lektsia_2_kurs_ITF

Проверить результат можно, изменив порядок интегрирования.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАХ

Пусть рассматривается двойной интеграл

f (x;y)d ,

G

где G - область на плоскости xOy. Как известно x rcos ,				y rsin . Тогда
			f2( )
f (x;y)d f (rcos ;rsin )rdrd d			f (rcos ;rsin )rdr . (9)
G	G		f1( )

Замечание. Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержит сумму x2 y2, то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, так как данная сумма в полярных координатах получает весьма простой вид

					x2 y2 (rcos )2 (rsin )2 r2 .
	Пример. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной
	интеграл		dxdy		, где G - часть круга радиуса R 1, расположенная в
			x2 y2
	G

первой четверти с центром в начале координат.

Решение. В области G r меняется в пределах от 0 до 1, а меняется от 0 до 2 . Таким образом, по формуле (9) имеем:

31

			dxdy		2	1			2	1	.
					d rdr				d dr
			x2 y2
	G			0		0	r		0	0	2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Пусть - участок поверхности z f (x;y), а область G - его проекция на координатную плоскость xOy.

Предположим, что функция f (x;y) и ее первые частные производные непрерывны в G вплоть до границы. Требуется найти площадь S поверхности . Эта площадь будет вычисляться по формуле

S	1 fx2(x;y) fy2(x;y)	d .	(10)
G

Пример. Вычислить площадь поверхности сферы x2 y2 z2 R2.

Решение. Уравнение верхней половины сферы будет z R2 x2 y2 .

В этом случае zx

x

,

zy

y

. Следовательно,

R2

x2

y2

R2 x2

y2

x2

y2

R

1 zx2 zy2

1

.

R2 x2

y2

R2 x2

y2

R2

x2

y2

Тогда имеем:

1Rdxdy

2S G R2 x2 y2 ,

32

	где G - круг x2 y2 R2 .	Переходя				в этом интеграле к полярным
	координатам, получим
	2	R		Rrdr
	S 2 d					... 4 R2.
				R2 r2
	0	0

ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

1. Центр тяжести пластинки. Центр тяжести пластины определяется по формулам

			x	My	, y					M	x ,
				m
			c			c				m
где m - масса	пластинки, Mx,			My	-		статические моменты, которые
определяются как:
m (x;y)d , Mx y (x;y)d , My x (x;y)d .
G			G								G
Отсюда в случае однородной пластинки, т.е. при (x;y) 1 имеем
	xc	1	xd ,		yc		1		yd .
		S					S
			G							G

Пример. Найти центр тяжести однородного полукруга, ограниченного осью Ox и полуокружностью y R2 x2 .

Решение. Из соображений симметрии заключаем, что xc 0. Далее имеем, что S R22 .

										R	2R	3
			Mx yd rsin r drd d r2 sin dr ...									.
					G			G	0	0	3
Т.е. y	c		2R3	:	R2		4R	0,424R.
			3		2		3

2. Моменты инерции пластины. Моментом инерции материальной точки P с массой m относительно какой либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния от точки P до этой оси.

33

Таким образом

Ix y2 (x;y)d ,

G

Iy x2 (x;y)d .

G

Отметим, что интеграл xy (x;y)d называется центробежным моментом

G

инерции и обозначается Ixy .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат расстояния от нее до данной точки – полюса. Полярный момент инерции пластины относительно начала координат будет равен

I0 x2 y2 (x;y)d Ix Iy .

G

Пример. Найти моменты инерции однородного полукруга

	x2 y2 R2,			y 0
Решение. Имеем (x;y) 1.
				R				R	4
Ix y2 (x;y)d y2d d (rsin )2rdr ...
G	G	0		0				8
				R				R	4
Iy x2 (x;y)d x2d d (rcos )2rdr ...
G	G	0		0				8
	I0 Ix Iy	R4		R4		R4	,
		8		8		4

,

,

R

Ixy xy (x;y)d xyd d rcos rsin rdr ... 0.

G

G

0

0

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧА О МАССЕ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА. ТРОЙНОЙ

ИНТЕГРАЛ

34

Пусть пространственная (трехмерная) область заполнена веществом с известной плотностью (M) (x,y,z). Найти массу всей материальной области - «тела». Разобьем область произвольным образом на n частных областей 1, 2,..., n без общих внутренних точек, объемы которых обозначим соответственно через v1, v2,..., vn . Предположим, что в пределах каждой частичной области плотность постоянна и равна (Nk ) для частичной области k , где Nk ( k , k , k ) - произвольная точка этой частичной области. Тогда масса k приближенно равна ( k , k , k ) vk . Для массы всего тела получим приближенное выражение

m n ( k , k , k ) vk .

k 1

Эта сумма будет тем точнее выражать искомую массу m, чем меньше будет каждый из диаметров частичных областей 1, 2,..., n . Определение диаметра трехмерной области такое же, как и определение диаметра плоской области. За массу m естественно принять

m lim n f ( k , k , k ) vk ,	(1)
0 k 1
где f (x,y,z) - функция, заданная в области .
Определение: Если существует предел (1), не зависящий от способа

разбиения области на частичные области k и выбора точек		Nk ( k , k , k )
в них, то он называется тройным интегралом от функции		f (x,y,z) по
области и обозначается символом
f (x,y,z)dv lim n f ( k , k , k ) vk ,		(2)
	0 k 1

Функция f (x,y,z) в этом случае называется интегрируемой в области . Терминология для тройных интегралов аналогична соответствующей

терминологии для двойных интегралов. Также формулируется и теорема существования тройного интеграла.

