lektsia_2_kurs_ITF

и начальных условиях

u(x,0) f (x),	ut (x,0) F(x).	(13)
Уравнение (11) будем решать	методом Фурье или	методом

разделения переменных. Суть его заключается в том, что мы отыскиваем частные решения уравнения (11), удовлетворяющее пока только краевым условиям (12) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

	u(x,t) X(x)T(t).							(14)
Подставляя функцию (14) в уравнение (11) получим:
X(x)T		2	X		T (t)		X (x)	.
					2
	(t) a			(x)T(t) или			X(x)
					a T(t)

Мы получим равенство, в котором левая часть не зависит от x, а правая – от t . Поэтому

T (t)		X (x)	2 .
2		X(x)
a T(t)

Отсюда

T (t) 2a2T(t) 0, X (x) 2X(x) 0.

Из этих уравнений находим

T(t) Acos at Bsin at,

X(x) Ccos x Dsin x.

Таким образом

u(x,t) Acos at Bsin at Ccos x Dsin x .

Полагая x 0, получим

u(0,t) Acos at Bsin at C 0.

Откуда C 0. Полагая далее x l , получим:

u(l,t) Acos at Bsin at Dsin x 0

61

	Откуда sin l 0	или l k , т.е.		k	. Эти значения	называются
				l

собственными значениями для данной краевой задачи, а соответствующие им функции X(x) Dsin kl x - собственными функциями.

Итак, частное решение уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям, найдено:

uk (x,t) ak coskl t bk sin kl t sin kl x ,

где числа ak AD, bk BD произвольны.

Так как уравнение (11) линейное и однородное, то также будет решением. Так что функция

u(x,t) k uk (x,t) k ak coskla t bk sin kla

1 1

и сумма его решений

		k
	t sin		x	(15)
		l

является решением уравнения (11). Ясно, что эта функция удовлетворяет краевым условиям (12), так как им удовлетворяет каждая из функций uk (x,t).

Числа ak и bk находятся как коэффициенты Фурье, то есть

	2 l		kx		dx, k 1,2,...,
ak l f (x)cos				l				(16)
0
	2 l			kx
bk		F(x)sin		l		dx,	k 1,2,....	(17)
	k a
0

Таким образом, уравнение (11) находится по формуле (15), в котором коэффициенты ak , bk находятся по формулам (16) и (17) соответственно.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Определение. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости.

62

Определение. Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: , ,Cи т.д.

Определение. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событиепоявление четырех очков, событие - появление четного числа очков. События и совместимые.

Определение. Два события называются несовместимыми, если появление одного исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие - выпадение герба, событие - выпадение цифры. Эти события несовместимы, т.к. появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Пусть1, 2,..., 6 - соответственно выпадение 1,2,...,6. Эти события являются несовместимыми.

Определение. Два события и называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию обозначают .

Пример. Испытание: бросание монеты. Событие - выпадение герба, событие - выпадение цифры. Эти два события противоположны, т.к. исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т.е.

63

или .

Определение. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным исходом, и неневозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие - вынут белый шар - достоверное событие, событие - вынут черный шар – невозможное событие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются и противоположными.

Определение. Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие 6 - выпадение шести очков при бросании игральной кости - случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Определение. Суммой событий и называется событие C , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий или .

Пример. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие - попадание в мишень первым стрелком, событие - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий и будет событие C , состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Суммой конечного числа событий 1, 2,..., k называется событие1 2 ... k , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий

i .

Свойства. 1) ;

2)C ( ) C ;

3).

64

Определение. Произведением событий и называется событие C , состоящее в том, что в результате испытания произошли, и событие, и событие .

Аналогично, произведением конечного числа событий 1, 2,..., k называется событие 1 2... k , состоящее в том, что в результате испытания произошли все события.

Свойства. 1) ;

2)C C ;

3).

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов – результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаях, возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение. События U1,U2,...,Un , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение. Событие называется благоприятствующим событию, если наступление события влечет за собой наступление события .

Пример. Пусть при бросании игральной кости события U2,U4,U6 - появление соответственно 2, 4, 6 очков и - событие, состоящее в появлении четного очка; события U2,U4,U6 благоприятствуют событию .

Классическое определение вероятности. Вероятностью P

события называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных событий, т.е.

