- •Механика и молекулярная физика.
- •Часть 1. Механика.
- •§1. Введение.
- •§2. Механическое движение и его основные понятия.
- •§3. Основные понятия классической механики.
- •§4. Состояние физической системы.
- •§5. Законы Ньютона.
- •§6. Плоское криволинейное движение.
- •§7. Закон сохранения импульса.
- •§8. Теорема о движении центра масс.
- •§9. Работа механической силы.
- •§10. Потенциальная энергия.
- •§11. Закон сохранения механической энергии.
- •§12. Принцип относительности в классической механике.
- •§13. Принцип относительности Эйнштейна.
- •§14. Гармонический осциллятор.
- •§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.
- •§16. Момент инерции твердого тела. Абсолютно твердое тело.
- •§17. Момент силы, момент импульса. Уравнения моментов.
- •§18. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§19. Физический маятник и период его колебаний.
- •§19. Элементы механики жидкости.
- •Часть 2. Элементы термодинамики.
- •§20. Тепловое движение частиц.
§14. Гармонический осциллятор.
Рассмотрим простую физическую систему – материальную точку, способную без трения колебаться на горизонтальной поверхности под действием силы Гука (см. рис. 2).
Если смещение груза невелико (много меньше, чем длина недеформированной пружины), а жесткость пружины равна k, то но груз действует единственная сила, сила Гука. Тогда уравнение
движения груза (Второй закон Ньютона) имеет вид
Перенеся слагаемые в левую часть равенства и разделив на массу материальной точки (массой пружины пренебрегаем по сравнению с m), получим уравнение движения
(*) ,
где
,
,
период колебаний.
Тогда, взяв функцию
и продифференцировав её по времени, убеждаемся, во-первых, что скорость движения груза равна
,
а во-вторых, после повторного дифференцирования,
,
то есть X(t) действительно является решением уравнения груза на пружинке.
Такая система, вообще, любая система, механическая, электрическая или иная, обладающая уравнением движения (*), называется гармоническим осциллятором. Функция типа X(t) носит название закона движения гармонического осциллятора, величиныназываютсяамплитудой,циклической илисобственной частотой,начальной фазой. Собственная частота определяется параметрами осциллятора, амплитуда и начальная фаза задаются начальными условиями.
Закон движения X(t) представляет собой свободные колебания. Такие колебания совершают незатухающие маятники (математический или физический), ток и напряжения в идеальном колебательном контуре и некоторые другие системы.
Гармонические колебания могут складываться как в одном, так и в различных направлениях. Результатом сложения тоже оказывается гармоническое колебание, например,
.
Это принцип суперпозиции (наложения) колебаний.
Математики разработали теорию рядов такого рода, которые называются рядами Фурье. Имеется также ряд обобщений типа интегралов Фурье (частоты могут меняться непрерывным образом) и даже интегралы Лапласа, работающие с комплексными частотами.
§15. Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.
Реальные механические системы всегда обладают, хотя бы малым, трением. Простейший случай – жидкое или вязкое трение. Это трение, величина которого пропорционально скорости движения системы (и направлена, естественно, против направления движения). Если движение происходит вдоль оси Х , то уравнение движения может быть записано (например, для грузика на пружинке) в виде
,
где – коэффициент вязкого трения.
Это уравнение движения можно преобразовать к виду
.
Здесь – коэффициент затухания,– по-прежнему собственная частота осциллятора (который уже нельзя назвать гармоническим; это затухающий осциллятор с вязким трением).
Математики умеют решать такие дифференциальные уравнения. Было показано, что решением является функция
(**).
В последней формуле используются обозначения: – начальная амплитуда, частота слабозатухающих колебаний,. Кроме того, часто используют другие параметры, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания, время релаксации системы, добротность системы, где в числителе стоит запасенная системой энергия, а в знаменателе – потери энергии за период Т.
В случае сильного затухания решение имеет апериодический вид.
Часто встречаются случаи, когда кроме сил трения на осциллятор действует внешняя сила. Тогда уравнение движения приводится к виду
,
стоящее справа выражение часто называют приведенной силой, само выражение называют вынуждающей силой. Для произвольной вынуждающей силы найти решение уравнения не удается. Обычно рассматривают гармоническую вынуждающую силу типа. Тогда решение представляет собой затухающую часть типа (**), которая для больших времен стремится к нулю, и установившиеся (вынужденные) колебания
.
Амплитуда вынужденных колебаний
,
а фаза вынужденных колебаний
.
Заметим, что при приближении собственной частоты к частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Это явление известно как резонанс. Если затухание велико, то резонансное увеличение не велико. Такой резонанс называют «тупым». При малых затуханиях амплитуда «острого» резонанса может возрасти весьма значительно. Если же система идеальна, и трение в ней отсутствует, то амплитуда вынужденных колебаний увеличивается неограниченно.
Заметим также, что при частоте вынуждающей силы
Достигается максимальное значение амплитуды вынуждающей силы, равное
.