- •Задачи по теории вероятностей и математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Раздел 1. Теория вероятностей Комбинаторные формулы
- •Классическое определение вероятности
- •Теоремы алгебры событий
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания
- •Непрерывная случайная величина и её характеристики
- •Законы распределения случайных величин
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Предельные формулы для схемы Бернулли
- •Раздел 2. Математическая статистика Обработка результатов опытов
- •Точечные оценки неизвестных параметров и методы их получения
- •Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Проверка статистических гипотез
- •Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов
- •Ошибки прямых и косвенных измерений
- •Задания для самостоятельной работы студентов
- •Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 2
- •Пример выполнения задачи 3
- •Пример выполнения задачи 4
- •Пример выполнения задачи 5
- •Пример выполнения задачи 6
- •Пример выполнения задачи 11
- •Пример выполнения задачи 12
- •Пример выполнения задачи 13
- •Пример выполнения задачи 14
- •Пример выполнения задачи 15
- •Пример выполнения задачи 16
- •Пример выполнения задачи 17
- •Пример выполнения задачи 18
- •Пример выполнения задачи 19
- •Пример выполнения задачи 20
- •Пример выполнения задачи 21
- •Пример выполнения задачи 22
- •Пример выполнения задачи 23
- •Пример выполнения задачи 24
- •Пример выполнения задачи 25
- •Литература
Пример выполнения задачи 25
Условие. Задание №1. Дана зависимость , где х и у измерены непосредственно. Известно, что . Найти и .
Задание №2. Изобразить прямоугольный треугольник и отметить на нём три параметра (две стороны и угол). Считая, что х и у доступны для измерения, выполнить косвенные измерения z. Сравнить с прямым измерением z.
Решение задания1. Используя свойства математического ожидания (раздел 1) имеем: .
Используя формулы раздела 2 имеем:
.
Решение задания2. На рисунке 12 изображён прямоугольный треугольник с параметрами: - катеты, - угол напротив катета . Непосредственным измерением линейкой и транспортиром, определяем величины : , , или 0, 384 радиан. Ошибка такого измерения соответствует четверти деления, значит , , или 0,0044 радиан. Используя правило двух сигм, , где - точное значение угла , имеем: .
Очевидно , значит косвенное измерение равно: . Ошибку косвенного измерения величины определяем по формуле:
.
, , .
Используя правило двух сигм, , имеем:
. Интервалы для , полученные с помощью прямых и косвенных измерений пересекаются, значит прямые и косвенные измерения согласуются.
Литература
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. – М.: Наука; 1969. – 576с.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Академия,2003. – 448 с.
Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд. испр. и доп. – СПб. Издательство «Лань», 2004. – 256 с.
Королев В.Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2008. – 160 с.
Семенчин Е.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 352 с.
Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами: Учеб. Пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 232 с.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб.: Издательство «Лань», 2003. – 272 с.
Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчёты): учебное пособие для ВТУЗов. М.: Высшая школа, 1983. 112 с.