- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
Решение
1) Схема до коммутации представлена на рис. 2.3.5.б. Постоянный ток через конденсатор не течет:
Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
По закону Ома определим напряжение на конденсаторе:
В.
|
|
Рис. 2.3.5.в |
Рис. 2.3.5.д |
2) Схема после коммутации изображена на рис. 2.3.5.в. Принужденные составляющие в этой цепи равны нулю, так как в этой схеме нет источников вынуждающей силы (источников ЭДС и источников тока).
3) Цепь в момент коммутации приведена на рис. 2.3.5.д. Для определения переходного процесса составляем систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для внешнего контуратретье – по второму закону Кирхгофа для контура
где
Записанную систему уравнений решим относительно напряжения на конденсаторе так как для него выполняется второй закон коммутации – запрет скачка напряжения.
Из третьего уравнения системы выразим ток в ветви с резистором:
Теперь подставим этот ток и ток в конденсаторе в первое уравнение исходной системы:
(2.3.1) |
Наконец, сделаем подстановку последнего тока (2.3.1) во второе уравнение системы:
После преобразований окончательно получаем НДУ второго порядка:
которое ввиду равенства нулю его правой части совпадает с ОДУ
Из последнего выражения составим характеристическое уравнение:
или
Характеристическое уравнение имеет два отрицательных, вещественных корня:
с-1;
с-1.
В случае двух различных отрицательных корней общее решение ОДУ имеет вид:
(2.3.2) |
Постоянные интегрирования иопределим следующим образом.
Подставим ОДУ (2.3.2) в (2.3.1):
Переписав (2.3.2) и последнее выражение получим следующую систему уравнений:
Запишем эту систему при
Учитывая, что в соответствии с законами коммутации ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком, т.е.
А;
В,
последняя система уравнений преобразуется к виду:
(2.3.3) |
Выразив из первого уравнения системы (2.3.3) постоянную интегрирования
и подставив во второе уравнение системы (4.3.3), получим
Подставив найденные постоянные интегрирования и корни характеристического уравнения ив НДУ (2.3.2), получим искомое напряжение на конденсаторе:
В.
3) Определяем остальные токи, используя приведенные выше соотношения:
|
А. Графики требуемых временных функций приведены на рис. 2.3.5.г. |
Рис. 2.3.5.г |
Задача 2.3.6Цепь, изображенная на рис. 2.3.6.а, в моментподключается к источнику постоянной ЭДСВ путем замыкания рубильника Р. Параметры цепи:Ом,Ом,мГн,мкФ. Найти ток в катушке индуктивностии напряжение на конденсаторе
|
|
Рис. 2.3.6.а |
рис. 2.3.6.б |
Решение
1) Так как до коммутации в цепи не было источника ЭДСто напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности равны нулю:
Используя первый и второй законы коммутации, получаем следующие независимые начальные условия:
2) Схемы после коммутации вычерчена на рис. 2.3.6.б. Ток через заряженный конденсатор равен нулю (),поэтому согласно закону Ома для узла “1” ток источника ЭДС равен току во второй ветви:
Тогда в данной цепи имеется один замкнутый контур в котором протекает ток
А.
По закону Ома находим напряжение
В.
3) Для схемы, изображенной на рис. 2.3.6.а, в момент коммутации при замыкании рубильника Р составляем исходную систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контуратретье – на основании второго закона Кирхгофа для контура
где – ток. в конденсаторе и одновременно в катушке индуктивности,
(2.3.4) |
Выразим ток из второго уравнения системы, и токиз третьего уравнения исходной системы:
Теперь подставим эти токи в первое уравнение системы:
Умножив обе части данного уравнения на и сгруппировав слагаемые, получим
Подставив ток (2.3.4) в последнее уравнение, получаем НДУ второго порядка:
Приравняв правую часть НДУ, получаем ОДУ:
Тогда получим следующее характеристическое уравнение:
Данное уравнение имеет два отрицательных и вещественных корня:
с-1;
с-1.
НДУ для напряжения в случае двух отрицательных действительных корней имеет общее решение следующего вида:
(2.3.5) |
Постоянные интегрирования иопределим с помощью уравнений (2.3.4), (2.3.5) и независимых начальных условий.
Для этого подставим в соотношение (2.3.4) выражение (2.3.5):
Составим систему из выражения (2.3.4) последнего уравнения:
При имеем:
Используя независимые начальные условия, окончательно получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и
Путем подстановки из первого уравнения последней системы во второе уравнение находим постоянные интегрирования:
Итак, напряжение на конденсаторе
В.
Ток в катушке индуктивности определим путем подстановки найденного напряженияв формулу (2.3.4):
А.
Задача 2.3.7В цепи, изображенной на рис. 2.3.7.а, в моментзамыкается ключ К и подключается источник постоянного напряженияВ. Найти все токи и напряжение на конденсаторе. Даны следующие параметры цепи:Ом,Ом,мГн,мкФ.
|
|
Рис. 2.3.7.а |
рис.2.3.7.б |
Решение
1) Так как до коммутации в цепи не было источника напряжениязначит напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности равны нулю:
Используя первый и второй законы коммутации, получаем следующие независимые начальные условия:
2) Схема после коммутации приведена на рис. 4.3.7.б. Сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности
следовательно, ток
Падение напряжения от постоянного тока на индуктивном элементе также равно нулю:
Значит по первому закону Кирхгофа для узла “1” ток в катушке индуктивности равен току источника напряжения:
А.
По закону Ома напряжение на конденсаторе определяется падением напряжения от действия тока в катушке индуктивности:
В.
3) Для схемы, приведенной на рис. 2.3.7.а, в момент подключения источника напряжения к цеписоставляем исходную систему из трех уравнений: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону Кирхгофа для контуратретье – в соответствии со вторым законам Кирхгофа для контура
где
Решим эту систему уравнений относительно напряжения способом подстановки.
Из второго уравнения системы определим ток
Подставим в первое уравнение системы последний ток и ток в конденсаторе
Тогда определяем ток в катушке индуктивности через напряжение на емкости:
(2.3.6) |
Наконец, подставим (2.3.6) в третье выражение исходной системы уравнений:
Умножив правую и левую части последнего выражения на и сгруппировав слагаемые, получим НДУ второго порядка:
Приравняв правую часть данного НДУ к нулю, получим ОДУ: