ПОСОБИЕ ЧАСТ 1- цепи постоянного тока
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» в г. Северодвинске
Л.В. Балакшина, А.И. Черевко.
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Часть I
Сборник задач по курсу «Теоретические основы электротехники»
Архангельск
2011
УДК 621.372(075)
Балакшина Л.В., Черевко А.И.
Сборник задач по теоретическим основам электротехники, часть I, «Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока». В оформлении сборника задач принимал участие Горбунов А.В.
Сборник задач представлен кафедрой «Судовая электроэнергетика и электротехника» Филиала «СЕВМАШВТУЗ» ГОУ ВПО СПбГМТУ
Сборник задач подготовлен под общей редакцией д.т.н., профессора Черевко А.И.
Рецензенты:
-Потего П.И., Главный инженер ОАО «СПО «АРКТИКА»;
-Манойленко А.Н., к.т.н., профессор, зав.кафедры «Автоматика и управление в технических системах Филиала «СЕВМАШВТУЗ» СПбГМТУ.
Сборник задач по ТОЭ, ч.I , «Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока» предназначен для развития практических навыков по расчету электрических цепей у студентов электротехнических и родственных им специальностей. Может быть, полезен студентам не электротехнических специальностей, изучающим электротехнику.
Сборник задач содержит основные теоретические положения, на основании которых проводится расчет электрических цепей постоянного тока, условные обозначения элементов электрической цепи, правила присвоения знаков токам и напряжениям при расчете цепей, и составлении уравнений баланса мощностей. Здесь последовательно рассмотрены: расчет электрических цепей постоянного тока по законам Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых потенциалов, методом наложения, методом трансфигурации и методом эквивалентного генератора, приводятся задачи на построение потенциальных диаграмм.
Сборник задач отличается большим количеством разнообразных примеров по расчету цепей с источниками тока и напряжения, наряду, с задачами, предназначенными для самостоятельного решения самими студентами.
Сборник задач по ТОЭ, ч.I, рекомендован к изданию Учебнометодическим объединением в области кораблестроения и океанотехники от 20.11.2009 г., протокол № 01/02.
Печатается по решению редакционно-издательского отдела Севмашвтуза.
ISBN 978-5-23-0772-4 |
© Севмашвтуз СПбГМТУ, 2011 |
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
|
Стр. |
ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................................................................... |
5 |
|
ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. |
6 |
|
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.......................................................... |
7 |
|
1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ............................................. |
8 |
|
1.1 |
Элементы электрической цепи........................................................................ |
8 |
1.2 |
Закон Ома......................................................................................................... |
9 |
1.3 |
Законы Кирхгофа ............................................................................................. |
9 |
1.4 |
Методы расчета цепей постоянного тока....................................................... |
10 |
1.5 |
Баланс мощностей............................................................................................ |
16 |
1.6 |
Применение матриц к расчету электрических цепей..................................... |
16 |
1.7 |
Краткая характеристика методов расчета электрических цепей................... |
21 |
1.8 |
Потенциальная диаграмма............................................................................... |
22 |
2 РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА..................................... |
24 |
|
2.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного |
|
|
напряжения и тока............................................................................................ |
24 |
2.2 |
Задачи для самостоятельного решения........................................................... |
51 |
3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ |
|
|
ПОСТОЯННОГО ТОКА. МЕТОД РАСЧЕТА, ОСНОВАННЫЙ НА |
|
|
ЗАКОНАХ КИРХГОФА....................................................................................... |
55 |
|
3.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС ... |
55 |
3.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока .. |
58 |
3.3 |
Примеры расчета электрических цепей при совместной работе |
|
|
источников ЭДС и постоянного тока ............................................................. |
60 |
3.4 |
Задачи для самостоятельного решения........................................................... |
63 |
4 МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ .......................................................................... |
66 |
|
4.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС |
|
|
методом контурных токов............................................................................... |
66 |
4.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока |
|
|
методом контурных токов............................................................................... |
70 |
4.3 |
Примеры расчета электрических цепей методом контурных токов при |
|
|
совместной работе источников ЭДС и постоянного тока ............................. |
72 |
4.4 |
Задачи для самостоятельного решения........................................................... |
77 |
