Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

Для составления уравнений по методу контурных токов опреде-
лим необходимое число уравнений. Так как ток Ia = E/2R известен, то
число неизвестных токов ветвей в = 6. Число узлов у = 4. Необходимо
составить в – (у – 1) = 3 уравнения. Выберем контуры с контурными
токами I , I		и I (рис. 3 к задаче 1.20(р)).
I	II	III
		I1	a	R	I2 b	R I3 c	2R I4
			Ia			Ib	Ic
	E		2R			2R	2R
			II			III	IIII
						0
			Рис. 3 к задаче 1.20(р)

Контурные уравнения:

I (R + 2R) – I æ2R = E;

III

I (2R + R + 2R) – I æ2R – I æ2R = 0;

II I III

I(2R + 2R) – I æ2R = 0.

IIIII

Решение уравнений:

		I			I
		II			I
I	= -----		, I	= ---		I		= I
III		2	II		2			2
		E			E
I4 = IIII	=	------	, Ia	=	------		, Ib	= II
		8R			2R

	E					E
=	------	, I	=	I	=	------	,
I	2R	3			II	4R
		E						E
– III =		------	, I	1	= I	2 + Ia		= --- .
		4R						R

1.21. Определить токи методом контурных токов и методом узловых потенциалов (рис. к задаче 1.21).

R1= 10 Ом		R2= 40 Ом
I3			I2
E1= 4 В	R3= 20 Ом	J = 0,3 А	E2= 10 В
I1
	Рис. к задаче 1.21

31

	1.22. Дано: R	= 3 Ом, E	= 9 В, R			= 6 Ом, E		= 6 В, R	= 2 Ом,
	1	1			2		3		3
Е	= 20 В, R = 6 Ом, J = 4 А, R			= 2 Ом (рис. к задаче 1.22).
6	4			6
		R1		E3	R3	J	R6
						I3
	E1	R2				R4		E6
	I1	I2		I5		I4		I6
		J
		Рис. к задаче 1.22

						J
		R		E	3	R	3		R	5
		1
							I3	I4		I5
E1			R2					R4		E5
I	1	R	I	2
		1
			Рис. к задаче 1.23

	Найти токи в ветвях методом узловых потенциалов.
	1.23. Дано: E	= 4 В, R′ = 4 Ом, R″ = 4 Ом, R			= 2 Ом, E	= 2 В,
	1	1	1	2	3
R	= 1 Ом, R = 1 Ом, E = 12 В, J = 2 А (рис. к задаче 1.23).
4	5	5
	Определить токи методом узловых потенциалов.
	1.24. Дано: R′	= 0,5 Ом, R″	= 1 Ом, Е	= 2 В, R	= 3 Ом, E′	= 4 В,
	1	1	1	2	2
E″ = 12 В, R = 10 Ом, R = 2 Ом, Е = 19 В, R = 3 Ом, Е = 12 В (рис.
2	3	4	4	5	5
к задаче 1.24).
	Найти токи в ветвях методом узловых потенциалов.
	Методическое указание. Ветвь с			идеальным амперметром

представляет собой короткозамкнутую ветвь, ток I может быть найден по первому закону Кирхгофа после того, как найдены все токи ветвей. Цепь имеет три узла, так как узлы, соединяющие короткозамкнутую ветвь, считаются одним узлом. Составляется система, состоящая из двух узловых уравнений.

32

	R1	E1
	E2	I1
		R2
		I2
R3	I3
		E4
		E5

R1		E1						R1
E2		E2						R2
		0						a
	+	E3						R3
I	A
R4	–
I4		R	4	R	5		R	6
R5
I5						b		V

Рис. к задаче 1.24

Рис. к задаче 1.25(p)

1.25(р). Дано: R = 40 Ом, Е = 220 В, R = 200 Ом, Е = 100 В,

1

1

2

2

R = 100 Ом, Е = 120 В, R = 50 Ом, R = 20 Ом, R = 100 Ом (рис. к

3

3

4

5

6

задаче 1.25(р)).

Найти показание вольтметра V.

Решение. Решим задачу методом узловых потенциалов. Пусть

ϕ = 0. Тогда для неизвестных узловых потенциалов ϕa и ϕb составим

0

узловые уравнения:

		1	1		1		E		E			E
ϕ				+			=	1	+	2	+	3	;
	a	----- +	-----		-----							-----
		R	R		R		R		R			R
		1	2		3			1		2		3
		1	1		1		E		E			E
ϕ				+			=	4	+	5	+	6	.
	b	----- +	-----		-----							-----
		R	R		R		R		R			R
		4	5		6			4		5		6

Подставим численные данные:

ϕ		1	1		+		1		=		220		+		100		+		120		= 180 В;
	a	----- +	--------								--------				--------				--------
		40	200								40				200				100
						100
ϕ		1	1	+		1			=	220		+		100		+		120		= 132,5 В.
	b	----- +	-----			--------				--------				--------				--------
		50	20								50				20			100
						100

Показание вольтметра

UV = ϕa – ϕb = 180 – 132,5 = 47,5 В.

