, dq du dl,
	T
TdS τ dU dL,			Tds τ du dl,	dq du Pdv dl* ,

40