§4. Состояние физической системы.

В физике существует понятие «состояние системы». Это понятие вводится не только в механике, но и в статистической физике, термодинамике, квантовой механике и т.д. Естественно, что в различных разделах физики это понятие обладает специфическими чертами. В механике термин «состояние» подразумевает, что для материальной точки для данного момента времени известны или указанытри координатыитри проекции скорости. Обратим внимание на то, что «три» – это число пространственных переменных или, что важнее, число степеней свободы.

Если имеется система невзаимодействующих материальных точек, то для определения состояния системы в момент временинадо задать попроекций координат и проекций скоростей. То есть для момента временисостояние определяется выражением

,.

Видно, что это выражение содержит всего элементов; индексотображает номер рассматриваемой материальной точки.

Если точки взаимодействуют между собой (пусть число таких взаимодействий равно , то число степеней свободы равняется, то есть число указываемых проекций координат уменьшается и равно.

В других разделах физики состояние системы определяется. Например, для твердых тел надо указывать не координаты ми скорости, а координаты и скорости центра масс и угловые скорости (см. ниже) вращения тела вокруг центра масс. В термодинамике идеальных газов состояние указывается термодинамическими потенциалами, к которым относится объем системы, её абсолютная температура и занимаемый системой объем,.

В квантовой механике указание состояния системы сложнее.

Важность представления о состоянии системы определяется тем, что это понятие связано с основной задачей механики. Последняя решена, если есть указание на то, как состояние системы в момент временипреобразуется в состояние для момента времени,– бесконечно малое превращение времени. Очевидно, что если такое указание найдено, то движение системы описано полностью для любых времен. Ньютон нашел универсальный способ решения этой проблемы, записав «уравнение движения системы» (см. следующий параграф).

§5. Законы Ньютона.

В той или иной форме законы классической механики известны очень давно. Иногда эти законы формулировались и понимались с ошибками. Ярким примером одной из ошибок было неправильное понимание причин движения, высказанное Аристотелем. Он считал, что движение продолжается только до того момента времени, пока на объект действует сила. Ошибка состояла в том, что Аристотель не учитывал свойств инерции, присущих веществу. По мере развития физики и накопления экспериментальных данных, законы механики уточнялись и, наконец, были в современной форме сформулированы Исааком Ньютоном. Именем Ньютона названо много законов. Если говорить только о механике, то можно указать 4 закона Ньютона. Один из них – знаменитый закон Всемирного тяготения

.

Здесь – постоянная Всемирного тяготения,и– взаимодействующие массы, расстояние между которыми равно, дробь– орт, указывающий направление действия силы и проведенный из первой массы, знак минус показывает, что при взаимодействии масс возникает сила притяжения.

Однако, говоря о законах Ньютона в механике, чаще подразумевают три закона.

Первый закон – закон инерции. Как и остальные законы Ньютона он является результатом обобщения экспериментальных данных. Закон утверждает следующее. Если результирующая всех сил, действующих на материальную точку, равна нулю, то материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Первый закон исправляет ошибку Аристотеля. Он утверждает, что в природе существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых материальная точка может покоиться.

Второй закон Ньютона, который иначе называется законом движения в классической физике может быть записан в трех близких формах:

А). .

Б). .

В). .

Форма закона А) - наиболее примитивная, «школьная» форма Второго закона Ньютона. Она плоха тем, что глядя на неё можно подумать, что ускорение является постоянной величиной. На самом деле ускорение может изменяться с течением времени.

Вторая форма – наиболее распространенная запись Второго закона Ньютона. Эту форму называют еще «Уравнение движения». Она дает решение для переменного ускорения или, что важнее, при заданных силах – зависимость , которая называется «Закон движения».

Определение закона движения (выполняется двойным интегрированием по времени) составляет прямую основную задачу динамики. Определение равнодействующей силы по известному (например, из эксперимента) закону движения – обратная основная задача динамики.

Приведем пример решения прямой задачи движения. Она имеет однозначное решение, если только заданы начальные условия, то есть координаты и проекции скоростей материальной точки в начальный момент времени (обычно за такой момент принимают, но можно выбирать произвольное значение).

Пусть сила, действующая на материальную точку, равна и дважды интегрируема. Пусть также начальное положение точки определяется условием, а начальная скорость – условием. Тогда, учитывая формулировку Второго закона Ньютона, запишем:

,

или, учитывая определение мгновенного ускорения,

.

Отсюда следует

.

Если теперь провести неопределенное интегрирование, то можно получить

.

По условию, интеграл от силы существует, а значение скорости в начальный момент равно . Так как сила в начальный момент еще не изменила скорость, то мгновенная скорость приобретает однозначный вид

.

Теперь, при заданной силе, мгновенная скорость полностью определена и можно переходить к определению закона движения. Для этого воспользуемся определением мгновенной скорости и запишем

.

Отсюда следует:

.

Опять проводим неопределенное интегрирование:

.

Первый интеграл вычисляется, давая , второй остается неизменным – в случае конкретного указания силы, он также может быть вычислен. Произвольная константа определяется по начальному условию. Приимееми тогда

.

Закон движения определен полностью. Это называется решением первой задачи динамики «в квадратурах».

Необходимо подчеркнуть, что первая задача динамики (для любого случая – прямолинейного движения или вращения, отдельной материальной точки, системы точек или твердого тела) может быть решена только при указании достаточного количества начальных условий.

Форма В) – наиболее общая форма записи Второго закона Ньютона. Там проводится дифференцирование импульса по времени. Это дифференцирование может затрагивать только скорость, но может затрагивать и скорость, и массу. Такое дифференцирование пригодно и для релятивистских задач, когда масса зависит от скорости и от времени: . Эта же форма пригодна и для классической области, если масса системы переменна. Примерами может служить поливальная машина и ракета. Именно на основе этой формы Циолковский получил уравнение движения ракеты и обосновал утверждение, что ракета может лететь в вакууме (было время, когда некоторые ученые утверждали, что в космосе ракета не полетит: «Ей там не от чего отталкиваться»).

Последнее утверждение получается при использовании двух других законов – Третьего закона Ньютона или закона сохранения импульса. Интересно, что в отличие от основных законов физики, являющихся (как правило) обобщением опытных данных, из закона сохранения импульса можно строго математически получить Третий закон Ньютона, и наоборот, приняв Третий закон можно на его основе получить закон сохранения импульса.

Для того, чтобы сформулировать третий закон, надо ввести понятие «замкнутая система» (иногда говорят «изолированная система», см. Д.В. Сивухин, т.I). По определению это такая система, на каждую материальную точку не действуют внешние силы. Тела замкнутой системы могут взаимодействовать только меду собой.

Пусть система состоит из двух материальных точек. Тогда можно показать (или принять как экспериментальный факт), что эти силы имеют три особенности. Они:

А) равны по величине (по модулю),

Б) направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки,

В) причем в противоположные стороны.

Это словесная формулировка Третьего закона Ньютона. В виде формулы этот закон записывается так:

,

индексы показывают, что рассматривается сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй точки.

Если система состоит из материальных точек, то третий закон Ньютона обобщается так:

.

Здесь есть некая тонкость, заключающаяся в том, что в механике рассматривают только парные взаимодействия частиц. Например, силы типа и более сложные не рассматриваются.

Закон сохранения импульса удобнее обсудить позже.