3. Оцінка тенденції розвитку процесу. Метод найменших квадратів
На практиці, перш ніж приступати до вибору виду рівняння, рекомендується оцінити природу зв'язку. Для цього використовують різні підходи, наприклад метод послідовних різниць, коли послідовно розраховують різниці між рівнями ряду, за значенням яких можна оцінити характер зміни показників у часі. В іншому випадку можна провести попередній візуальний аналіз даних, виходячи з зображення динамічного ряду на графіку. Це дасть змогу виявити характерні особливості ряду і відповісти на питання:
- чи є він відносно гладким або сильно „порізаним”;
- чи має виражену тенденцію до зміни і яку – на зростання чи на спад; лінійну або виражену нелінійну; з точкою перегину або з насиченням;
- чи простежується сезонність;
- наскільки великою є різниця між найменшими та найбільшими значеннями часового ряду;
- чи має він раптові відхилення в більшу чи меншу сторони у порівнянні з основною масою спостережень, тощо.
Розглянемо цей процес на прикладі. Нехай відомі статистичні спостереження про досліджуваний процес за дев’ять періодів (у1, у2, у3,…, у9). Це так звані реальні дані, тобто ті, що були задокументовані в момент “t” для досліджуваного процесу “у”. Нанесемо їх на графік в координатах у-t (рис. 7.1). Графічне відображення реальних даних (реальних спостережень) називається “хмарою спостережень”.
|
Рисунок 7.1 – “Хмара спостережень” |
При візуальному аналізі видно, що між “у” і “t” існує певний зв’язок: зі зростанням “t” зростає і “у”. Але цей зв’язок не є абсолютно ідеальним. Тому його називають статистичним, на відміну від функціонального, де він може бути точно і однозначно виражений формулою (наприклад, якщо б усі точки ідеально лягли на одну лінію).
Складність полягає у встановленні виду зв’язку. На перший погляд досить добре описує тенденцію розвитку пряма лінія (рис. 7.2, а). Проте зробити такий однозначний висновок важко, тому при аналізі слід враховувати тенденції процесу, який описується.
Наприклад, якщо “у” відображає обсяг продажу певного товару, то слід визначити на якій стадії життєвого циклу знаходиться цей товар. Можливо, розглядається обсяг продажу товару, що знаходиться на підйомі свого життєвого циклу, і ймовірно, що деякий час його продажі будуть мати виражену тенденцію до прискореного зростання (рис. 7.2, б). На етапі сталого зростання процес найкраще відображатиметься саме прямою лінією (рис. 2, а). Разом з тим обсяг продажу не може зростати нескінченно, адже з часом відбувається певне насичення товаром, і якщо процес близький до насичення ринку, зростання продажу сповільниться (рис. 7.2, в).
Таким чином, якщо на основі відомих дев’яти статистичних спостережень скласти прогноз на наступний період за допомогою трьох названих варіантів розвитку процесу (трьох різних функціональних залежностей), то результат буде істотно різнитися (продовження кожної з ліній до точки “t=10”, значення абсцис якої відмічено пунктирною лінією (рис.2, г)).
|
|
а |
б |
|
|
в |
г |
Рисунок 7.2 – Можливі варіанти опису тенденції розвитку процесу та складання прогнозів з використанням різних видів функцій |
|
Як можна бачити, коректна оцінка тенденції є критично важливою. Помилка з вибором форми залежності (специфікації моделі) може виявитися руйнівною для прогнозу.
Обґрунтування вибору найбільш оптимальної залежності базується на гіпотезі, що оцінка тенденції буде тим краща, чим меншими будуть відхилення реальних спостережень від розрахункової функції.
Наприклад,
існує два можливих варіанти опису
процесу за допомогою прямих ліній (рис.
7.3). Для вибору оптимального варіанту
слід у кількісній формі розрахувати
величини різниць між реальними
спостереженнями
і
значеннями відповідної функції-оцінки 
. (7.13)
Чим вони будуть меншими, тим кращою буде оцінка. Ці різниці відображено на рисунку 7.3 фігурними дужками, повернутими вліво для однієї лінії та вправо – для другої.
|
Рисунок 7.3 – Схема оптимізації вибору розрахункової функції |
Обчислені різниці між реальними даними та оціночною функцією називаються залишками. На перший погляд найпростіший варіант вибору оптимальної функції полягає у сумуванні залишків кожної оціночної функції за всі періоди. Та функція, для якої ця сума була б найменшою, могла б вважатися найкращою. Проте у цьому випадку є один важливий аспект: як видно з рис. 7.3, частина залишків розташована вище своєї оціночної функції, а частина – нижче. Відповідно деякі різниці між реальними даними та функціями є позитивними, а деякі – негативними. При простому сумуванні їх вплив буде взаємно погашатися, тобто отримати реальну інформацію про якість оцінки таким шляхом важко. Існують різні виходи з цієї ситуації: можна брати абсолютну величину залишків (їх модулі), і в окремих випадках так і поступають. Але практичніше з розрахункової точки зору просто піднести залишки у квадрат. Суми квадратів залишків і є тією мірою, яка найбільш часто використовується для визначення кращої функції. На цьому принципі базується метод найменших квадратів, згідно якого кращою оціночною функцією буде та, яка забезпечує мінімальну суму квадратів залишків:
. (7.14)