1.26(р). Дано: R = 10 Ом, R = 50 Ом, R = 30 Ом, R = 20 Ом,

2

3

4

5

R = 40 Ом, Е = 50 В, J = 2,5 А (рис. к задаче 1.26(р))

6

1

2

Определить токи методом узловых потенциалов.

33

	2	I	R3	Решение. Ток I6 определяется по
			3
				закону Ома: I	= –E /R	= 50/40 =

I5

6

1

6

J2

= –1,25 А. Ток I определим по пер-

1

R6

E1

R5

вому закону Кирхгофа после того,

R

2

как рассчитаем токи I

и I . Ток I

= I ,

4

6

3

5

I6

I1

R4

I

так как это токи в одной ветви.

4

Для расчета токов по методу узловых

0

1 потенциалов

необходимо

составить

Рис. к задаче 1.26(p)

узловые уравнения,

число которых

определяется

числом

неизвестных

узловых потенциалов. В данном случае, приняв ϕ = 0, получим, что

0

узловой потенциал ϕ = E = 50 В, т.е. известен. Поэтому неизвест-

21

ным узловым потенциалом является ϕ , для которого составляется

1

одно узловое уравнение

				1		+			1			ϕ		–			1		ϕ	= –J .
				-----			R-------------------		+ R							R-------------------	+ R
				R									1						2	2
				4				3			5					3		5
Подставляем в него числовые значения
	1	+	1		ϕ		–			1				50 = –2,5 и находим ϕ = –37,5 В.
	-----		50------------------+ 20						50------------------+ 20
	30																			1
						1
Рассчитаем токи ветвей:
									ϕ		– ϕ				50 + 37,5
			I	3	= I		5	=	-------------------2		+ R		1	=					= 1,25 А,
									R							50 + 20

35

		ϕ	– ϕ		–37,5
	I	= -------------------1	0	=		= –1,25 А.
	4		R		30
			4
Ток I	= I – I	= –1,25 + 1,25 = 0.
1	4	6

1.3. ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОСТИ

1.27(р). В цепи выделены две ветви. При разомкнутых ключах К

1

и К ток I = 1 A, I = 0. При замкнутом ключе К и разомкнутом К

2

1

2

1

2

ток I = 2 A, I = 0,5 А (рис. к задаче 1.27(р)). Определить ток I при

1

2

1

замкнутых ключах К и К , если в этом режиме ток I = 1 А.

1

2

2

Решение. Токи I и I связаны линейным соотношением I (I )=aI +b.

1

2

1

2

2

Для определения коэффициентов линейности a и b запишем уравнения: при I = 1 A и I = 0 aæ0 + b = 1 b = 1;

12

при I = 2 A и I = 0,5 А aæ0,5 + b = 2 a = (2 – 1)/0,5 = 2.

12

Линейное соотношение I (I ) = 2I			+ 1. Тогда при I	= 1 А ток I = 3 A.
1	2	2	2	1

34

	К1
I1	R1
E1			I2
	R2
	К2
Рис. к задаче 1.27(р)
R1		R3
I1		I3
E1	R2	R4	U5
Рис. 2 к задаче 1.28(p)

R1		R3
		I3
E1	R2	R4	U5	R	5
Рис. 1 к задаче 1.28(p)

R1

R3

I1

I3

R4 U5

E1

R2

Рис. 3 к задаче 1.28(p)

1.28(р). Дано: R = R = R = 5 Ом, R = 10 Ом, R = 0ò×, Е = 20 В

1

3

4

2

5

1

(рис. 1 к задаче 1.28(р)).

Составить уравнение линейной связи между напряжением U и

5

током I .

3

Решение. Ток I и напряжение U связаны линейным соотноше-

3

5

нием U (I ) = aI + b.

5

3

3

Выберем два режима для определения коэффициентов линейности a и b. Пусть R = × (разрыв) (рис. 2 к задаче 1.28(р)). Рассчи-

	5
таем ток I′ и напряжение U′			в этом режиме. Расчетная схема:
3		5
			E				20
I ′	= ----------------------------------------------------		1		+ R	=		= 2 А;
1		R (R				)	10
			2	3		4
	R +	R--------------------------------------	+ (R		+ R )
	1
		2			3	4
			R
			2
I ′	= I ′--------------------------------------					= 1 А;
3	1 R +		(R	+ R		)
	2		3		4

U′ = I′ R = 5 В.

