lektsia_2_kurs_ITF

	S9 1 1		1			1		1	1 1						1	1 0,746.
	2		3			4		5	6			7			8	9
Откуда S 0,7	с точностью 0,1.
					( 1)		n 1
Пример. Вычислить									с точностью до 0,01.
			n 1			n!
Решение. Найдем n для которого											rn			0,01, то есть
		1			0,01				или			(n 1)! 100.
		(n 1)!

Очевидно, достаточно взять n 4. Таким образом

S S4 1 21! 31! 41! 0,625.

Следовательно, S 0,62 с точностью 0,01.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Пусть u1(x), u2(x),...,un(x),... - некоторая последовательность функций. Определение. Выражение вида

un(x) u1	(x) u2	(x) ... un(x) ...	(1)
n 1

называется функциональным рядом.

Если в ряде (1) положить x x0, где x0 - некоторое число, то получим числовой ряд

un(x0) u1	(x0) u2	(x0) ... un(x0) ....	(2)

n 1

Определение. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0 , если числовой ряд (2), полученный из ряда (1) подстановкой x x0, является сходящимся рядом. При этом x0 называется точкой сходимости ряда (1).

Пример. Функциональный ряд

xn 1 x x2 ... xn ...	(3)

n 0

11

сходится в точке	x 1 и расходится в точке x 2.
	2
Пример. Исследовать на сходимость в																точках				x 1 и		x 2
функциональный ряд
1	2x 1 n				2x 1				1			2x 1 2				1 2x 1				n
														...							...
					3x 2				2							n			2
n 1 n	3x 2											3x 2					3x
Решение. 1) при x 1 получим числовой ряд
	1		1 n				1		1		1		2		1 1	n	...,
			5				5		2				...
	n 1 n										5				n 5
который сходится по признаку Даламбера.
2) при x 2 получим числовой ряд
	1		5 n				5		1		5 2				1 5	n	...,
			4				4		2				...
	n 1 n										4				n 4

который расходится по признаку Даламбера.

Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда (1) называется областью сходимости ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда

x

n

x

x

2

x

n

1

...

....

(4)

n!

n!

n 0

1!

2!

Решение. Применим признак Даламбера к ряду xn для любого x.

n 0 n!

lim

un 1(x)

lim

xn 1

:

xn

lim

x

0 1.

(n 1)!

n

un(x)

n

n!

n n 1

Следовательно, ряд (4) сходится абсолютно на всей числовой прямой. Пример. Найти область сходимости ряда

x1n 1 1x x12 ... x1n ....

n 0

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со

знаменателем q	1	. Следовательно, этот ряд сходится при		1		1, то есть
	x			x

12

при x 1. Отсюда получаем, что область сходимости этого ряда состоит из двух интервалов ( ; 1) и (1; ).

Как и в случае числовых рядов, для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм

S1(x), S2(x),...,Sn(x),...,

где Sn(x) u1(x) u2(x) ... un(x). В каждой точке x из области сходимости ряда (1) его сумма f (x) равняется пределу последовательности частичных сумм при n , то есть

	f (x) limSn .	(5)
	n
Определение. Ряд
rn(x) un k (x) un 1(x) un 2(x) ... un k (x) ...		(6)
	k 1
называется n-м остатком ряда (1).
Область сходимости ряда (6) совпадает с областью сходимости ряда
(1); сумму rn(x)	ряда (6) также называют остатком ряда (1), причем в этом
случае
	f (x) Sn(x) rn(x).	(7)
Откуда rn(x) 0	при n . Крометого, из (7) получаем

f (x) Sn(x) rn(x) ,

то есть rn(x) представляет собой абсолютную погрешность приближения f (x) Sn(x).

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

вида

an(x x0)n a0	a1(x x0) a2(x x0)2 ... an(x x0)n ...,	(1)

n 0

13

где x - независимая переменная, x0 - фиксированное число, a1,a2,...,an,... - постоянные коэффициенты.

Пример. Следующие функциональные ряды

а) 3

3 1

(x 2)

3 2(x 2)2

...

