- •Федеральное агенство морского и речного транспорта
- •Единицы измерения углов и дуг
- •Вычисление средней квадратической погрешности (ошибки)
- •Одного наблюдения
- •И средней квадратической погрешности (ошибки)
- •Вероятнейшего значения измеряемой величины
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычисление весов измерений
- •Вычисление весового среднего
- •Оценка точности неравноточных измерений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление средней квадратической ошибки функции измеренных величин по общей формуле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление средней квадратической погрешности (ошибки) функции измеренных величин по частным формулам
- •Задачи для самостоятельного решения
Единицы измерения углов и дуг
В теоретических зависимостях углы и дуги обычно выражают в радианах.
За единицу радианной меры принят радиан - центральный угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу окружности. Произвольный угол (рад) выражается отношением дуги, на которую он опирается, к радиусу этой дуги:
Радиус может быть принят равным единице. Следовательно, дуга содержит столько же радиан, как и центральный угол . Окружность длиной содержит радиан.
Градусная мера углов и дуг применяется в практических задачах. Если в радианной мере углы и дуги выражаются в долях радиуса окружности, то в градусной они измеряются в долях самой окружности.
За единицу в градусной мере принят градус - часть окружности. Градусделится на более мелкие (дольные) единицы - минутыи секунды дуги.
Часто при вычислениях приходится переходить от радианной меры к градусной и наоборот. Основным переводным множителем для таких переходов служит - величина дуги, соответствующая центральному углу, равному:
Заданный в градусах угол переводится в радианную меру на основе равенства:
Для перехода от радианной меры к градусной пользуются соотношением
Если угол или дуга заданы в минутах дуги, то переводным множителем служит :
Следовательно,
Задача 1. Выразить в радианах углы и.
Решение.
Задача 2. Выразить в градусной мере дугу
Решение.
Перевод величин из радианной меры в градусную и наоборот можно производить с помощью таблицы 38 МТ-75.
Вычисление средней квадратической погрешности (ошибки)
Одного наблюдения
И средней квадратической погрешности (ошибки)
Вероятнейшего значения измеряемой величины
1. Если истинные случайные погрешности (ошибки) серии наблюдений подчиняются нормальному закону, СКП (СКО) одного наблюдения вычисляют по формуле:
(1)
Здесь символ обозначает сумму квадратов истинных случайных погрешностей (ошибок), а буквой обозначено число наблюдений в серии.
Величины случайных погрешностей (ошибок) результатовнаблюдений предварительно вычисляются по формуле:
(2)
где - истинное значение измеряемой величины.
Задача 3. На береговой радиолокационной станции взяли 6 отсчетов расстояния до точечного ориентира. Расстояние, снятое с плана, приняли за истинное Вычислить СКП (СКО)одного наблюдения.
Решение (см. таблицу).
1. Вычислим истинные случайные погрешности (ошибки) наблюдений по формуле (2).
№ пп. |
Результаты наблюдений, м |
Истинное значение расстояния, м |
Истинная погрешность (ошибка) , м | |
1 |
6180 |
6230 |
- 50 |
2500 |
2 |
6200 |
- 30 |
900 | |
3 |
6240 |
+ 10 |
100 | |
4 |
6190 |
- 40 |
1600 | |
5 |
6260 |
+ 30 |
900 | |
6 |
6220 |
- 10 |
100 | |
Рассчитаем сумму квадратов случайных погрешностей (ошибок).
Вычислим СКП (СКО) по формуле (1).
Округлив результат, получим
Задача 4. Из наблюдений получили группу значений полудиаметра Солнца. Величину полудиаметра, указанную на данный месяц в Морском астрономическом ежегоднике, приняли за истинное значение. Требуется вычислить СКП (СКО) одного наблюдения.
Решение (см. таблицу).
№ пп. |
Результаты наблюдений, мин.дуги |
Истинное значение полудиаметра, мин. дуги |
,мин.дуги | |
1 |
16,2 |
16,1 |
+ 0,1 |
0,01 |
2 |
16,0 |
- 0,1 |
0,01 | |
3 |
16,1 |
0,0 |
0,00 | |
4 |
16,3 |
+ 0,2 |
0,04 | |
5 |
16,3 |
+ 0,2 |
0,04 | |
6 |
16,1 |
0,0 |
0,00 | |
7 |
15,9 |
- 0,2 |
0,04 | |
СКП (СКО) одного наблюдения
II. Формула (1) применима только в расчетах теоретического характера, так как истинные значения измеряемых величин, а, следовательно, и истинные случайные погрешности (ошибки) наблюдений никогда не бывают известны.
В практических задачах оценку точности производят, пользуясь формулой Бесселя:
(3)
В формуле (3) через обозначены вероятнейшие случайные погрешности (ошибки) результатов наблюдений, или, иначе, уклонения результатов наблюдений от вероятнейшего значенияизмеряемой величины:
(4)
Одновременно со СКП (СКО) одного наблюдения обычно вычисляют и СКП (СКО) вероятнейшего значения измеряемой величины по формуле:
(5)
Вычисления следует производить в таком порядке:
1) по результатам наблюдений рассчитать вероятнейшее значение измеряемой величины как среднее арифметическое
вычислить вероятнейшие погрешности (ошибки) наблюдений по формуле (4);
найти СКП (СКО) одного наблюдения по формуле (3);
вычислить СКП (СКО) вероятнейшего значения измеряемой величины по формуле (5).
Задача 5. Следуя малым ходом, несколько раз подряд определили по РЛС расстояние до мыса, находящегося вблизи траверза, и получили следующие отсчеты:
Найти вероятнейшее значение расстояния до мыса, СКП (СКО) одного наблюдения и СКП (СКО) вероятнейшего значения расстояния.
Решение. 1. Вычислим вероятнейшее значение расстояния:
2. В табличной форме рассчитаем вероятнейшие погрешности (ошибки) и сумму их квадратов. При этом на основе свойства суммы вероятнейших погрешностей (ошибок)проверим правильность вычислений среднего арифметического и уклонений от него.
№ пп. |
, кб. |
, кб. |
, кб. | |
1 |
107,8 |
106,0 |
+ 1,8 |
0,01 |
2 |
103,3 |
- 2,7 |
0,01 | |
3 |
105,1 |
- 0,9 |
0,00 | |
4 |
107,8 |
+ 1,8 |
0,04 | |
5 |
108,3 |
+ 2,3 |
0,04 | |
6 |
104,0 |
- 2,0 |
0,00 | |
|
Отличие суммы уклонений от нуля - объясняется тем, что среднее значение расстояния вычисляем с точностью 0,01, но затем округляем до 0,1 кб.
Вычислим СКП (СКО) и:
Таким образом, измеренное радиолокатором расстояние до мыса кб.
Задача 6. С помощью наклономера выполнили серию наблюдений наклонения видимого горизонта:
Вычислить вероятнейшее значение наклонения и произвести оценку точности наблюдений и измерения.
Решение (см. таблицу), 1. По результатам наблюдении вычислим вероятнейшее значение наклонения:
Рассчитаем сумму квадратов уклонений .
№ пп. |
, мин. дуги |
, мин. дуги |
, мин. дуги | |
1 |
- 6,6 |
- 6,5 |
- 0,1 |
0,01 |
2 |
- 6,4 |
+ 0,1 |
0,01 | |
3 |
- 6,7 |
- 0,2 |
0,04 | |
4 |
- 6,4 |
+ 0,1 |
0,01 | |
5 |
- 6,3 |
+ 0,2 |
0,04 | |
|
Вычислим СКП (СКО) и СКП (СКО):
Итак, и