Раздел I механика. Молекулярная физика. Термодинамика.

Механика - наука о перемещениях одних тел относительно других и о причинах этих перемещений. Основные понятия и законы механики используются практически во всех разделах физики и во всех естественных науках.

Молекулярная физика изучает явления, обусловленные молекулярным строением тел, взаимным расположением, взаимодействием и движением молекул. К молекулярным явлениям относятся, например, нагревание и охлаждение, плавление и кристаллизация, поверхностные явления, вязкость, диффузия и др. Молекулярные явления играют важную роль в жизненных процессах, в процессах лекарственного воздействия на организм, при производстве лекарственных веществ.

Термодинамика изучает макропроцессы (процессы, обусловленные движением и взаимодействием большого числа микрочастиц: молекул, атомов и т. д.) на основе исследования превращений энергии, сопровождающих эти процессы.

Термодинамические законы важны для физики и биофизики, а также химии и других естественных наук.

Глава 1 законы динамики ньютона. Законы сохранения.

1.1. Законы ньютона. Основные дифференциальные уравнения движения.

Механика изучает перемещения одних тел относительно других.

Раздел механики - кинематика исследует перемещения без изучения их причин, например, изучаемые в школе кинематика прямолинейного движения, кинематика движения по окружности.

Другой раздел механики - динамика занимается изучением причин движений. В основе динамики - знаменитые три закона Ньютона, также входящие в программу курса физики средней школы.

Первый закон динамики Ньютона (закон инерции): «Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий или, если они скомпенсированы, сохраняет свою скорость. Изменение скорости тела вызывается действием на него других тел - действием сил со стороны других тел».

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое телу этими силами ускорение:

(1.1)

Третий закон Ньютона говорит о том, что каждой силе действия одного тела на другое соответствует сила противодействия - сила, с которой второе тело действует на

первое; эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой, но противоположно друг другу (рис.1.1):

Рис. 1.1. К третьему закону Ньютона (объяснения в тексте).

На основе второго закона Ньютона можно написать основные дифференциальные уравнения движения, широко используемые для решения многих задач механики. Векторное уравнение второго закона Ньютона заменим тремя скалярными уравнениями:

ma_x =

ma_y =

ma_z=

Здесь аx , аy , аz - проекции вектора ускорения на оси координат X , y и z;

, ,- суммы проекций сил на оси координат.

Поскольку, по определению, ускорение - производная скорости по времени, для проекций ускорения на оси координат можно написать:

a_x=

a_y=

a_z=

А скорость-производная координаты по времени и её проекции на оси координат:

v_x=

v_y=

v_z=

Скалярные уравнения второго закона Ньютона можно написать в виде дифференциальных уравнений второго порядка :

m=

m=

m=

Эти уравнения и называются основными дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Решив их, можно найти закон движения материальной точки - её координаты и скорость в любой момент времени:

x = f ( t, x_o, v_xo ),

y = f ( t, y_o, v_yo ),

z = f ( t, z_o, v_zo ).

Здесь x_o, y_o, z_o, v_xo , v_yo, v_zo- начальные координаты и компоненты скоростей тела.

1. 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Импульсом тела называется произведение его массы на скорость:

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы сохраняется. Это означает, что геометрическая, то есть, векторная сумма импульсов всех тел этой системы не меняется при их взаимодействиях между собой; взаимодействий с телами окружающей среды нет, так как система - замкнутая.

Например, если вы пошатнулись и можете упасть ничком, вы инстинктивно резко выбрасываете свои руки вперёд. Это иногда помогает сохранить равновесие: так как суммарный импульс вашего тела не меняется, при сообщении рукам импульса, направленного вперёд, корпус приобретает импульс, направленный назад. По этой же причине, если вы можете упасть навзничь, вы взмахиваете руками над головой – сообщаете им импульс, направленный назад, чтобы корпус получил импульс, направленный вперёд.

Закон сохранения энергии: «энергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит от одного тела к другому или превращается из одного вида в другой».

Например, когда мячик массой m падает с некоторой высоты H на пол, его потенциальная энергия взаимодействия с Землёй - энергия гравитационного притяжения мячика к земному шару

E_пот = mgh уменьшается по мере уменьшения высоты h мяча над полом от E_пот =mgH, когда h = H до нуля, когда h = 0. Но при этом растёт кинетическая энергия мяча от нуля на высоте h = H, когда его скорость v = 0 до максимального значения у пола, где скорость мячика станет максимальной.

