- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
С-1; с-1.
Так как характеристическое уравнение имеет два отрицательных корня, то общее решение составленного выше НДУ имеет вид:
(2.4.13) |
Постоянные интегрирования и рассчитаем с помощью начальных условий. При общее решение (2.413) приобретает вид:
По первому закону коммутации ток в катушке индуктивности Тогда получаем первое уравнение для определения двух неизвестных постоянных интегрирований:
(2.4.14) |
Для составления второго уравнения сначала найдем производную по от выражения (2.4.13):
При получаем:
(2.4.15) |
Найдем начальное значение производной от тока в катушке с индуктивностью –
Для этого подставим время в исходную систему уравнений (2.4.11):
Так как и то последняя система уравнений приобретает более простой вид:
Из второго уравнения последней системы уравнений выразим производную и подставим в первое уравнение этой же системы:
Отсюда следует, что
Тогда уравнение (2.4.15) принимает вид:
Теперь составляем систему из последнего уравнения и выражения (2.4.14):
Совместное решение этой системы дает результаты:
А;
А.
Подставив все известные величины в выражение (2.4.13) окончательно получаем ток в нагрузке:
А.
2.5 Примеры расчета переходных процессов в цепях третьего порядка
Задача 2.5.1 В момент цепь, приведенная на рис. 2.5.1.а, подключается к источнику постоянной ЭДС В посредством замыкания ключа К. Найти закон изменения тока в катушке индуктивности и представить его графически. Известны следующие параметры цепи: Ом, Ом, Ом, мГн, мкФ.
|
|
Рис. 2.5.1.а |
Рис.2.5.1.б |
Решение
Зададим положительные направления токов в ветвях и напряжений на двух конденсаторах как показано на рис. 2.5.1.б. Здесь эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных резисторов и
Ом.
1) В схеме до коммутации не было источника энергии, поэтому на основании законов коммутации сразу же получаем независимые начальные условия:
|
2) Схема в принужденном режиме изображена на рис. 2.5.1.в. Постоянный ток в заряженных конденсаторах отсутствует, т.е. Также напряжение на индуктивном элементе Тогда эквивалентное входное сопротивление цепи Ом. Следовательно, входной ток – в катушке |
Рис. 2.5.1.в |
индуктивности по закону Ома определиться как:
А.
3) Определение характеристического уравнения. В момент (ключ К – замкнут) для схемы, изображенной на рис. 2.5.1.б, составляем исходную систему из пяти уравнений:
(2.5.1) | |
(2.5.2) | |
(2.5.3) | |
(2.5.4) | |
(2.5.5) |
где и – токи в конденсаторах,
(2.5.6) | |
(2.5.7) |
Характеристического уравнение легче найти из ОДУ, записанного для напряжения или , чем для искомого тока При этом полученное характеристическое будет справедливо и для тока в катушке индуктивности , так как цепь охвачена единым переходном процессом, а значит и корни характеристического уравнения для всех токов и напряжений будут одинаковыми. Поэтому из этой системы найдем ОДУ, разрешенное, например, относительно напряжения на конденсаторе . Для этого из (2.5.2) выразим ток
. |
(2.5.8) |
Из уравнений (2.5.3) и (2.5.4) найдем напряжения на конденсаторах:
(2.5.9) | |
(2.5.10) |
В уравнение (2.5.8) подставим токи (2.5.6) и (2.5.9):
(2.5.11) |
Подставим (2.5.11) в соотношение (2.5.5):
После дифференцирования получаем:
откуда находим напряжение
(2.5.12) |
Подставим (2.5.12) в формулу (2.5.7):
после дифференцирования имеем:
(1.5.13) |
Подставим (2.5.12) в соотношение (2.5.9):
(2.5.14) |
Наконец, сделаем подстановку выражений (2.5.11), (2.5.13) и (2.5.14) в уравнение (2.5.1):
Избавимся от и стоящих в знаменателе последнего выражения путем умножения левой и правой части на множитель Далее раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в результате получим следующее НДУ третьего порядка:
Приравняв правую часть к нулю (т.е. когда ), получаем ОДУ третьего порядка:
Отсюда составляем характеристическое уравнение:
Т.е. получаем кубическое уравнение следующего вида:
(2.5.15) |
где
4) Определение корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение имеет третий порядок, поэтому для нахождения его корней воспользуемся теоремой Кардано.
Приведем уравнение (2.5.15) к неполному кубическому:
(2.5.16) |
где и – коэффициенты, определяемые по следующим формулам:
Определим дискриминант уравнения (2.5.16):
Так как дискриминант больше нуля, то в соответствии с теоремой Кардано кубические уравнения (2.5.15) и (2.5.16) будет иметь один действительный отрицательный и два комплексно – сопряженных корня. При этом корни неполного кубического уравнения (2.5.16) – и определяются по следующим соотношениям:
Здесь
Тогда корни полного кубического уравнения (2.5.15) – и определяются через найденные ранее корни и следующим образом: