Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

Для любого термодинамического процесса представляет интерес отношение изменения внутренней энергии u к количеству подведенного или отведенного тепла q

		u
				.
		q
Для изохорного процесса	u		1.
	q

6.2. Изобарный процесс

Изобарным называется такой процесс изменения состояния рабочего тела, при котором давление его остается постоянным. Линия, изображающая этот процесс графически, называется изобарой.

	P			a)	Ò			v = const	á)
		-q	+q
							T	2
								2
	2χ								p = const
		1	2		2χ	T	1
1	2					1
P	= P
		-l	+l					+q
						-q
	v χ	v	v	v			S	S	S
	2	1		2			1	2
					Ðèñ. 6.2.1

Связь между термическими параметрами начального и конечного состояний может быть получена из уравнения состояния идеального газа при P = const

v1		T1	,	(6.2.1)

v2 T2

откуда видно, что изобара нагревания направлена слева направо, изобара охлаждения – справа налево (рис. 6.2.1, а).

81

Аналитическое выражение первого закона термодинамики

	v2
q	u2 u1 ³Pdv
	v1
для изобарного процесса принимает вид
q u2 u1 P v2 v1	u2 Pv2 u1 Pv1 h2 h1. (6.2.2)

Таким образом, в изобарном процессе все подводимое тепло рас-

ходуется на изменение энтальпии газа.

Согласно определению теплоемкости

dq CP dT CP dt è q			P T2	T1	CP t2 t1 ,
	C					(6.2.3)
поэтому
dh CP dt è h2 h1	CP T2			T1	CP t2 t1 .	(6.2.4)

Энтальпия является функцией состояния, и ее изменение не зависит от характера процесса, поэтому приведенные формулы справедливы для любого процесса.

В теплотехнических расчетах, учитывая изменение теплоемкости от температуры, для изобарного процесса можно записать

	t2		t1
q C		P t2 CP t1 .			(6.2.5)
0			0

Величина работы в изобарном процессе выразится по формуле

l	P v2 v1 ,	(6.2.6)
с учетом уравнения состояния идеального газа
l	R T2 T1 .	(6.2.7)

Уравнение (6.2.7) позволяет выяснить физический смысл газовой постоянной R: это работа расширения 1 кг идеального газа при изобарном нагревании его на один градус.

Если считать теплоемкость постоянной, то изменение энтропии определяется формулой

T2	dq	T2	dT				T
S2 S1 ³		³CP
				CP ln			2	,	(6.2.8)
	T		T				T
T		T					1
1		1

82

с учетом (6.2.1)

	S		S				ln	v2	.
		2		C		P				(6.2.9)
			1					v1

Поскольку C > C , то, сравнивая формулы (6.2.8) и (6.1.5), видим,

Pv

что изобара идет более полого, чем изохора. Для изобарного процесса

u Cv T2 T1 Cv					1		.
q CP T2 T1 CP
						k

6.3. Изотермический процесс

Изотермическим процессом называется такое изменение состояния рабочего тела, при котором температура остается постоянной.

Связь между термическими параметрами может быть получена из уравнения состояния идеального газа, если принять T = const:

Pv const.

(6.3.1)

Линия, которая изображает изотермический процесс на Pv-диаг- рамме, называется изотермой (рис. 6.3.1, а).

Поскольку в изотермическом процессе

u2 u1 Cv T2 T1 0,

(6.3.2)

т.е. внутренняя энергия не изменяется, аналитическое выражение

P			a)
2χ		-q
				T			á)
			+q	2χ	1	2
	1	P	v	= v
		1
			1	2
		2	P
			2
-l		+l			-q	+q
v χ	v	v	v	S χ	S	S	S
2	1	2		2	1		2
			Ðèñ. 6.3.1

83

первого закона термодинамики принимает вид

v2
q ³Pdv l,	(6.3.3)
v1

т.е. все тепло, затраченное на процесс, расходуется на совершение работы изменения объема газа. Для идеального газа

PRT , v

следовательно,

v2	RT			v		(6.3.4)
q l ³		dv	RT ln	2	.
	v			v
v				1
1
Полученное выражение показывает, что если v						> v , òî q > 0 è
				2		1

l > 0. Это означает, что при подводе тепла газ расширяется, изотер-

ма направлена слева направо и работа его положительна. Если v < v ,

2 1

то q < 0 и l < 0, т.е. при отводе тепла газ сжимается, изотерма направлена справа налево и работа отрицательна.