Рис. 1.2. Превращение потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей в кинетическую энергию тела при его падении на землю.

Потенциальная энергия определяется взаимодействиями и взаимным расположением тел или частей одного тела.

Кинетическая энергия – энергия движения тела.

Если бы не было сопротивления воздуха, потенциальная энергия мячика на высоте h=H полностью переходила бы в кинетическую на высоте h=0, а суммарная механическая энергия в любой момент падения оставалась бы неизменной:

Механическая энергия сохраняется в так называемых консервативных системах. В этих системах не действуют силы трения и сопротивления. Консервативные системы – идеализация. На самом деле, реальные системы всегда неконсервативные. Вследствие действия сил трения и сопротивления в реальных системах механическая энергия не сохраняется, а переходит во внутреннюю.

Внутренняя энергия – это сумма потенциальных энергий взаимодействия всех микрочастиц, составляющих тело (молекул, атомов, электронов, ядер, нуклонов и т.д.), друг с другом, и кинетических энергий их движения относительно друг друга.

Когда хороший упругий мяч «прыгает» на твёрдом полу, потенциальная энергия притяжения мяча к Земле в верхней точке над полом mgH превращается в кинетическую энергию у пола . Затем кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию деформации мяча и пола. Потенциальная энергия деформации снова превращается в кинетическую энергию – мяч подпрыгивает вверх, а кинетическая энергия опять превращается в потенциальную энергию взаимодействия мяча с Землёй и т.д. В результате мяч некоторое время прыгает над полом. Но каждый раз мяч подскакивает на всё меньшую высоту. Из-за сил сопротивления воздуха и сил внутреннего трения, действующих при деформации мяча и пола, механическая энергия мяча превращается во внутреннюю энергию мяча, воздуха и пола. Как говорят «энергия рассеивается». Но не исчезает! Она лишь превращается в другие виды энергии и переходит к другим телам.

3. . ЗАДАЧА О ЦЕНТРАЛЬНОМ УДАРЕ ШАРОВ: АБСОЛЮТНО УПРУГОМ И АБСОЛЮТНО НЕУПРУГОМ.

Центральным ударом шаров называется такое столкновение шаров, когда их центры движутся по одной прямой. Задача о центральном ударе шаров не только является великолепной иллюстрацией применения законов сохранения импульса и энергии, но и даёт результаты, широко применяемые в различных разделах физики и химии.

Задача о центральном ударе шаров сводится к нахождению скоростей шаров после соударения u₁ и u₂ при разных значениях масс шаров: m₁ и m₂ и их начальных скоростей: v₁ и v₂ (рис.1.3)

до соударения

соударение

после соударения

Рис. 1.3. Абсолютно упругий удар шаров.

А) Рассмотрим сначала абсолютно упругий удар – когда при столкновении действуют только силы упругости, и после удара оба шара полностью восстанавливают свою форму. Силами внутреннего трения в шарах при ударе пренебрегаем. Также пренебрегаем силами сопротивления воздуха. Считаем систему консервативной. Приближением к абсолютно упругому удару можно считать соударение бильярдных шаров, особенно сделанных из слоновой кости. Для нахождения двух неизвестных u₁ и u₂ напишем систему двух уравнений. Первое уравнение напишем, воспользовавшись законом сохранения энергии, второе – законом сохранения импульса:

В левой части уравнения закона сохранения энергии суммарная кинетическая энергия шаров до соударения. В правой – после. В уравнении закона сохранения импульса в левой части суммарный импульс до, а в правой – после соударения. Закон сохранения импульса написан в скалярной форме, поскольку рассматривается одномерный случай: центральный удар шаров, когда центры масс шаров движутся вдоль одной прямой. Будем считать скорости направленные направо положительными, налево – отрицательными.

Преобразуем уравнения. Все члены с индексами 1 перенесём в левые части уравнений, а с индексами 2 – в правые:

Поделив левую часть первого уравнения на левую часть второго, и соответственно правую часть первого на правую часть второго получим:

и

Подставив это выражение для u₂ в уравнение закона сохранения импульса, получаем:

Отсюда:

и

(1.4)

u₂ получим, поменяв в выражении для u₁ индексы 1 на 2 и индексы 2 на 1:

(1.5)

Рассмотрим приложения формул для u₁ и u₂ (1.4 и 1.5) к некоторым конкретным случаям.

