2. Вибір виду рівняння тренду

При виборі виду рівняння необхідно вирішити два питання. По-перше, чи адекватно рівняння відповідає досліджуваним процесам і наскільки воно відображає закономірність тенденції, що склалася. По-друге, чи відповідає воно статистичним критеріям.

Під адекватністю розуміють здатність рівняння найбільш точно відображати природу явищ, що досліджуються.

Статистична оцінка означає відповідність рівняння окремим критеріям, які виражаються системою статистичних характеристик, що будуть розглянуті в останньому питанні даної теми.

Рівняння тренду може бути описане широким спектром залежностей. На практиці переважно використовують функції, параметри яких мають конкретну інтерпретацію залежно від характеру динаміки. Найбільш поширеними є поліноми (многочлени), різного роду експоненти та логістичні криві.

Так, поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд

у = а + bt                                                (7.3)

описує процеси, які рівномірно змінюються в часі і мають стабільні прирости ординат.

Якщо знак коефіцієнта регресії b додатний, то зв’язок прямий, якщо він від’ємний, то зв’язок зворотний. При b = 0 зв’язку між досліджуваними ознаками немає, лінія на лінійному графіку в прямокутній системі координат проходить паралельно осі абсцис.

Поліном 2-го ступеня – квадратичне рівняння (парабола)

у = а + bt+сt²                                             (7.4)

здатний описати процес, характерною особливістю якого є рівноприскорене зростання або зменшення ординат. Як приклад, параболою описується динаміка захворювань при епідемії грипу.

Параметри b i c параболічного рівняння залежно від знаків можуть відображати різний характер зміни результативної ознаки у зі зміною факторної ознаки t на одиницю власного вимірювання. Якщо знак параметрів b i c додатний, то значення результативної ознаки у поступово збільшуються зі сталою величиною, яка дорівнює 2c. Якщо знак параметра b буде додатним, а параметра c - від’ємним, то значення результативної ознаки у поступово зменшуються зі сталою величиною, яка дорівнює 2c. Числове значення i знак параметра c характеризують не лише величину зміни результативної ознаки y зі зміною факторної ознаки t на одиницю власного вимірювання, яка дорівнює 2c, а й величину згину параболи, тобто ступінь кривизни параболи – величину відхилення параболічної кривої від прямої лінії. Форма параболи визначається параметром с: при с > 0 гілки параболи спрямовані вгору – парабола має мінімум, при с < 0 гілки параболи спрямовані вниз – парабола має максимум. Значення факторної ознаки t, за якого результативна ознака матиме екстремум (мінімум або максимум), визначається за формулою

.                                                 (7.5)

Якщо характерною властивістю процесу є стабільна відносна швидкість (темпи приросту), то такий процес описується експонентою, яка може набувати різних форм. Основна (показникова) форма експоненти:

,                                                 (7.6)

де b – середня відносна швидкість зміни ординати: при b>1 ордината зростає з постійним темпом, при b<1 – навпаки зменшується.

При прогнозуванні динамічних процесів з ефектом насичення, тобто коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівень наближується до певної межі (наприклад, питомі витрати ресурсів, споживання продуктів харчування на душу населення тощо), використовують клас кривих, які мають горизонтальну асимптоту – межу – с0. Найпростіша з них – модифікована експонента:

.                                             (7.7)

Якщо а<0 - межа знаходиться вище кривої, якщо а>0 - межа знаходиться нижче кривої.

Експоненту також можна представити у вигляді:

- степеневої функції

;                                                 (7.8)

- експоненційної функції

,                                                (7.9)

де е = 2,718 – основа натурального логарифма.

Параметр b степеневого рівняння регресії називається коефіцієнтом еластичності. Він показує на скільки відсотків у середньому зміниться теоретичне значення результативної ознаки у зі зміною факторної ознаки t на 1 %, а параметр a – значення y при t = 1.

У разі, коли обмежувальний фактор починає впливати лише після певного моменту, до якого процес розвивається за експоненційним законом, найкраще використовувати S-подібну функцію з точкою перегину, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням (наприклад, попит на новий товар спочатку незначний; потім після визнання споживачами він стрімко зростає, але в міру насичення ринку темпи зростання уповільнюються і попит стабілізується на певному рівні). Аналогічно розвиваються процеси нововведень, ефективність використання ресурсів. З поміж S-подібних функцій найпоширенішою є логістична крива:

.                                        (7.10)

У страховій і демографічній галузях використовують іншу S-подібну функцію – криву Гомперца:

,                                             (7.11)

або у логарифмах

.                                          (7.12)

Таким чином, крива Гомперца приводиться до модифікованої експоненти, у якої сталими є відношення приростів ординат у логарифмах.

Загалом, перелік функцій, які можуть бути використані для екстраполяції трендів, налічує кілька десятків рівнянь, які описують різні процеси розвитку. Вибір типу моделі у конкретному випадку ґрунтується на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв'язків з іншими процесами. Ha основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) та окреслюється коло функцій, здатних апроксимувати цей процес.

Серйозною підмогою при виборі конкретної моделі слугують формальні методи. Скажімо, для поліномів — це аналіз послідовних різниць між суміжними рівнями ряду. Якщо приблизно рівними є різниці 1-го порядку  , то процес описується лінійним трендом, якщо однакові різниці 2-го порядку   - слід використовувати параболу і т. д.

Певні складнощі можуть виникнути при виборі S-подібної кривої, яка до точки перегину описує експоненційний тренд, а сама точка перегину може бути за межами динамічного ряду. Перевага S-подібній кривій віддається, якщо межа насичення теоретично можлива і процес у майбутньому може згасати або існують певні обмеження для процесу (правові, матеріальних ресурсів, виробничих потужностей тощо).

Оскільки вибір функції для опису тренду є принциповим моментом, треба пам’ятати, що функція, яку ми вибираємо, повинна змінюватися приблизно так, щоб описати економічну логіку розвитку досліджуваного процесу. Вона зовсім не обов’язково має проходити максимально близько до усіх даних спостережень, оскільки вони завжди містять у собі окрім тренду нерегулярну, сезонну і циклічну компоненти. Вона має показувати саме стійку тенденцію змін.