Если в изотермическом процессе

v2

P1

, òî

v1

P2

q

l

RT ln

P1

.

(6.3.5)

P2

Из рис. 6.3.1,б видно, что

q

T S2 S1

(6.3.6)

èëè S2 S1

q

, ò.ê. q = l,

T

тогда

RT ln

v2

S

S

v1

R ln

v2

R ln

P1

.

(6.3.7)

2

1

T

v1

P2

Для изотермического процесса

u

0.

(6.3.8)

q

84

6.4. Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс изменения состояния рабоче-

го тела, протекающего без теплообмена с окружающей средой.

Уравнение адиабаты может быть получено из аналитических

выражений первого закона термодинамики, которые в данном слу-

чае принимают вид

dq

du Pdv

Cv dT Pdv

0,

dq

dh vdP

CP dT vdP

0,

откуда

Cv dT Pdv,

CP dT vdP.

Разделив первое уравнение на второе, получаем

CP

vdP

,

Cv

Pdv

CP

k, ò.å. k

vdP

dP

k

dv

ãäå

Pdv

èëè

0.

Cv

P

v

Интегрируя это уравнение, получаем

ln P k ln v

const

èëè

Pvk

const.

(6.4.1)

P

a)

T

á)

2χ

Изотерма

2χ

1

P

2

T

1

P

1

1

-l

+l

2

T

2

2

v χ

v

v

v

S

2

1

2

Ðèñ. 6.4.1

85

Полученное соотношение называют уравнением Пуассона или уравнением адиабаты.

Графически адиабата, изображаемая линией 1-2, несколько кру- че изотермы, т.к. k > 1 (рис. 6.4.1,а).

В адиабатном процессе все три термических параметра (P, v, T) переменны, поэтому связь между их значениями для начального и конечного состояний газа выражается тремя уравнениями:

• между P и v из уравнения адиабаты (6.4.1)

P	§ v		·k
1	¨	2	¸	;	(6.4.2)
P2
	© v1		¹

• между T и v: сопоставляя формулы (6.4.1) и уравнение состояния идеального газа Pv = RT, получаем

RT1

vk

RT2

vk

èëè T vk 1

T vk 1

1

v2

2

1

1

2

2

v1

и окончательно

T

§ v

·k 1

1

¨

2

¸

;

(6.4.3)

T2

© v1 ¹

• между P и T: из формул (6.4.2) и (6.4.3) получаем

1

1

v

§ P ·

§ T

·

k

k 1

2

¨

1

¸

¨

1

¸

,

v1

©

P2 ¹

©T2 ¹

откуда окончательно находим

§ P ·

k 1

T

k

1

¨

1

¸ .

(6.4.4)

T2

© P2 ¹

Аналитическое выражение первого закона термодинамики для адиабатного процесса q = u – u + l = 0 или

21

u1 u2 l.

(6.4.5)

Это означает, что работа изменения объема в адиабатном процессе совершается за счет изменения внутренней энергии. Если газ

86

2 1 1 2

расширяется и работа положительна, то внутренняя энергия уменьшается; если происходит сжатие и работа газа отрицательна, то внутренняя энергия увеличивается, поэтому адиабатное расширение сопровождается уменьшением температуры газа, а адиабатное сжатие – ее увеличением.

Поскольку для любого процесса

u1 u2 Cv T1 T2 ,

то работа адиабатного процесса может быть найдена по формуле

l

Cv T1 T2 ,

(6.4.6)

à ò.ê. C

R

, òî

v

k 1

l

R

T

T

(6.4.7)

k 1

1

2

èëè

l

1

Pv

P v

.

(6.4.8)

k 1

1

1

2

2

Изменение энтропии в адиабатном процессе равно нулю, так как

dq TdS 0,

следовательно, S – S = 0 и S = S = S = const. В TS-координатах (рис. 6.4.1,б) адиабата изображается прямой 1-2 (адиабата расширения) и 1-2χ – (сжатия).

Для адиабатного процесса

u u

ρφ . (6.4.9)

q0

6.5.Политропный процесс

Кроме рассмотренных существуют процессы, у которых хотя и

нет вышеуказанных ограничений, но величина	u
		в течение
	q

данного процесса остается неизменной. Такие процессы называются политропными.