35

Из рассмотренной выше задачи о массе неоднородного тела и определения тройного интеграла следует, что тройной интеграл (2) с положительной подынтегральной функцией может быть истолкован физически как масса соответствующего тела. В частности, тройной интеграл

от единичной функции f (x,y,z) 1 численно равен объему		области
интегрирования:
dv V ,		(3)
Свойства двойных интегралов полностью переносятся на тройные
интегралы. Заметим лишь, что f (x,y,z)dv f ( , , )V , где	f ( , , ) -
некоторая точка области (теорема о среднем).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Вычисление тройного интеграла, так же как и двойного, может быть сведено к ряду однократных интегрирований. Пусть, для простоты, областьесть тело, ограниченное сверху поверхностью z z2(x,y), снизу поверхностью z z1(x,y), а с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Тогда, подобно формуле (5) для двойного интеграла, имеем следующую формулу

36

	z2	(x,y)
		f	(x,y,z)dz
f (x,y.z)dv				d ,
	G z1	(x.y)

где G - проекция области на плоскость xOy. Здесь во внутреннем определенном интеграле x и y считаются постоянными. После того как этот внутренний интеграл будет вычислен, получим выражение, зависящее от x и y . Эту функцию от двух переменных надо затем проинтегрировать по плоской области G. Двойной же интеграл сводится к двум определенным интегралам.

Пример: Вычислить тройной интеграл

(x y z)dv ,

где - область, ограниченная плоскостями x 0, y 0, z 0, x y z 1. Решение. Нарисуем эту область

Интегрирование

по

z

совершается

от z 0 до

z 1 x y . Поэтому,

обозначая проекцию области на плоскость xOy через G, получим:

1 x y

x y z

z

2

1 x y

f (x,y.z)dv

f

(x,y,z)dz

d

d

2

0

G

0

G

1

2

2

1 x

2

x y

y

x y 1 x

y

2

d

x y x y

2

d .

G

G

Теперь, учитывая, что

G -

треугольник,

ограниченный

прямыми

x 0, y 0,

z 0,

x y z 1 имеем:

37

1	1 x	2		1 x y 2		1	.
dx		x y x y			dy ...
				2		8
0	0

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Как и в двумерном случае, для тройных интегралов имеют место формулы преобразования интеграла от прямоугольных координат к новым системам координат. Наиболее употребительные из них - цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты. В этой системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами r и точки M - проекции точки M на плоскость xOy - и аппликатой z самой точки M .

Числа r, и zназываются цилиндрическими координатами точки M , причем r 0, 0 2 и z - любое действительное число. Из рисунка видно, что цилиндрические координаты r, и z связаны с прямоугольными соотношениями

x rcosy rsinz z

Формула перехода для тройного интеграла от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам имеет вид:

f (x,y,z)dv f (rcos ,rsin ,z)rdrd dz .

38

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к трем однократным интегрированиям по r, и z на основании тех же принципов, что и в случае прямоугольных координат.

Пример. Найти объем кругового цилиндра высотой H с радиусом основания R.

Решение:

			H				H			2	R
V dv				dz d (z |0 )d H d H d rdr
			G	0		G			G	0	0
2	R2		R		HR2	2	HR2		HR2
H	2		d		2	d	2 |02			2 2 R2H.
0			0			0
Сферические координаты. В							этом	случае		положение	точки M в
пространстве определяется ее расстоянием r								от начала координат O, углом

между положительным направлением оси Ox и проекцией отрезка OM на плоскость xOy, углом между положительным направлением оси Oz и отрезком OM .

	Числа r,	и называются сферическими координатами точки M или
полярными		координатами	в	пространстве,	при	этом
r 0,	0 2 ,	0 . Из рисунка видно, что сферические координаты
r, ,	связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
			x rsin cos ,
			y rsin sin ,
			z zcos .

Откуда

39

				y				x2 y2
r	x2 y2 z2 ,		tg		,	tg				.
				x				z

Формула перехода для тройного интеграла от прямоугольных координат к сферическим координатам имеет вид:

f (x,y,z)dv f (rsin cos ,rsin sin ,rcos )r2 sin drd d . (4)

Вычисление последнего интеграла также приводится к трем однократным интегрированиям по r, , .

Если в формуле (4)

f (x,y,z) 1, то в силу (3) получаем формулу для

объема тела в сферических координатах

V r2 sin drd d ,

(5)

при этом выражение r2 sin drd d

называется

элементом объема в

сферических координатах.

Пример: Найти объем шара радиуса R .

Решение. Используя формулу (5), получим:

2

2

2

V r

(r

sin d )d

sin d

sin drd d

r

d

G

0

G

0

2

R

2

3

r2 cos |0 d 2r2d 2 d r2dr

2

r3 |0R d

G

G

0

0

0

2R3

2

2R3

4 R3

3

d

3

|02

3 .

0

ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические

моменты	относительно	координатных плоскостей			xOy, xOz, yOz.
Обозначим	их соответственно через		Mxy, Mxz,	Myz .	Тогда получим
следующие	формулы для	координат	xc, yc, zc	центра	тяжести тела,

занимающего область :

40