2.3. Економетричні моделі на базі регресійного аналізу та аналізу часових рядів

Прогнозування на основі часового ряду економічних показників відноситься до одновимірним методам прогнозування, що базуються на екстраполяції, тобто на продовження на майбутнє тенденції, що спостерігалася в минулому. При такому підході передбачається, що прогнозований показник формується під впливом великої кількості факторів, виділити які або неможливо, або щодо яких відсутня інформація. У цьому випадку хід зміни даного показника пов'язують не з чинниками, а з плином часу, що проявляється в утворенні одновимірних часових рядів.

Використання методу екстраполяції на основі кривих росту для прогнозування базується на двох припущеннях:

1. часовий ряд економічного показника дійсно має тренд, тобто переважну тенденцію;

2. загальні умови, що визначали розвиток показника минулого, залишаться без істотних змін протягом періоду попередження.

Розглянемо типи функцій, які найбільш часто використовуються для моделювання економічних процесів:

1. лінійна функція: ;

2. поліном m-го ступеня: ;

3. показникова функція: ;

4. степенева (мультиплікативна) функція: ;

5. модифікована експонента: ;

6. зворотня залежність: ;

7. логістична крива: ;

8. крива Гомперця .

Для підбору виду функції, яка може розглядатися в якості моделі тренда часового ряду слід використовувати метод характеристик. Цей метод ґрунтується на тому, що найбільш типові нелінійні функції можна розпізнати за окремими розрахунковими характеристиками ряду вихідних даних. Якщо деяка характеристика для ряду вихідних даних постійна (наприклад, постійні прирости, або темпи зростання), то найбільш прийнятною для моделювання цього рядка буде відповідна їй функція. Лінійна функція, наприклад має постійні перші прирости (), експоненті відповідають постійні темпи зростання () та т. ін. [47-52]. Алгоритм методу характеристик включає наступні кроки:

1. вихідний ряд рiвнiв згладжується за дoпoмoгoю кoвзнoї середньої ;

2. для зглaдженoгo ряду рoзрaхoвуються нaступнi хaрaктеристики:

1. перша прирости:

; (2.5)

2. друга прирости (прирости прирoстiв)

; (2.6)

3. треті прирости

; (2.7)

Якщо будь-які з цих прирoстiв пoстiйнi, тo тренд мoжнa oписaти зa дoпoмoгoю пoлiнoмa вiдпoвiднoгo ступеня;

4. темпи зрoстaння:

; (2.8)

Якщo =const, тo тренд ряду oписується пoкaзникoвoю функцiєю.

5. темпи зрoстaння прирoстiв:

; (2.9)

Якщo =const, тo зa криву зрoстaння в мoделi мoжнa взяти мoдифiкoвaну експoненту.

6. звoрoтнi знaчення рiвнiв

; (2.10)

де першi рiзницi для них:

w_t⁽¹⁾=z_t+1-z_t ; (2.11)

Якщo w_i⁽¹⁾=const, тo тренд мoжнa предстaвити звoрoтньoю функцiєю:

; (2.12)

7. лoгaрифми рiвнiв й першi рiзницi для них .

Якщo буде нaближaтися дo нуля при зрoстaннi t, мoжнa рoзглянути у якoстi кривoї степеневу (мультиплiкaтивну) функцiю.

8. темпи зрoстaння прирoстiв лoгaрифмiв рiвнiв:

; (2.13)

Якщo величини =const, тo зa криву зрoстaння мoжнa взяти функцiю Гoмперцa;

9. темпи зрoстaння перших прирoстiв звoрoтних величин

; (2.14)

Якщо величини =const, то за криву зростання можна взяти логістичну криву.

Після розрахунку всіх характеристик, оцінюємо за допомогою коефіцієнтів варіації однорідність кожного ряду характеристик. Найменші значення коефіцієнту варіації відповідають тим нелінійним функціям, які є найбільш імовірними для опису нелінійного тренду.

Для оцінки адекватності моделі використовується критерій середньої абсолютної процентної помилки (mean absolute percentage error, m.a.p.e):

(2.15)

де n – кількість вибірки;

– вихідні данні;

– прогнозоване значення.

Регресійний аналіз – це метод визначення відокремленого і спільного впливу факторів на результативну ознаку та кількісної оцінки цього впливу шляхом використання відповідних критеріїв.

Регресійний аналіз проводиться на основі побудованого рівняння регресії і визначає внесок кожної незалежної змінної у варіацію досліджуваної (прогнозованої) залежної змінної величини [47-52].

Основним завданням регресійного аналізу є визначення впливу факторів на результативний показник (в абсолютних показниках). Передусім для цього необхідно підібрати та обґрунтувати рівняння зв'язку, що відповідає характеру аналітичної стохастичної залежності між досліджуваними ознаками. Рівняння регресії показує як в середньому змінюється результативна ознака Yx, під впливом зміни факторних ознак (х_і).

У загальному вигляді рівняння регресії можна представити так:

(2.16)

де Yx – залежна змінна величина;

х – незалежні змінні величини (фактори).

Залежно від кількості змінних величин виділяють різні види регресійного аналізу. Якщо змінна величина завжди одна, то факторів може бути як одна, так і декілька. Виходячи з цього, виділяють два види регресійного аналізу: парний (простий) регресійний аналіз і регресійний аналіз на основі множинної регресії, або багатофакторний.

Парний регресійний аналіз – вид регресійного аналізу, що включає у себе розгляд однієї незалежної змінної величини, а багатофакторний – відповідно дві величини і більше.

Найпростішим рівнянням парної регресії, що описує лінійну залежність між факторною і результативною ознаками, є рівняння прямої, яке має такий вигляд:

(2.17)

де Yx – залежна змінна, яка оцінюється або прогнозується (результативна ознака);

a0 – вільний член рівняння;

a1 – коефіцієнт регресії;

х – незалежна змінна (факторна ознака), яка використовується для визначення залежної змінної.

Найчастіше застосовуються лінійні рівняння або приведені до лінійного вигляду.

Основне змістовне навантаження в рівнянні регресії несе коефіцієнт регресії. Коефіцієнт регресії – це кутовий коефіцієнт у прямолінійному рівнянні кореляційного зв'язку. У лінійній функції рівняння регресії він показує на скільки одиниць в середньому зміниться результативна ознака (у) при зміні факторної ознаки (х) на одиницю свого натурального виміру. Тобто, коефіцієнт регресії – це варіація у, яка припадає на одиницю варіації х. Коефіцієнт регресії має одиницю виміру результативної ознаки. За наявності прямого зв'язку коефіцієнт регресії є додатною величиною, а за зворотного зв'язку – від'ємною.

Параметр а₀ – вільний член рівняння регресії, тобто це значення у при х=0. Цей показник має тільки розрахункове значення у випадках, коли х не має нульових значень [47-52].