Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

Продолжение табл. 1.3

№Исходный участок

								Результат преобразования
п/п	цепи или подсхема
	1								1
					R	(G	)	R12(G12)	R13(G13)
					1	1
7	R2(G2)					R3(G3)			R23(G23)

2

3

2

3

				R R							R R
				1	2						1	3
	R	= R	+ R	+ ------------		, R				= R	+ R + ------------ ,
	12	1		2		13				1	3
				R							R
				3							2
				R R
				2	3
	R	= R	+ R	+ ------------
	23	2		3
				R
				1
	1					1
R12(G12)	R13(G13)								R1(G1)

		R23(G23)	R2(G2)	R3(G3)
8	2	3	2	3

		R R		R R			R	R
	R =	-----------------12	13 , R	= -----------------	12	23 , R	= -----------------13	23 ,
1			2			3
								G	G
	= R + R + R , G = G + G + 12 13 ,------------------
		12	13	23	1	12	13
								G
									23
				G	G				G G
	G = G + G +			------------------12 23 , G = G + G +					------------------13 23
2		12	23			3	13	23
				G					G
					13				12
1						1
	E1			E21		E13

	R1		R12	R13
R2	R3
		E3
E2				E32
9				R23
2		3	2	3

E = E – E , E = E – E , E = E – E ,

13 3 1 32 2 3 21 1 2

			R R				R R
			1	2			1	3
R	= R	+ R	+ ------------		, R	= R	+ R + ------------ ,
21	1		2		13	1	3
			R				R
			3				2
			R R
			2	3
R	= R	+ R	+ ------------
23	2		3
			R
			1

11

Окончание табл. 1.3

№Исходный участок

					Результат преобразования
п/п	цепи или подсхема
		1				1
	E21	E13				E1
	R12			R13		R1
					R2	R3
							E3
	R23	E	32		E2

2

3

2

3

10

								R		R			R		R			R	R
							R	= -----------------	12	13 , R		= -----------------12			23 , R		=	-----------------13	23 ,
								1			2					3
								= R	+ R		+ R		,
								12		13		23
		E	+ E		+ E = 0			R		E	– R		E			R	E	– R		E
							E	=	13	21		12	13	,	E =	12		32	23	21	,
13			32			21										----------------------------------------
								1							2
								R		E	– R		E
							E = ----------------------------------------		23	13		13	32
								3
				R1											R1
						R2							E
		E														R2
															E
11															E	Rn
					R	n

	1	J	n+1	1		n+1
	G1		G1	J	J	Gn
12			Gn		J
	G2			2		n
	2		n		G2

12

Так, например, участок цепи (рис. 1.1) можно согласно пп. 1 и 3

табл. 1.3 заменить схемой на рис. 1.2 с параметрами Е = Е + Е – Е ,

1 2 3

R = R + R + R + R .

1

2

3

4

E1

R1

E2

R2

E3

R3

R4

1

2

Рис. 1.1

1

E

R

I

2

U12

Рис. 1.2

Законы и уравнения Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в одном узле, равна нулю. Уравнение, составленное по этому закону, имеете вид

∑Ik = 0 ,

(1.1)

причем токи, направленные от узла (выходящие), входят в это уравнение с положительным знаком, а токи, направленные к узлу (входящие), — с отрицательным знаком.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений ветвей вдоль любого контура равна нулю. Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, имеете вид

∑Uk = 0 ,

(1.2)

причем напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода контура, берутся с положительным знаком, а напряжения, направления которых противоположны направлению обхода контура, — с отрицательным знаком.

Обобщенный закон Ома. Для ветви, представляющей собой последовательное соединение источников ЭДС и резисторов (см. рис. 1.1), компонентное уравнение имеет вид (см. также рис.1.2)

RI = U	+ E, E = E	+ E – E , R = R			+ R + R	+ R	(1.3)
12	1	2	3	1	2	3	4

и называется обобщенным законом Ома.

13

Обобщенная ветвь. Для формализации математического описания цепи удобно использовать понятие обобщенной ветви, содержащей все три типа элементов резистивных цепей: идеальный резистор, источник ЭДС и источник тока (рис. 1.3).