3 n

(x 2)n ...;

2n

2

4

б) x

x3

x5

x7

... ( 1)n 1

x2n 1

...

2n 1

3

5

7

являются степенными рядами. Здесь

а) x 2, a 3, a

n

3 n

;

2n

0

0

б) x 0, a 0, a

2k

0, a

2k 1

( 1)k 1

.

2k

1

0

0

Если произвести замену x x0

z, то степенной ряд (1) примет вид

anzn a0 a1z a2z2 ... anzn ....

n 0

Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида

anxn a0	a1x a2x2 ... anxn ....	(2)

n 0

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА

В начале заметим, что степенной ряд (2) сходится в точке x 0. Рассмотрим теперь степенные ряды (2) для которых начиная с

некоторого номера N все an 0 и существует предел

lim an 1 l .

n an

Вопрос сходимости таких рядов может быть решен применением признака Даламбера к ряду

	anxn		a0		a1x		a2x2	...	anxn	...	(3)
n 0

14

составленному из модулей членов ряда (2). Имеет место следующая теорема.

Теорема (О структуре области сходимости степенного ряда). Пусть существует конечный или бесконечный предел

lim

an 1

l .

(4)

n

an

Тогда: 1)

если

l 0

и l , то степенной ряд (2)

сходится абсолютно в

интервале

1

;

1

, то есть при

x

1

и расходится вне этого интервала, то

l

l

l

есть x 1l ;

2)если l 0, то степенной ряд (2) сходится при любом x;

3)если l , то ряд (2) сходится только при x 0.

Определение. Число R называется радиусом сходимости ряда (2), если при всех x, для которых x R, ряд (2) сходится, а при всех x, для которых

x

R, ряд (2) расходится.

когда l 0 и

R , имеет место

Из теоремы следует, что в случае,

равенство R 1. Условимся считать R 0 для рядов, расходящихся при всех

l

x 0

и R для рядов, сходящихся при любых x.

Из этого определения и теоремы следует

R 1

1

an

lim

,

l

lim

an 1

n

an 1

n

an

то есть радиус сходимости ряда (2) определяется по формуле

an

R lim

.

(5)

an 1

n

Заметим, что вопрос о сходимости

ряда (2) в точках x R и

x R

решается дополнительными исследованиями.

15

Таким образом, для области сходимости ряда (2) возможны следующие случаи:

1)Ряд (2) сходится только при x 0. Область сходимости состоит из одной точки x 0 и радиус сходимости R 0.

2)Ряд (2) не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой ( ; ) и в этом случае R .

3)Ряд (2) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного рода область сходимости является одним из промежутков R;R , R;R , R;R , R;R .

Определение. Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал R;R называется интервалом сходимости ряда (2).

Следствие. Область сходимости степенного ряда, либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Пример. Найти область сходимости ряда

n!xn 1 1!x 2!x2 ... n!xn ....

n 0

Решение. По формуле (5) имеем:

R lim		an		lim	n!		lim	1		0.
	an 1
n				n (n 1)!			n n 1

Следовательно, данный ряд сходится только в точке x 0. Пример. Найти область сходимости ряда

n nx2n n 1x2 2x22 2 ... nx2n n ....

1

Решение. Имеем:

	an			1			1
R lim						:				2,
					n			n 1
	an 1		lim				(n 1)2
n			n n2

То есть R 2. Ряд сходится в интервале 2;2 . Исследуем на сходимость в концах интервала.

16

При x 2 получаем числовой ряд

122 2222 2 ... n22n n ...

или

1 12 13 ... 1n ...,

то есть гармонический ряд, который расходится. При x 2 получаем числовой ряд

	2			( 2)2				...		( 2)n		...
1 2				2		22				n 2n
или
	1		1			1	...		( 1)n		...,
			2			3				n

который по теореме Лейбница является сходящимся рядом. Итак, областью сходимости будет промежуток 2;2 .

Область сходимости степенного ряда можно определить, применяя также непосредственно признак Даламбера.