5 МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ................................................................ |
79 |
|
5.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС |
|
|
методом узловых потенциалов........................................................................ |
79 |
5.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока |
|
|
методом узловых потенциалов........................................................................ |
84 |
5.3 |
Примеры расчета электрических цепей методом узловых потенциалов |
|
|
при совместной работе источников ЭДС и постоянного тока ...................... |
88 |
3
5.4 |
Задачи для самостоятельного решения методом узловых потенциалов....... |
93 |
6 МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ........................................................................................ |
96 |
|
6.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС |
|
|
|
96 |
|
методом наложения.......................................................................................... |
|
6.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока |
|
|
методом наложения.......................................................................................... |
100 |
6.3 |
Примеры расчета электрических цепей при совместной работе |
|
|
источников ЭДС и постоянного тока методом наложения............................ |
103 |
6.4 |
Задачи для расчета цепей методом наложения для самостоятельного |
|
|
решения ............................................................................................................ |
107 |
7 МЕТОД ТРАНСФИГУРАЦИИ............................................................................ |
108 |
|
7.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС |
|
|
методом трансфигурации ................................................................................ |
108 |
7.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока |
|
|
методом трансфигурации ................................................................................ |
109 |
7.3 |
Примеры расчета электрических цепей при совместной работе |
|
|
источников ЭДС и постоянного тока методом трансфигурации .................. |
111 |
7.4 |
Задачи для самостоятельного расчета цепей методом трансфигурации....... |
114 |
8 МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА .................................................. |
116 |
|
8.1 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянной ЭДС |
|
|
методом эквивалентного генератора .............................................................. |
116 |
8.2 |
Примеры расчета электрических цепей с источниками постоянного тока |
|
|
методом эквивалентного генератора .............................................................. |
125 |
8.3Примеры расчета электрических цепей при совместной работе источников ЭДС и постоянного тока методом эквивалентного
|
генератора......................................................................................................... |
129 |
8.4 |
Задачи для самостоятельного решения........................................................... |
133 |
9 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА................................................................... |
135 |
|
9.1 |
Примеры построения потенциальных диаграмм............................................ |
135 |
9.2 |
Задачи для самостоятельного решения........................................................... |
141 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................ |
142 |
|
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач является переработанным и дополненным изданием сборника задач по теоретическим основам электротехники, подготовленного Ларионовой А.К. и Черевко А.И. и изданного РИО Филиала «СЕВМАШВТУЗ» СПбГМТУ в 2001 г.
В значительной мере переработанный и дополненный примерами с решениями сборник задач (часть I-я), также посвящен «Методам расчета линейных электрических цепей постоянного тока», но, в отличие от предыдущего издания, дополнен тремя новыми главами, в двух из которых рассмотрены примеры расчета цепей постоянного тока методом наложения и методом трансфигурации, а в третьей приведены примеры построения потенциальных диаграмм.
Сборник задач предназначен для студентов электротехнических и родственных им специальностей Филиала «СЕВМАШВТУЗ», изучающих теоретические основы электротехники в ходе подготовки специалистов технологического профиля. Может быть полезным для студентов неэлектротехнических специальностей, изучающих электротехнику.
Цель сборника задач с примерами состоит в оказании помощи студентам в самостоятельном изучении теоретического материала через практическое использование его при самостоятельном решении задач.
Первая глава сборника задач содержит основные теоретические положения, на основании которых проводится расчет электрических цепей постоянного тока. Здесь сформулированы Законы Ома и Кирхгофа, указаны правила присвоения знаков токам и напряжениям при расчете цепей, правила определения знаков при составлении уравнений баланса мощностей. Рассмотрен матричный подход к расчету электрических цепей постоянного тока.
Со второй по восьмую главы сборника задач последовательно рассмотрены и приведены примеры: расчетов электрических цепей постоянного тока по законам Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых потенциалов, методом наложения, методом трансфигурации и методом эквивалентного генератора. В девятой главе приведены примеры решения задач с построением потенциальных диаграмм.
