7. Обоснование системы счисления, применяемой в современном компьютере.

Системы счисления и формы представления чисел.

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или двоично-десятичной системе счисления.

Система счисления — ЭТО способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

(В позиционной системе счисления количественное значение кажцой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от О до Р—1.

Двоичная система счисления имеет основание Р =2 и использует для представления информации всего две цифры: О и 1. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные в том числе и на соотношении (1).

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой); нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр С ПОСТОЯННЫМ ДЛЯ всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом.

операций, поэтому

Двоично - десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост - выполняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы А 1О,В 11,С 12,I 1З,Е= 14,Р= 15.

8. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Основание с/с соответствует количеству цифр (знаков), используемых для записи чисел в этой с/с. Например, основанием десятичной с/с есть число 10 и именно десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) мы используем при записи чисел в этой с/с. В двоичной с/с мы используем всего две цифры - 0 и 1, в шестнадцатиричной  - 16, причем для чисел 10,11,12,13,14,15 в этой с/с введены дополнительное цифры (знаки) - A,B,C,D,E,F соответственно, т.к. традиционно используемых цифр недостаточно. Необходимо заметить, что люди дали название той или иной с/с в десятичной с/с. Число, соответствующее основанию рассматриваемой с/с запишется в этой с/с как 10: 2 (10 с/с) = 10 (2 с/с) 16 (10 с/с)= 10 (16 с/с) 8 (10 с/с) = 10 (8 с/с) После появления позиционной системы появились и правила (алгоритмы) сложения, вычитания, умножения (столбиком), деления (уголком). Однако с технической точки зрения основание 10 не слишком удобно: в цепях электрических схем необходимо для этого иметь 10 различных сигналов (хотя десятичная с/с использовалась в механических арифмометрах). С технической точки зрения, чем меньше сигналов в схеме, тем лучше. Наименьшее основание , которое может быть у позиционной с/с, - это 2. Поэтому двоичная с/с широко используется в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи. Перевод чисел из произвольной с/с в десятичную и наоборот.

Восьмеричная система счисления.

 При внешнем (вне ЭВМ) представлении числовой информации применять двоичную систему счисления с ее громоздкими записями неудобно. В этом случае часто используется восьмеричная система. В восьмеричной системе числа записываются с помощью восьми цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7, а сама восьмерка числом 10.Удобство восьмеричной системы счисления заключается в том, что переход от восьмеричной к двоичной очень прост: достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичным представлением (двоичной триадой).

Достаточно прост и обратный переход от двоичной с/с к восьмеричной. Для этого в двоичной записи числа нужно выделить триады (влево и вправо от десятичной точки) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.

Шестнадцатеричная  система счисления.

При подготовке информации для современных ЭВМ и описания характера их работы используется шестнадцатеричная с/с. Для записи чисел в этой системе необходимо располагать шестнадцатью различными символами. Очевидно, что для первых десяти цифр можно использовать цифры от нуля до девяти - 0,1,2,...,9. Для обозначения остальных используются буквы латинского алфавита - A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают 10,11,12,13,14 и 15. Переход от шестнадцатиричной к двоичной так же прост, как от восьмеричной к двоичной. Только на этот раз каждую шестнадцатеричную цифру нужно заменить соответствующей двоичной  тетрадой

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

При сложении надо помнить в какой с/с введутся расчеты. Вычисления нам легче производить в 10 с/с, но результат каждого выполненного действия мы сразу должны привести в соответствие с рассматриваемой с/с. Так, если получаем число два при сложении чисел в 2 с/с, как в этом примере, то заменяем его на 10, т.к. цифры два в двоичной с/с нет.