Контрольные вопросы.

1. Способы оценки абсолютной погрешности.

2. Дать определения систематических и случайных ошибок.

3. Сформулировать основные закономерности распределения случайных погрешностей.

4. Записать закон распределения Гаусса и вывести из него формулу для дискретного распределения (7).

5. Дать определение математического маятника. Написать формулу определения его периода колебаний.

Лабораторная работа 1.7.

Физический маятник.

Цель работы: Изучение свободных колебаний физического маятника и определение ускорения свободного падения для данной широты местности с помощью физического маятника.

Введение

Физическим маятником называется любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр его масс (рис.1).

Рис.1

Равнодействующая сил тяжести_ти реакции опоры, приложенных к центру масс С, есть отклоняющая сила, направленная к положению равновесия и равная:

.

Знак ” – “ означает, что сила направлена в сторону противоположную отклонению от положения равновесия.

Вращающий момент этой силы относительно оси вращения О равен:

, (1)

где а– расстояние от оси вращения до центра масс тела.

По второму закону Ньютона для вращательного движения момент силы равен:

М=I·ε,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения О, а ε – угловое ускорение.

Подставив это выражение для момента вращающей силы в формулу (1) получим:

I = –mgasin.

Для малых углов отклонения значение синуса угла можно принять равным радианной мере этого угла, тогда:

I= –mga.(2)

По определению:

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

или

Введем обозначение

(3)

получим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

частное решение которого, полученное методом подстановки, имеет вид:

=Acost, (4)

где

(5)

называется циклической частотой колебаний.

Сопоставляя (3) и (5) получаем:

(6)

В итоге из соотношений (4) и (6) следует, что движение физического маятника под действием силы тяжести представляет собой гармоническое колебание с периодом, прямо пропорциональным корню из момента инерции маятника и обратно пропорционально корню из произведения его массы на расстояние от оси вращения до центра масс.

Математическим маятником называется тело массой m, подвешенное на нерастяжимой нити длинойL, при условии, что размеры тела много меньше длины нити, и совершающее колебания относительно точки подвеса под действием силы тяжести.

Движение физического и математического маятников описывается одной и той же функцией (4), но период математического маятника определяется соотношением:

Изменяя длину математического маятника, можно добиться равенства периодов колебаний Т_ф=Т_м. Это возможно при условии:

. (7)

Длину математического маятника L, когда периоды физического и математического маятников совпадают, называют приведенной длиной физического маятникаL_пр.

Так как физический маятник является телом, у которого ось вращения не совпадает с центром масс, то его момент инерции определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела I относительно произвольной оси, не проходящей через его центр масс, равен сумме момента инерции тела I₀ относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

I=I₀+ma².

С учетом теоремы Штейнера формула (6) для периода колебаний физического маятника примет вид:

(8)

Графически эта зависимость выглядит следующим образом:

Рис. 2

Из графика следует, что один и тот же период Т₀получается при двух значениях а₁и а₂, как двух корнях квадратного уравнения. Значения а₁и а₂позволяют определить приведенную длинуL_прфизического маятника следующим образом.

Согласно определению из формулы (8) следует, что приведенная длина физического маятника равна:

Откуда получается квадратное уравнение вида:

a²–L_прa+.

Выражения для обоих корней этого уравнения имеют вид:

.

Складывая эти формулы, получаем:

L_пр=a₁+a₂.

С учетом этого соотношения формула (6) получается в виде:

(9)

Описание установки.

Установка включает в себя модель физического маятника закрепленного на электронном блоке (рис. 3).

Рис.3

Исследуемый физический маятник представляет собой однородный металлический стержень 1, на котором крепится груз 2. Маятник подвешивают на опорную призму, находящуюся в упорной пластинке 3 стойки 4 на расстоянии а от центра масс С. Электронный блок служит для измерения периодов колебаний (индикатор “ПЕРИОД” 5) и времени колебаний (индикатор “ВРЕМЯ” 6). Следует иметь в виду, что действительное число периодов на единицу меньше, чем число показаний индикатора числа периодов. Кнопкой “Сброс” 7 индикаторы очищаются от предыдущих показаний. Кнопкой “Пуск” 7 запускаются счетчики времени и числа периодов колебаний, а кнопкой “Стоп” 7 останавливается счет времени на заданном числе периодов колебаний. С противоположной стороны к упорной пластине 3 прикреплен математический маятник с меняющейся длиной подвеса. Эта длина меняется при помощи винта 8 на упорной пластине 3. Синхронизируя колебания маятников, определяют момент инерции физического маятника.

Изменяя расстояние а от точки подвеса О до центра масс С, строят график зависимости Т=Т(а) (рис.2). Проводя на графике прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую построенную кривую в двух точках, находят в выбранном масштабе значенияТ,а₁,а₂иL_пр. Из формулы (8) находят ускорение свободного падения, зная период колебаний маятникаТи его приведенную длинуL_пр.

. (10)