Сборник задач отличается большим количеством примеров расчета электрических цепей, содержащих только источники ЭДС (от 1-го до 3-х), только источники тока (от 1-го до 3-х), а также примерами, когда в электрических цепях одновременно действует несколько источников ЭДС и несколько источников тока, что традиционно вызывает наибольшую сложность у студентов при расчетах электрических цепей. Все решения приведены с точностью до третьей значащей цифры, как того требует инженерная практика расчетов.
5
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Теоретические основы электротехники» основываются на курсах физики и математики. Знания, полученные из этих курсов, в курсе ТОЭ расширяются и развиваются в направлении разработки методов анализа, расчета и экспериментального исследования явлений и процессов, протекающих в электрических и магнитных цепях, а также в электромагнитных полях. Поэтому курс ТОЭ является базовым курсом всех специальных электротехнических дисциплин.
В свою очередь специальные электротехнические дисциплины ставят перед курсом ТОЭ задачи двух видов. Задачи первого вида относятся к расчету и исследованию цепей, а задачи второго вида – к расчету и исследованию электромагнитных полей.
Предмет курса ТОЭ – качественный, и количественный анализ явлений и процессов, происходящих в различных электротехнических устройствах.
Задачи курса ТОЭ состоят в:
–овладении навыками расчета и исследования процессов, характеризуемых интегральными величинами в виде токов, напряжений, мощностей, магнитных потоков и намагничивающих сил;
–овладении навыками расчета и исследования явлений, протекающих в электромагнитном поле, характеризуемых дифференциальными величинами в виде векторов напряженности электрического и магнитного поля, магнитной и электростатической индукции, векторов намагниченности и поляризации.
Глубокое понимание физической сущности электрических и магнитных явлений, позволяет использовать их при создании электротехнических устройств и правильно эксплуатировать эти устройства, избегая нежелательных аварийных режимов.
Однако одних пониманий физических явлений недостаточно. Студенты должны получить навыки в методах расчетов электрических цепей, что необходимо для успешного изучения специальных электротехнических дисциплин, и для решения задач, которые возникают в практической деятельности инженераэлектрика.
Умение и навыки приобретают и закрепляют в процессе самостоятельной работы, поэтому решению электротехнических задач по расчету электрических цепей необходимо уделить серьезное внимание, начиная с разбора решенных задач и переходя к самостоятельному решению сначала простых, а затем более сложных задач.
Разбор и решение примеров, помещенных в данном сборнике задач, позволяет закрепить теоретические сведения, но при этом полезно использовать задачники по ТОЭ и электротехнике и других авторов [2,5,7], из которых каждый студент по своему усмотрению или по рекомендации преподавателя может выбрать необходимые ему задачи.
6
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Е – электродвижущая сила (ЭДС) источника постоянного напряжения, (В); U – постоянное напряжение, (В);
J – ток источника постоянного тока, (А);
I – постоянный ток, (А);
R – омическое сопротивление резистора, (Ом);
G = 1/R – омическая проводимость ветви, 1/Ом или См (Сименс); n – число всех узлов схемы;
m – число всех ветвей схемы;
mит – число всех ветвей схемы, содержащих источники тока; (m – mит) – число неизвестных токов;
Rnn – собственное сопротивление n-го контура;
Rnk – взаимное сопротивление смежных контуров "n" и "k";
Gss – сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к узлу "s"; Gsq – сумма проводимостей всех ветвей, между узлом "s" и узлом "q";
ΣGm – сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы "а" и "b";
ΣEnGn – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости
"n"- х ветвей, если ЭДС направлена к узлу, то произведение EnGn берется со знаком плюс, если от узла, - то со знаком минус;
Uab = UИТ – напряжение на зажимах источника тока, (В);
PЕ = EI – активная мощность развиваемая источником ЭДС, (Вт; кВт); PJ = UabJ – активная мощность развиваемая источником тока, (Вт; кВт), Pист – суммарная активная мощность развиваемая источниками, (Вт; кВт), Pн.= UнIн = RI2н – активная мощность потребляемая нагрузкой, (Вт; кВт).
