- •Задачи по теории вероятностей и математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Раздел 1. Теория вероятностей Комбинаторные формулы
- •Классическое определение вероятности
- •Теоремы алгебры событий
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания
- •Непрерывная случайная величина и её характеристики
- •Законы распределения случайных величин
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Предельные формулы для схемы Бернулли
- •Раздел 2. Математическая статистика Обработка результатов опытов
- •Точечные оценки неизвестных параметров и методы их получения
- •Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Проверка статистических гипотез
- •Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов
- •Ошибки прямых и косвенных измерений
- •Задания для самостоятельной работы студентов
- •Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 2
- •Пример выполнения задачи 3
- •Пример выполнения задачи 4
- •Пример выполнения задачи 5
- •Пример выполнения задачи 6
- •Пример выполнения задачи 11
- •Пример выполнения задачи 12
- •Пример выполнения задачи 13
- •Пример выполнения задачи 14
- •Пример выполнения задачи 15
- •Пример выполнения задачи 16
- •Пример выполнения задачи 17
- •Пример выполнения задачи 18
- •Пример выполнения задачи 19
- •Пример выполнения задачи 20
- •Пример выполнения задачи 21
- •Пример выполнения задачи 22
- •Пример выполнения задачи 23
- •Пример выполнения задачи 24
- •Пример выполнения задачи 25
- •Литература
Пример выполнения задачи 20
Условие. По данной выборке признака найти выборочную среднюю, исправленную дисперсию и моду. Построить полигон (гистограмму) частот, если
-
1-4
4-7
7-10
10-13
13-16
16-19
19-22
4
8
12
35
14
12
8
Решение. Для расчета выборочной средней, исправленной дисперсии и моды преобразуем интервальный вариационный ряд в дискретный. Для этого заменим интервал на его среднее значение.
Получим
-
2,5
5,5
8,5
11,5
14,5
17,5
20,5
4
8
12
35
14
12
8
Находим выборочную среднюю: ,
.
Исправленная дисперсия равна:
.
Мода равна значению варианты, имеющей наибольшую частоту, т. е..
Построим гистограмму частот: .
Заполним таблицу
-
1-4
4-7
7-10
10-13
13-16
16-19
19-22
4
8
12
35
14
12
8
4/3
8/3
4
35/3
14/3
4
8/3
Гистограмма изображена на рисунке 6.
Рис. 6
Ответ. ,,, рисунок 6.
Пример выполнения задачи 21
Условие. На плоскости даны 6 точек, координаты которых занесены в таблицу. Пусть случайная величина – абсцисса точек, а случайная величина– ордината. Найти коэффициент линейной корреляции. Написать уравнения линейной регрессиинаина, если
-
0,4
1,2
1,8
2,5
2,9
3,2
-0,1
-1,1
-1,9
-2,9
-3,3
-3,7
Решение. Коэффициент линейной корреляции определяется формулой:
,
где ,,,
, .
Получим .
Напишем уравнения линейной регрессии
на :,
получим или.
на :,
получим или.
Ответ. ,,.
Пример выполнения задачи 22
Условие. На плоскости даны 5 точек, координаты которых занесены в таблицу. Найти функциональную зависимость , используя метод наименьших квадратов, если
-
-2,3
-1,7
-0,5
0,7
1,5
5,8
3,9
0,3
-3,2
-6,0
Решение. Будем искать функциональную зависимость в виде , где параметрыинаходим из системы
Вычислим ,,,,.
Решаем систему
Параметры равны: ,.
Тогда функциональная зависимость имеет вид: .
Ответ. .
Пример выполнения задачи 23
Условие. В итоге проверки получено эмпирическое распределение. Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, 3 и 4 с соответствующими частотами. Требуется при уровне значимостипроверить по критериюгипотезу о том, что случайная величинараспределена по закону Пуассона.
Решение. Критерий определяется по формуле
,
где ,, а в качестве параметравозьмем выборочное среднее.
Получим: ,.
Находим значения :
,
,
,
,
.
Полученные результаты занесем в таблицу
0 |
1 |
2 |
3 |
4 | |
137 |
100 |
45 |
15 |
4 | |
128,304 |
107,811 |
45,114 |
12,771 |
2,673 |
Вычислим .
Найдем , используя системуMathCAD, где – число степеней свободы, определяемое по формуле:.
–число вариант; – число параметров, рассчитанных по выборке.
Получим: .
Тогда .
Сравним и. Т.к. 2,203 < 11,345, то<, и, следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о том, что случайная величинараспределена по закону Пуассона.
Ответ. Гипотезу принимаем.