P mn .

65

Пример. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие - выпадение герба и событие - выпадение цифры – образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n 2. Событию благоприятствует лишь одно событие – само , т.е. здесь m 1. Поэтому

P 12.

Из приведенного определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1) Вероятность достоверного события равна единице

P mn nn 1.

2) Вероятность невозможного события равна нулю

P mn 0n 0.

3)Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

0 P 1.

Статистическое определение вероятности. Пусть произведено n

испытаний, при этом некоторое событие наступило m раз. Определение. Число m называется абсолютной частотой (или просто

частотой) события , а отношение P* m/n называется относительной частотой события .

Пример. При транспортировке из 10000 арбузов испортилось 26. Здесь m 26 - абсолютная частота испорченных арбузов, а

P* 26/10000 0,0026 - относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота P* A принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением

66

n - числа	испытаний в	сериях	относительная частота	P* A m/n
приближается	к некоторому	числу	P A , стабилизируясь	возле него и

принимая все более устойчивые значения.

Пример. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными

0,501; 0,485; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484; 0,512. Эти частоты группируются около числа 0,5.

Определение. Вероятностью события в данном испытаний

называется число P A ,	около которого	группируются значения
относительной частоты при больших n.
Величина m n P A	представляет собой	среднее значение числа
появления события при n испытаниях.

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

P A B P A P B	(1)
Совершенно так же теорема формулируется для любого конечного
числа попарно несовместимых событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий и
равна единице:

P A A P A P A 1.

Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Вероятность вынуть красный шар P A 3/10 0,3, синий P A 5/10 0,5. Так как события A и B несовместимы, то

P A B P A P B = 0,3+0,5= 0,8.

Определение. Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое

67

P A PA B P B PB A .

PA B P B .

событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Пример. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие A - вынут белый шар. Очевидно, P A 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие B - во втором испытании вынут белый шар

– также имеет вероятность P B 1/2 т.е. события A и B независимые. Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не

кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие A, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события B уменьшается P B 1/3; если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события B увеличивается P B 2/3. Здесь вероятность события B зависит от появления или не появления события A, т.е. A и B зависимые.

Определение. Пусть A и B - зависимые события. Условной вероятностью PA B называется вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.

В предыдущем примере PA B 1/3.

Заметим, что если события A и B независимые, то

(2)

Теорема 2. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е.

P AB P A PA B .

(3)

Замечание. Так как AB BA, то

(4)

Пример. В условиях предыдущего берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белый шар?

68

Решение. По формуле (3) имеем:

P AB P A P B 1		1	1.
A	2	3	6
Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий A и
B равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
P AB P A P B .			(5)

Пример. Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A) равна 0,8, а вторым (событие B) - 0,7.

Решение. События A и B независимы, поэтому по теореме 3. искомая вероятность равна

P AB P A P B 0,8 0,7 0,56.

Теорема 4. Вероятность суммы двух совместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.

P A B P A P B P AB .

(6)

Замечание. Если события A и B несовместимы, то их произведение A B есть невозможное событие, и, следовательно, P AB 0, т.е. формула

(1) является частным случаем формулы (6).

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны P A 0,7, P B 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Очевидно, события A и B совместимы и независимы. Поэтому

P A B P A P B P AB 0,7 0,8 0,7 0,8 0,94.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть событие A может произойти лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1,B2,...,Bn, образующих

69

полную группу событий. События B1,B2,...,Bn будем называть гипотезами для события A. Тогда

P A P B1	PB	A P B2	PB	A ... P Bn PB	A	(7)
	1		2	n

называется формулой полной вероятности.

Пример. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному

исчислению (событие B ) равна		P B			20	0,4, по интегральному
1			1		50
исчислению (событие B ) равна	P B		30	0,6		. Если событие A означает,
2	2		50

что задача решена, то PB1 A 1820 0,9, PB2 A 1530 0,5. Теперь по формуле (7) имеем:

P A 0,4 0,9 0,6 0,5 0,66.

ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие A. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие A уже произошло) вероятности гипотез, т.е. величины P Bk , k 1,2,...,n?

Найдем условную вероятность PA Bk . По теореме умножения вероятностей и формуле (4) имеем:

P ABk P A PA Bk P Bk PBk A .

Отсюда

70