7
1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1 Элементы электрической цепи
Пассивный линейный элемент – резистор, имеющий электрическое сопротивление R.
Ток I и напряжение Uab электрического сопротивления связаны законом
Ома: |
Uab RI. |
Величина, обратная сопротивлению, есть электрическая проводимость:
G 1 .
R
Активные линейные элементы – источники электромагнитной энергии.
Идеальный источник электродвижущей силы. Напряжение Uab идеаль-
ного источника ЭДС не зависит он величины его тока I и характеризуется его электродвижущей силой E (обозначения положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 1.1.а:
Uab E,
внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю.
Реальный источник электродвижущей силы, с внутренним сопротив-
лением. Он может быть изображен в виде последовательной схемы, содержащей ЭДС E и внутреннее сопротивление R (на рис. 1.1.б показаны положительные направления E и Uab).
Идеальный источник тока. Ток J источника тока не зависит от напряжения Uab (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, напряжение источника тока бесконечно велико). Обозначения положительных направлений тока и напряжения показаны на рис. 1.1.в.
Источник тока реальный (с внутренней проводимостью G = 1/R). Он может быть изображен в виде параллельной схемы, содержащей источник тока J, численно равный току короткого замыкания источника тока, и проводимости
G (рис. 1.1.г).
Переход от схемы источника электродвижущей силы к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам:
|
|
E |
|
J |
1 . |
|
|
|
|
|
|
J = |
, E = , R |
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
G |
G |
|
|
|
|
а) |
a |
б) I |
|
в) |
a |
|
г) |
a |
|
I |
a |
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J U |
|
J |
G U |
|
|
E |
U |
ab |
U |
ab |
ab |
ab |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
|
|
8
1.2 Закон Ома
Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).
При написании закона Ома следует, прежде всего, выбрать (произвольно) некоторое положительное направление тока.
Для ветви, не содержащей источников ЭДС и состоящей только из пассивных элементов (сопротивлений):
I Iab Uab , Rab
где Uab = a – b – разность потенциалов между зажимами рассматриваемого участка, взятая по выбранному направлению тока; Rab – суммарное сопротивление участка схемы.
Для участка цепи с ЭДС закон Ома имеет вид:
|
b |
|
|
|
Uab E |
b |
|
I Iab |
a |
= (Uab + E) Gab , |
|
Rab |
|||
b |
a |
||
|
|
где E– алгебраическая сумма ЭДС, действующих на участке "ab", причем ка- a
ждая ЭДС, совпадающая по направлению с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а несовпадающая – с отрицательным.
Замечание: Если в результате расчета для тока получается отрицательная величина, то это значит, что действительное направление тока обратно произвольно выбранному направлению.
1.3 Законы Кирхгофа
Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.
Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, должна быть равна нулю:
n
Ik 0. k 3
Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к узлу – отрицательными (это позитивная логика).
Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС действующих в замкнутом контуре должна быть равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура:
n |
m |
|
Ek Ik Rk. |
||
k 1 |
k 1 |
|
Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства те ЭДС, направление которых совпадают с выбранным направлением обхода контура (независимо от направления тока, протекающего через
9
них), берутся со знаком плюс (+), а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода, – берутся со знаком минус (–). При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжений в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направление обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком минус – падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода контура.
1.4 Методы расчета цепей постоянного тока
Метод уравнений Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через m, число ветвей, содержащих источники тока, – через mит и число узлов – через n. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется: m – mит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:
а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;
б) выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.
С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления их обхода выбирать одинаковыми, например, все по часовой стрелке.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют n –1 уравнение. По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, для контуров не содержащих источников тока (m – mит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, то есть:
(m – mит) – (n – 1) = m – mит – n + 1.
При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Такие контуры называются независимыми.
Метод контурных токов. При расчете электрической цепи методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный (расчетный) ток. Уравнения составляют относительно контурных токов. После определения контурных токов на основании метода наложения находят реальные в ветвях схемы.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу независимых контуров, для которых составить уравнения по второму закону Кирхгофа.
При использовании этого метода выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток, а ветви с источниками тока должны входить в выбранные независимые контура
10