§8. Теорема о движении центра масс.

Пусть имеется система материальных точек с массамии координатами. Тогда точка с координатами

,

где называется полной массой системы, называется центром массы системы (иногда эту точку называют также центром инерции системы).

Рассматривая центр масс системы, вводят специальную теорему о его движении. Мы введем эту теорему в рассмотрение, сделав несколько шагов.

1. Имеются внешние силы, действующие на каждую i-ю частицу,, и внутренние силы действующие между частицами,.

2. Согласно Третьему закону Ньютона, .

3. Согласно Второму закону Ньютона для i-й частицы,.

4. Но . Получаем ряд уравнений, соответствующих правым частям:

5.

6. Сложим почленно указанные уравнения. Видно, что все внутренние силы попарно сокращаются. Остаются только внешние силы:

.

Это Второй закон Ньютона для системы материальных точек.

7. Из определения центра масс следует

.

8. Продифференцировав по времени, находим,

.

Теперь имеется теорема: Центр массы системы движется как материальная точка массы М. на которую действует результирующая сила всех внешних сил. Если эта результирующая сила равна нулю, то полный импульс системы постоянен во времени.

§9. Работа механической силы.

Рассмотрим несколько случаев.

А). Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении; сила и перемещение Sсовпадают по направлению. Но сначала отметим, что единицей работы является Дж, или (эквивалент) кг м/с.

Согласно определению, работой в этом случае называется произведение S. Размерность работы, как и энергии равна Джоулю, Дж. Б). Если вектор силы и вектор прямолинейного перемещения составляют угол, то работа равна. Например,. Здесь– обозначениескалярного произведения двух векторов.

Случаи А) и В) рассмотрены для постоянной по величине и направлению силы.

В). Если же сила непостоянна по времени или направлению, то надо брать очень маленькие перемещения, , на протяжении которых сила не меняется. Тогда можно ввести понятиеэлементарной работы,, или, в более общем виде,– элементарное (бесконечно малое) а значит – прямолинейное смещение.

Г). Полная работа произвольной силы при перемещении по прямой Lот начальной точкиадо конечной точкивравнаопределенному интегралу

.

Д). Однако далеко не всегда перемещение происходит по прямой линии. В этом случае рассматривают кривую линию с начальной точкой аи конечной точкойв,, и определенное интегрирование проводят по малым (прямолинейным) отрезкам этой кривой. Такой определенный интеграл называетсякриволинейными обозначается как

.

Этот интеграл даёт наиболее общее выражение для работы произвольной силы.

Е). Есть еще один случай работы силы, который надо упомянуть. Это работа по замкнутому контуру. Работа в этом случае обозначается специальным кружком на знаке криволинейного интеграла:

.

Здесь начало и конец кривой (траектории) совпадают и их не отмечают. Такие интегралы (мы их вычисляем для простейших случаев, когда вычисления очевидны и легки) крайне важны. Мы обсудим их значение позже, а пока отметим, что в том случае, когда

,

сила называется консервативной, а работа равна нулю независимо от выбора замкнутого контура. Примерами таких сил служат все центральные силы (сила упругости , сила тяжести, сила Кулона и др.).

Если же

,

то сила называется неконсервативной. Её работа зависит от вида траекторииL. Это, например, силы трения (сухого и вязкого) силы необратимых деформаций и др.

С понятием «работа» тесно связано понятие «мощность». Мощность – это «скорость» совершения работы P(скаляр, не путать с модулем импульса), производная работы по времени:

.