§18. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия твердого тела.

Вернемся к векторной форме уравнения моментов. Из него видно, что момент импульса тела остается постоянным относительно выбранной неподвижной точки, если момент внешних сил относительно этой же точки равен нулю. Данная фраза представляет собой формулировку закона сохранения момента импульса. В математической записи этот закон формулируется так:

. Не следует смешивать закон сохранения момента импульса с законом сохранения импульса. В отличие от закона сохранения импульса закон сохранения момента импульса не требует обращения в нуль результирующей внешних сил (а «только» обращения в нуль результирующего момента внешних сил; часто оказывается, что последнее условие удовлетворить легче).

Итак, теперь мы знаем ТРИ закона сохранения в механике: закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии и закон сохранения момента импульса.

Материальная т очка или система материальных точек обладают кинетической энергией. А твердое тело? Положительный ответ на вопрос очевиден, но по каким формулам находить кинетическую энергию вращения?

Рассмотрим материальную точку , движущуюся по окружности радиусас постоянной по модулю скоростью. С точки зрения динамики материальной точки кинетическая энергия в этом случае равна

.

Учтем, однако, что линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением . Поэтому кинетическую энергию можно записать и в виде

.

Здесь – момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения, а– угловая скорость её вращения относительно той же оси. Этот результат можно обобщить на случай любого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс:

.

А если твердое тело и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс, и движется прямолинейно со скоростью вместе с этой осью? Тогда надо учитывать кинетическую энергию и вращательного движения тела, и кинетическую энергию поступательного движения центра масс:

.

§19. Физический маятник и период его колебаний.

Определим, в качестве простого примера, период колебаний физического маятника или твердого тела (см. рис. 6).

На рисунке 6 овал – рассматриваемое твердое тело, способное без трения качаться около горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс А. Момент инерции тела относительно указанной оси известен и равен J. К центру масс тела приложена сила тяжести. В некоторый момент времени маятник отклонен от вертикали на небольшой угол

Для описания вращения тела вокруг оси можно записать уравнение движения

.

Слева стоит вторая производная по времени от угла отклонения . Справа – момент внешних сил, действующих на систему. Численно этот момент равен, где, то есть равняется расстоянию от оси вращения до центра масс, тогда как– плечо действующей силы.

Принципиально важным обстоятельством является тот факт, что внешний момент оказывается возвращающим. Это означает, что вне зависимости от направления движения твердого тела (линии ОВ) – вправо или влево, и вне зависимости от того, находится ли центр масс слева от вертикали ОС или справа, момент силы тяжести стремится вызвать движение тела к положению равновесия, к линии ОС. Поэтому справа появляется знак « – ». Тогда уравнение движения принимает вид

.

Рассматриваются малые углы отклонения маятника, поэтому можно приближенно считать, что . В результате уравнение движения приводится к виду

,

то есть к уравнению движения гармонического осциллятора с собственной частотой

.

Соответственно период колебаний равен:

.

Приведенная длина физического маятника это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний рассматриваемого физического маятника.

Заметим, что закон движения физического маятника имеет вид

.

амплитуда и начальная фаза колебаний определяются двумя начальными условиями

,

.

А и В - заданные постоянные.