Пример. Найти область сходимости ряда

( 1)n xn		x2		x4		x6		( 1)n xn
n 0 (2n)!	1						...	(2n)! ....
		2!		4!		6!

Решение. К этому ряду формула (5) неприменима, так как отсутствуют нечетные степени переменной x. Применим непосредственно признак Даламбера:

u

n 1

(x)

lim

( 1)n x2(n 1)

( 1)n x2n

lim

x2(n 1)(2n)!

lim

:

un(x)

(2(n 1))!

(2n)!

(2(n 1))!x2n

n

n

n

lim

x2

0 1.

n (2n 1)(2n 2)

То есть, ряд сходится на все числовой прямой.

17

Если степенной ряд имеет вид (1), то как мы уже отметили,

подстановкой x x0 z

он приводится к степенному ряду вида (2). Тогда

интервал сходимости степенного ряда (1) будет x0 R;x0

R .

Пример. Найти область сходимости ряда

(x 2)

n

(x 2)

2

(x 2)

n

(x 2)

...

....

n2

22

n 1

n2

Решение. Здесь x

2,

a

n

1

, a

n

1

.

n2

(n 1)2

0

2

an

1

1

n 1

R lim

:

lim

1.

2

2

2

an 1

lim

(n 1)

n

n

n n

n

Следовательно, ряд сходится при 1 x 2 1, то есть при 1 x 3. Проверкой убеждаемся, что ряд сходится и на концах интервала 1;3 . Поэтому областью сходимости является отрезок 1;3 .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ И ЕЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ

Определение. Функции (x) и (x) называются ортогональными друг другу на отрезке [a;b], если

b

(x) (x)dx 0.

a

Определение. Система функций называется ортогональной на отрезке [a;b], если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом отрезке.

Пример. Тригонометрическая система функций

1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,...,sinnx, cosnx,...

(1)

ортогональна на отрезке ; .

Решение. В самом деле, если k 0 и целое, то

18

		1sinkx
	coskxdx						0,		(2)
		k
	sinkxdx 1coskx
								0.	(3)
		k

Это значит, что единица ортогональна ко всем остальным функциям системы

(1). При натуральных m и n (n m) произведения

sinnxsinmx 12 cos(n m) cos(n m) , cosnxcosmx 12 cos(n m) cos(n m) , sinnxcosmx 12 sin(n m) sin(n m) ,

то есть, представимы интегралами (2) и (3), которые равны нулю.

Укажем еще одно свойство системы (1), заключающийся в том, что при любом натуральном n

	cos2	xdx ,
				(4)
	sin2	xdx .
	РЯД ФУРЬЕ
Определение.	Тригонометрическим		рядом	называется

функциональный ряд вида

a20 a1 cosx b1sinx a2 cos2x b2 sin2x ... an cosnx bn sinnx ...

или более коротко

a0		(5)
	an cosnx bn sinnx,
2	n 1

где a0, an, bn (n 1,2,...) - постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда.

19

Свободный член	ряда записан в виде	a0	для единообразия
		2

получающихся в дальнейшем формул.

Так как члены ряда (5) имеют общий период T 2 , то и сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией с периодом 2 .

Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2 является суммой ряда (5)

f (x) a0
	an cosnx bn sinnx.	(6)
2	n 1

Втаком случае говорят, что функция f (x) разлагается в

тригонометрический ряд. Предполагается, что этот ряд сходится равномерно на отрезке ; .

Если коэффициенты этого ряда определяются по формулам

	1
a0				f (x)dx,
		1
an				f (x)cosnxdx,	(7)
	1
bn				f (x)sinnxdx,	n 1,2,...

то они называются коэффициентами Фурье функции f (x), а ряд (5) с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x).

СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ

Пусть функция f (x) на отрезке ; удовлетворяет условиям Дирихле. Это значит, что она на этом отрезке непрерывна или кусочнонепрерывна (т.е. имеет конечное число точек разрыва первого рода) и монотонна или кусочно-монотонна (т.е. отрезок можно разделить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна).

20