87

Уравнение политропного процесса

Pvn const ,

(6.5.1)

где п – показатель политропы, изменяющийся для различных процессов от 0 до ±φ.

Для одного и того же процесса показатель политропы n – величи- на постоянная.

Рассмотрим уравнение (6.5.1) при некоторых значениях п:

•при n = 0 получаем Pv0 = P = const – изобарный процесс;

•при n = 1 получаем Pv = const – изотермический процесс;

•при n = k получаем Pvk = const – адиабатный процесс;

ρ	1		ρ	1
• ïðè n ρφ P φ v			const (ò.ê. P φ 1, то v = const) – изохорный
процесс.

Таким образом, рассмотренные основные термодинамические процессы являются частными случаями политропных процессов (при условии, что теплоемкость в этих процессах принимается постоянной).

Изобразим политропные процессы в Pv-координатах при различ- ных показателях политропы n (рис. 6.5.1).

Адиабата делит все процессы в Pv-координатах на две группы:

•процессы, распложенные выше адиабаты; в этой группе процессов тепло подводится;

•процессы, расположенные ниже адиабаты; в этой группе процессов тепло отводится.

Уравнения политропы Pvn = const и адиабаты Pvk = const одинаковы по форме и отличаются только показателем, поэтому зависи-

P
n = φ
	U > 0, n < 1
	q > 0, n < k
	n = 0
q < 0, n > k	1 > n > 0
	n = 1
U < 0, n > 1	n = k
n =+φ φ> n > k
	v
Ðèñ. 6.5.1

88

		Таблица 6.5.1
Изменение внутренней энергии	Расширение газа	Сжатие газа
U > 0	n < 1	n > 1
U = 0	n = 0	n = 0
U < 0	n > 1	n < 1
Знак теплоты	Расширение газа	Сжатие газа
q > 0	n < k	n > k
q = 0	n = k	n = k
q < 0	n > k	n < k

мости, выведенные для адиабатного процесса, остаются справедливыми и для политропного процесса при замене показателя k показателем n. Таким образом, зависимости между основными терми- ческими параметрами имеют вид

§ v ·n1

§ v

·n

§ P ·

n1

T

P

T

n

1

¨

2

¸

;

1

¨

2

¸

;

1

¨

1

¸ .

(6.5.2)

T2

© v1 ¹

P2

© v1 ¹

T2

©

P2 ¹

Величина работы вычисляется по формулам

l	R	T	T	, l	1	Pv	P v	.	(6.5.3)
	n 1 1		2		n 1 1 1		2 2

Согласно первому закону термодинамики для политропного процесса

q u

u

l Cv T

T

R

T

T

§C

R

·

T

T

.

2

v

¸

1

2

1

n 1

1

2

¨

n 1

2

1

©

¹

Сравнивая полученное выражение с формулой q = C(T – T ), на-

2 1

ходим зависимость

C Cv				R nCv Cv R nCv CP
				n 1		n 1		n 1
или, учитывая, что	CP			k,

Cv

89

C	n k	C .	(6.5.4)
	n 1 v

Формулой (6.5.4) определяется теплоемкость политропного про-

цесса.

Логарифмируя уравнение политропы Pvn = const, получаем

lnP = nlnv = const

– прямая линия в логарифмических координатах или

§ P ·

ln ¨

1

¸

n

©

P2 ¹

.

(6.5.5)

§ v

·

ln ¨

2

¸

© v1 ¹

Для политропного процесса величина

D

'u

Cv T2 T1

n 1

.

(6.5.6)

n k

q

C

T

T

n k

v n 1

2

1

Изменение энтропии политропного процесса определяется по

формуле

S2 S1	C ln
		T2	,		(6.5.7)
		T1
где C – теплоемкость политропного процесса C				C	n k	.
				v n 1

6.6. Дросселирование. Эффект Джоуля–Томсона

Из опыта известно, если в трубе или в другом канале имеется сужение, а затем сечение увеличивается, то давление газа или жидкости за сужением будет всегда меньше, чем перед ним (рис. 6.6.1). Такое сужение называют местным сопротивлением.

Эффект падения давления струи рабочего тела в процессе протекания через сужение в канале называется дросселированием или

90