Jk

Ik

Rk Ek

Uk

Рис. 1.3

Компонентное уравнение обобщенной ветви (закон Ома для обобщенной ветви) имеет вид

Uk = Rk(Ik + Jk) – Ek.

(1.4)

Фундаментальная система уравнений электрической цепи. Для однозначного расчета токов и напряжений цепи, содержащей q узлов и n ветвей, необходимо составить q – 1 уравнение первого закона Кирхгофа, n – q + 1 уравнение второго закона Кирхгофа и n компонентных уравнений ветвей. Подобную систему уравнений называют фундаментальной системой уравнений цепи, составленной по первому и второму законам Кирхгофа и закону Ома для обобщенной ветви. В случае, если все ветви цепи представлены в виде обобщенных ветвей цепи, подобная система уравнений в матричной записи имеет вид

AI(в) = 0, BU(в) = 0, U(в) = R(в)(I(в) + J(в)) – E(в).

(1.5)

Здесь I(в) = [I1 I2 … In]т, U(в) = [U1 U2 … Un]т — вектор-столбцы

токов и напряжений ветвей цепи; R(в) = diag{R R … Rn} — диаго-

1 2

нальная матрица сопротивлений ветвей цепи; E(в) = [E E … En]т;

1 2

J(в) = [J J … Jn]т — вектор-столбцы ЭДС и источников тока ветвей,

1 2

14

а (q – 1)×n — матрица А и [n – (q – 1)]×n — матрица В, называемые соответственно матрицей соединений и контурной матрицей. У матрицы соединений элемент Aij = 1, если j-я ветвь соединена с i-м узлом и направлена от узла, Aij = –1, если j-я ветвь соединена с i-м узлом и направлена к этому узлу, и Aij = 0, если j-я ветвь не соединена с i-м узлом. У матрицы В элемент Вij = 1, если j-я ветвь содержится в i-м контуре и ее направление совпадает с направлением обхода этого контура, Вij = –1, если j-я ветвь содержится в i-м контуре и ее направление противоположно направлению обхода этого контура, Вij = 0, если j-я ветвь не содержится в i-м контуре. Матрицы А и В называют топологическими матрицами, основное свойство этих матриц определяется соотношением

т	т
AB	= 0 или BА	= 0.	(1.6)

Узловые и контурные уравнения. Если уравнение закона Ома для

(в)	(в)	(в)	(в)	(в)
обобщенной ветви (1.4) представить в виде U	= R	(I	+ J	) – E
или, что то же, в виде
G(в)U(в) = I(в) + J(в) – G(в)E(в), G(в)= (R(в))–1,				(1.7)

а затем умножить на матрицу А и далее учесть связь вектора напря-

жений ветвей U(в) с вектором узловых потенциалов (напряжений)

= [ϕ1 ϕ2 … ϕq – 1]т:

(в)	т
U	= А ,	(1.8)
то полученное уравнение (узловое уравнение)
G(у) = J(у)		(1.9)

будет содержать меньшее число неизвестных, чем уравнение (1.3). Здесь

(у)	(в)	т	– (q – 1)×(q – 1) — матрица; G	(в)
G	= AG	A			= diag{G G … G } —
					1 2	n

диагональная матрица проводимостей ветвей цепи; J(у) = A(I(в) + + J(в) – G(в)E(в)) = AJ(в) – AG(в)E(в)— вектор узловых токов. Заметим,

15

что для формирования матрицы G(у) нет необходимости перемножать

			(в)	т
матрицы		А,	G	и А , поскольку ij-й элемент этой матрицы
		сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i
	(собственная узловая проводимость), если i = j;
(у)
Gij	=
	проводимости ветви, соединяющей узлы i и j и взятой
		с обратным знаком (общая узловая проводимость), если i ≠ j.
Аналогично для определения вектора узловых токов J(у) = AJ(в)
(считается,			что	все ЭДС ветвей предварительно преобразованы
в источники токов) нет необходимости умножать матрицу A на век-
тор	J(в),	поскольку i-й			элемент (узловой ток узла i) матрицы
(у)		(у)	(у)	(у)	т
J	= [J1		J2	…Jq – 1 ]	равен алгебраической сумме токов источ-

ников тока ветвей, подходящих к узлу i. Решив узловые уравнения (1.9), напряжения ветвей цепи находят по уравнению связи (1.8).