53 4

Пусть R = 0 (короткое замыкание) (рис. 3 к задаче 1.28(р). Рас-

5

считаем ток I″ и напряжение U″ в этом режиме.

3

5

35

Расчетная схема:
			E				20
			1
I ″ = ---------------------------------			R R		=	--------------------------	10	= 2,4 А;
1								æ5
			2	3		5 +	---------------
R	1	+	-------------------				10 + 5
			R + R

23

			R		10
I ″ =	I ″	-------------------	2	= 2,4		= 1,6 А;
3	1	R	+ R		15

23

U″ = 0.

5

При I′ = 1 A и U′ = 5 В aæ1 + b = 5;

35

при I″ = 1,6 A и U″ = 0 aæ1,6 + b = 0.

35

Решаем уравнения и получаем a = –8,33, b = 13,33. Линейное соотношение U (I ) = 13,33 – 8,33I .

5

3

3

1.29(р). Дано: R = 5 Ом, R = 2 Ом, R = 8 Ом, R = 2 Ом, R = 1 Ом,

1

2

3

4

5

R = 2 Ом, R = 1 Ом, J = 16 А (рис. 1 к задаче 1.29(р)).

67

R2

I

2

R4

I

4

I1

I3

I5

I6

J

R1

R3

R5

R6

R7

Рис. 1 к задаче 1.29(p)

Рассчитать все токи методом пропорциональных величин. Решение. Метод пропорциональных величин используется при

расчете разветвленных цепей с одним источником. Расчет схемы начинают с «конца» цепи, задавая ток в «конечной» ветви, равный какому-нибудь значению, как правило 1 А. Используя закон Ома и законы Кирхгофа, рассчитывают последовательно токи всех ветвей. Затем определяют значение источника и сравнивают его с исходным. Коэффициент пропорциональности k определяется отношением исходного значения источника к рассчитанному. Решение основано на выполнении принципа линейности: изменение значения источника в k раз приводит к изменению всех токов в k раз.

Пусть I′ = 1 А. Рассчитаем все токи и значение источника тока 3′,

6

при котором ток I′ = 1 А (рис. 2 к задаче 1.29(р)):

6

36

			3	R2	I 2	R4	I	1
					2		4
			I1		I3			I5	I6
J			R1		R3			R5	R6
				R7
			4		0			0
			Рис. 2 к задаче 1.29(p)
	R1	I	1			R1		R3
	R4				I1					I5
J			Rн		E1		R2		R4
										R	5
I4	R3
	R2
Рис. к задаче 1.30						Рис. 1 к задаче 1.31(p)

		U′	= I′ R = 2 В, I′ = U′					/R = 2 А, I′ = I′ + I′ = 3 А,
		10		6	6	5	10	5		4	5	6
	U′	= I′ R + U′				= 8 В, I′ = U′			/R = 1 А, I′ = I′ + I′ = 4 А,
	20		4	4	10		3	20	3	2	3	4
U′	= I′ R + U′				+ I′ R = 20 В, I′ = U′					/R = 4 А. J′= I′ + I′ = 8 А.
34	2	2		20	2	7	1		34	1		1	2

Исходное значение источника тока J = 16 А.

Коэффициент пропорциональности k = J/J′ = 16/8 = 2. Следовательно, все токи необходимо изменить в k раз, т.е. увеличить в 2 раза.

1.30. Составить уравнение линейной зависимости I					= f(I ) для
				1	4
схемы, если R = 1 Ом, R		= 2 Ом, R	= 3 Ом, R	= 4 Ом, R = 0ò×
1	2	3		4	н
(нагрузка), J = 1 А (рис. к задаче 1.30).
1.31(р). Дано: R = 5 Ом, R = 8 Ом, R = 2 Ом, R = 3 Ом, R = 6 Ом
1		2	3	4	5

(рис. 1 к задаче 1.31(р)).

Проверить выполнение свойства взаимности между первой и пятой ветвью электрической цепи.

Решение. В соответствии с принципом взаимности, если единственный источник Е в первой ветви определяет ток в пятой ветви,

1
равный I , то точно такой же источник Е		= Е в пятой ветви будет
5	5	1
определять ток в первой ветви, численно равный I			= I .
		1	5

37

Зададим I	= 1 А. Рассчитаем значение E , используя методику
5	1

расчета цепей с «конечной» ветви (см. задачу 1.29). Получаем E = 34,5 В.