Рис.1.4. – упругие соударения шаров; в1, в2 – упругое соударение шара со стенкой.

1. Два шара с одинаковыми массами летят навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями (рис.1.4 ).

Подставив в формулы для u₁ и u₂ (1.4 и 1.5) m₁=m₂=m и ₁=,₂= -,

получим:

(1.6)

После соударения шары разлетаются в разные стороны с одинаковыми по модулю скоростями (рис.1.4 а₂).

2)Движущийся шар соударяется с покоящимся шаром такой же массы (1.4 б₁): m₁=m₂=m и v₁=v, v₂=0.

Получим:

=-(1.7)

Первый шар после удара останавливается, а второй движется со скоростью первого шара. Первый шар передаёт свой импульс и кинетическую энергию второму (рис. 1.4.б₂ ).

Выводы этой задачи можно применить к объяснению огромного поражающего действия облучения нейтронами большой энергии. В биологической органической среде много ядер атомов водорода – протонов. Масса протонов лишь незначительно отличается от массы нейтронов. При соударениях нейтронов с протонами нейтроны передают им свою энергию, импульс, скорость. Ионизирующее, а следовательно, химическое и биологическое действие нейтронного облучения связано со вторичным эффектом – образованием «ядер отдачи» – протонов, движущихся с большой скоростью. Эти тяжёлые положительно заряженные частицы отрывают электроны от атомов, чего не могут сделать сами нейтральные частицы – нейтроны.

3)Удар шара о стенку, например, соударение молекулы идеального газа со стенкой сосуда. Стенку можно рассматривать как шар бесконечного радиуса. Для простоты ограничимся случаем, когда скорость шара нормальна стенке (рис. 1.4 в₁ ).

Подставив в формулы для u₁ и u₂ ( 1.4 и 1.5) ₁=,₂=0 и считая массу стенки m₂ значительно большей массы шара m₁, получим:

(1.9)

а

(1.10),

так как

Итак, при абсолютно упругом ударе шара о стенку, масса которой значительно больше массы шара, шар отскакивает от стенки со скоростью, равной по модулю начальной скорости шара. Вывод, используемый в молекулярной физике.

Б) Теперь рассмотрим абсолютно неупругий удар шаров, после которого форма шаров не восстанавливается. В этом случае силы упругости отсутствуют, действуют только силы внутреннего трения. Шары полностью пластичны. В некотором приближении можно считать абсолютно неупругим соударение шаров из размягчённого пластилина при не очень больших скоростях движения.

После абсолютно неупругого удара шары слипаются и образуют одно тело (Рис. 1.5).

Рис. 1.5. Абсолютно неупругое соударение шаров: а – до соударения, б – после.

Скорость этого тела, образовавшегося после удара, u можно найти из закона сохранения импульса для этого случая:

;

(1.10)

При абсолютно неупругом ударе система неконсервативна, механическая энергия не сохраняется, часть кинетической энергии шаров расходуется на работу против сил внутреннего трения, превращается во внутреннюю энергию. Закон сохранения энергии поэтому можно записать для этого случая так:

ΔU – количество механической энергии, превратившейся во внутреннюю:

Или после соответствующих преобразований:

(1.11)

(Читателю предоставляется возможность самому убедиться в правильности ответа, проделав соответствующие преобразования).

1)Рассмотрим случай, когда m₁= m₂= m, ₁ =,₂=0.

Из закона сохранения импульса можно найти:

Кинетическая энергия до соударения:

После соударения

Половина кинетической энергии перешла во внутреннюю

(1.12)

2)Другой случай, когда m₁= m₂= m, v₁ =v, v₂= - v:

В этом случае:

Вся кинетическая энергия перешла во внутреннюю:

(1.13)

На этом факте отчасти основан известный принцип противотока. Чтобы увеличить константу скорости химических реакций взаимодействующие вещества заставляют двигаться навстречу друг другу. В ускорителях элементарных частиц и ядер частицы с большими скоростями летят друг навстречу другу. Это повышает эффективность ядерной реакции. В частности, в ускорителях получают меченые атомы, широко применяемые в фармацевтических научных исследованиях.