Сходным образом можно вывести контурное уравнение

R(к) I(к) = E(к),	(1.10)
где R(к) и E(к) — матрица контурных сопротивлений и вектор контур-
ных ЭДС:
R(к) = В R(в) Вт,	(1.11)
E(к) = В Е(в) – В R(в) J(в),	(1.12)

а I(к) — вектор контурных токов, связанных с вектором токов ветвей соотношением

			I(в) = Вт I(к).	(1.13)
	Элемент ij матрицы R(к)
			сумме сопротивлений контура i
			(собственное контурное сопротивление), если i = j;
R	(к)	сопротивлению ветви, общей для контуров i и j (общее
		=

ij

контурное сопротивление), взятому со знаком плюс,

если контурные токи контуров i и j в общей ветви направлены

одинаково, и со знаком минус в противоположном случае, i ≠ j.

16

Элемент i вектора E(к), называемый контурной ЭДС контура i равен алгебраической сумме ЭДС ветвей, входящих в контур i, взятых со знаком плюс, если направление ветвей совпадает с направлением обхода контура, и минус в противоположном случае.

Решив контурные уравнения (1.10), токи ветвей цепи можно найти по уравнениям связи (1.13).

Эквивалентный генератор. Любой двухполюсник А , соединен-

1

ный с внешней цепью А (рис. 1.4, а), можно заменить эквивалент-

2

ным генератором ЭДС (рис. 1.4, б) или тока (рис. 1.4, в), не изменив

распределения токов и напряжений в цепи А .

2

При этом параметрами эквивалентных генераторов являются R ,

г

G — входное сопротивление и входная проводимость двухполюс-

г

ника А (при определении R и G ветви с источниками ЭДС размыка-

1 г г

ются, а ветви с источниками тока «закорачиваются»), E = U

и J

= I ,

г

x

г

к

1

I

1 I

1

I

Eг

U

A2

Gг

U

A2

A1

U

A2

Jг

Rг

1

1

1

а)

б)

в)

1

1

A1

A1

Uх

Iк

1

1

г)

д)

1I

		1		1
Eг1	Eг2			A2
Rг1	A1	J = I	J = I
	Rг2	1
1				1
е)		ж)		з)

Рис. 1.4

17

где U — напряжение холостого хода (рис. 1.4, г) и I — ток корот-

x

к

кого замыкания (рис. 1.4, д) двухполюсника А .

1

Замена двухполюсника А (рис. 1.4, а) эквивалентным генерато-

1

ром ЭДС (рис. 1.4, б) или тока (рис. 1.4, в) упрощает исходную схему (см. рис. 1.4, а). Метод расчета цепи, основанный на подобном упрощении ее схемы, называют методом эквивалентного генератора.

Диакоптика (расчет по частям) электрических цепей. Условно разбив всю цепь на ряд подцепей — двухполюсников и заменив последние эквивалентными генераторами, можно входные напряжения и токи подцепей определить для более простой цепи, чем исходная. Используя найденные входные токи и напряжения двухполюсников, внутренние токи и напряжения каждого из них находят отдельно, без учета других двухполюсников. Так, заменив двухполюсники А и А (см. рис. 1.4, а) эквивалентными генераторами с

12

параметрами E	, R	и E , R	(рис. 1.4, е), можно рассчитать ток
г1	г1	г2	г2

E– E

I = -----------------------г1	г2	и далее, заменив ветвь с известным током ветвью с
R	+ R
г1	г2

источником тока, рассчитать внутренние токи и напряжения двухполюсников А и А по схемам рис. 1.4, ж и з.