1

Перенесем источник в пятую ветвь (рис. 2 к задаче 1.31(р)).

R1	R3
I1	I5
	R5
R2	R4
	E5
Рис. 2 к задаче 1.31(p)

Теперь зададим I = 1 А. Рассчитанное значение источника ЭДС

1

E = 34,5 В подтверждает выполнение принципа взаимности.

5

1.4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

1.32(р). Дано: Е

= 20 В, R = 2 Ом, R

= 3 Ом, J = 30 А (рис. 1 к

1

1

2

задаче 1.32(р)).

Найти токи I

и I , предварительно пре-

1

2

I1

I2

образовав:

R1

1) источник ЭДС с внутренним сопротив-

лением R в эквивалентный источник тока;

J

R2

1

2) источник тока с внутренним сопротив-

E1

лением R в эквивалентный источник ЭДС.

2

Решение:

1)

после

преобразования

левой части схемы (рис. 2 к задаче 1.32(р)),

Рис. 1 к задаче 1.32(p)

I1

I2

I1

I2

R1

J

R2

Jэ1

R1

J

R2

E1

Рис. 2 к задаче 1.32(p)

38

		E		20
где J	=	-----1	=		= 10	А, дальнейшее преобразование двух парал-
	э1	R		2
		1

лельных источников тока в один (рис. 3 к задаче 1.32(р)) и использо-

вание «формулы разброса» позволяют определить ток I , который

2

остался неизменным после проведенных преобразований:
	R			R	2
	1			1
I2 = J	э1 R-------------------+ R		= (J	э1 – J)R-------------------+ R	= (10 – 30)2------------+ 3	= –8	А.
	1	2		1	2

I2

Jэ

R1 R2

Рис. 3 к задаче 1.32(p)

I1	I2		I1
R1		R1	R2
	J	R2
E1		E1	Eэ2

Рис. 4 к задаче 1.32(p)

Ток I найдем по первому закону Кирхгофа для схемы рис. 1 к

1

задаче 1.32(р):

I= J + I = 30 – 8 = 22 А;

1 2

2)после преобразования правой части схемы (рис. 4 к задаче

1.32(р)), где E	= JR = 30æ3 = 90				В, ток I остался неизменным и
э2	2					1
может быть найден по формуле
			E	+ E
			1		э2
	I	=	---------------------			= 22 А.
		1	R	+ R
			1		2

Ток I найдем по первому закону Кирхгофа для исходной схемы:

2

I = I – J = 22 – 30 = –8 А.

21

39

b			Rab			a
		Rbc c			Rca
R1				I			R2
					E

Рис. 1 к задаче 1.33(p)

1.33(р). Дано: R = 2 Ом, R = 5 Ом

12

(рис. 1 к задаче 1.33(р)).

1. Найти входное сопротивление относительно источника ЭДС, заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой, при

а) Rab = Rbc = Rca = 3 Ом;

б) Rab = Rca = 30 Ом, Rbc = 40 Ом.

2. Найти входное сопротивление относительно источника ЭДС, заменив звезду сопротивлений с общей точкой в узле а на эквивалентный треугольник при значениях сопротивлений, указанных в пп. а) и б).

Решение:

1а) преобразуем треугольник в звезду: (рис. 2 к задаче 1.33(р)).

b	Rab	a

Rb	Ra
Rbc	Rc	Rca
c
R1		R2
Rвх

Rb	Ra	a
b

Rc c

R1	R2
	Rвх

Рис. 2 к задаче 1.33(p)

Тогда

		RabRca					RbcRab
Ra	= -----------------------------------------			= 1 Ом,	Rb	= -----------------------------------------		= 1 Ом,
	Rab	+ Rca +		Rbc		Rab	+ Rca + Rbc
				RbcRca
			Rc	= -----------------------------------------		= 1 Ом,
				Rab + Rca	+ Rbc
			(Rb + R1 )(Ra		+ R2 )
		Rвх	= ---------------------------------------------------------			+ Rc = 3 Ом;
			(Rb + R1 ) + (Ra + R2 )

1б) проведем аналогичное преобразование и получим:

		RabRca					RbcRab
Ra	= -----------------------------------------			= 9 Ом,	Rb	= -----------------------------------------		= 12 Ом,
	Rab	+ Rca +		Rbc		Rab	+ Rca + Rbc
				RbcRca
			Rc	= -----------------------------------------		= 12 Ом,
				Rab + Rca	+ Rbc
			(Ra + R1 )(Rb		+ R2 )
		Rвх	= ---------------------------------------------------------			+ Rc = 19 Ом;
			(Ra + R1 ) + (Rb + R2 )

40