12

Принцип наложения (суперпозиции). Входные и взаимные проводимости, коэффициенты передачи. Согласно принципу наложения (суперпозиции) ток в любой ветви цепи, например ветви h, определяется как сумма токов, обусловленных отдельным действием источников ЭДС Ej и источников тока Jj всех n ветвей цепи:

n	n
Ih = ∑ GhjEj + ∑ KhIjJj ,
j = 1	j = 1

где Ghj — так называемая взаимная проводимость ветвей h и j (при j = h взаимную проводимость Ghj = Ghh называют входной проводи-

мостью ветви h), а KhIj — коэффициент передачи по току между ветвями j и h. Взаимная проводимость Ghj определяется как отношение тока в ветви h, обусловленного действием ЭДС Ej, к значению этой ЭДС при условии, что остальные ЭДС и токи источников тока цепи

равны нулю. Коэффициент KhIj определяется как отношение тока в

18

ветви h, обусловленного действием источника тока Jj, к току источника Jj при условии, что остальные источники ЭДС и токи источников тока равны нулю. Аналогично напряжение любой ветви h можно представить в виде

n	n
Uh = ∑ KhUjEj + ∑ RhjJj .
j = 1	j = 1

Здесь KUhj — коэффициент передачи по напряжению между ветвями j

и h, а Rhj — взаимное сопротивление ветвей h и j (при h = j сопротивление Rhj = Rhh называют входным сопротивлением ветви h).

Прямые и обратные задачи расчета цепей постоянного тока.

В прямых задачах полагается заданной топология (схема) цепи и значения параметров: сопротивлений (проводимостей), источников ЭДС и тока всех ее ветвей, а подлежат определению токи, напряжения элементов цепи. Для решения этих задач можно воспользоваться любыми методами анализа цепей: методами эквивалентного генератора, контурных токов, узловых напряжений, топологических преобразований, непосредственного использования уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений цепи.

В рассматриваемых в задачнике обратных задачах часть параметров цепи с известной топологией неизвестна и подлежит определению, а в число известных параметров включены токи и напряжения некоторых ветвей цепи. Для решения этих задач необходимо, используя аналитическую запись уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений, вначале сформировать в явном виде уравнения, связывающие неизвестные параметры цепи с известными параметрами и величинами, а затем решить их.

Баланс мощностей. В электрической цепи выполняется равенство мощностей генераторов (источников) и приемников (нагрузок):

∑Pг = ∑Pпр .

(1.14)

ji

19

1.1. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

1.1(р). Дано: I = 10 A, R = 8 Ом, R = 2 Ом.

12

Определить токи I и I (рис. к задаче 1.1(р)).

12

	I				IR
	I1	I2		R	1
R1	U	R2	E		V
			IA	A	2

Рис. к задаче 1.1(р) Рис. к задаче 1.2

Решение. По законам Кирхгофа

								R		2
	U = R I ,							2
				I		= I-------------------			= 10------------		= 2 А;
	1 1				1
							R	+ R		2 + 8
							1	2
	U = R2I2	,
								R		8
								1
	I = I + I ,			I		= I	-------------------		= 10	------------	= 8 А.
					2		R	+ R		2 + 8
	1	2
							1	2

Полученные формулы часто называют формулами разброса.

1.2. Определить сопротивление резистора R методом вольтметраамперметра (рис. к задаче 1.2). Приборы неидеальные, внутренние сопротивления вольтметра RV, амперметра RA. Известны показания

приборов в положении ключа 1 и 2.

1.3(р). При снятии вольт-амперной характеристики резистора методом вольтметра-амперметра при пяти значениях тока получены следующие опытные данные:

k	1	2	3	4	5
I, мА	2	3	4	5	6
U, В	6	13	14	18	21

Пренебрегая нелинейностью резистора, рассчитать и построить его вольт-амперную характеристику, арифметическая сумма квадратов отклонений которой от опытных точек минимальна.

Решение. Расчет и дальнейшее построение вольт-амперной характеристики (ВАХ) U(I) или I(U) (рис. к задаче 1.3(р)) сводится к расчету значений сопротивления R, соответствующих условию.

На рисунке представлены данные опыта (опытные точки) и рассчитанная ВАХ.

20