1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов

Для линейной цепи ток каждой ветви и напряжение можно найти как решение составленного для этой ветви дифференциального уравнения, полученного из системы уравнений по законам Кирхгофа:

(1.2.1)

Заменим неизвестную величину и ее производные переменными:

При такой замене уравнение (1.2.1) будет сводиться к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

	(1.2.2)

Переменными состояния являются переменная и ее производные.

На переходной процесс в любой электрической цепи влияют параметры цепи, параметры источников энергии и независимые начальные условия (токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах коммутации). Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно здесь выбирать токи в катушках и напряжения на конденсаторах. За входные величины примем источники электрической энергииза выходные – искомые величины.

Запишем дифференциальное уравнение состояния в матричной форме:

(1.2.3)

или

(1.2.4)

где – матрица – столбец переменных состояния размером– матрица – столбец электродвижущих сил и токов источников размером– основная квадратная матрица порядка– матрица связи размераЭлементы указанных матриц определяются структурой и параметрами цепи.

Уравнения (1.2.3) и (1.2.4) в матричной форме можно составить с применением метода наложения по законам Кирхгофа и других методов. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т.е. и переменными состоянияиа также ЭДС и токами источников, будем полагать, что переменные состояния заданы.

2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью

Задача 2.1.1Цепь, представленная на рис. 2.1.1.а, содержит последовательно соединенные резистор с сопротивлениемОм и катушку с индуктивностьюГн, при замыкании ключа К в моментвключается на постоянное напряжениеВ. С какой скоростью нарастает ток в начальный момент времени? Определить через какой промежуток времени ток станет равным 99% тока установившегося режима. Найти закон изменения ЭДС самоиндукции, наводимой при включении, и вычислить, через какой промежуток времени после включения скорость нарастания энергии в магнитном полебудет максимальна.

	Решение 1) До коммутации ключ К в цепи, изображенной на рис. 2.1.1.а, разомкнут, поэтому ток в катушке индуктивности 2) Рассчитаем ток в катушке после коммутации .Схема в этом режиме представлена на рис. 2.1.1.а. Так как в установившемся режиме в цепи протекает постоянный ток, то падение напряжение на катушке индуктивностии поэтому в соответствии с законом Ома ток в индуктивности А. 3) Для расчета переходного процесса в схеме, представленной на рис. 2.1.1.а, в момент коммутации при замыкании рубильника К составим на основании второго закона Кирхгофа составляем уравнение: которое является НДУ первого порядка. Из последнего уравнения определим ОДУ: и характеристическое уравнение
Рис. 2.1.1.а
Рис. 2.1.1.б

Корень последнего уравнения

с^-1

единственный, отрицательный и действительный.

Общее решение составленного НДУ при одном отрицательном корне имеет вид:

Постоянную интегрирования определим из начальных условий: для этого запишем последнее уравнение при

Так как в соответствии с первым законом коммутации ток в катушке индуктивности не может изменяться скачком и должен быть равен току прит.е.

Тогда

Окончательное решение для тока в катушке

А.

4) Производная тока в катушке

Скорость нарастания тока в катушке в начальный момент времени

А/с.

5) Промежуток времени, через который ток станет равным 99% тока установившегося режима определим следующим образом:

или

мс.

6) Определим закон изменения ЭДС самоиндукции, наводимой в катушке индуктиности при замыкании ключа К:

В.

7) Найдем промежуток времени после включения , через которой скорость нарастания энергии в магнитном полебудет максимальна. Для этого сначала вычислим выражение для энергии в магнитном поле катушки индуктивности:

Дж.

Скорость нарастания энергии

Найдем максимум последней функции:

откуда

мс.

Задача 2.1.2 На рис. 2.1.2.а изображена простейшаяцепь. Сопротивление катушкиОм, ее индуктивностьГн. До коммутации в цепи был установившейся режим и через катушку проходил ток 20 А. В моментона замыкается накоротко путем отключения ключа К₁и включения ключа К₂. Определить скорость убывания тока в катушке в начальный момент времени и в момент, когда ток равен 10 А.

Рис. 2.1.2.а	Рис. 2.1.2.б

Решение

1) Схема до коммутации приведена на рис. 2.1.2.б. Согласно условию задачи ток в катушке до коммутации

А.

	2) Вычерчиваем цепь для установившегося режима. Схема для изображена на рис. 2.1.2.в. Так как в данной цепи нет источника вынуждающей силы – ЭДС, значит ток в катушке 3) Для расчета переходного процесса в момент коммутации при срабатывании ключей К1и К2для цепи, изображенной на рис. 4.1.2.а записываем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Рис. 2.1.2.в

Данное уравнение является НДУ первого порядка, которое в силу равенства нулю правой части совпадает с ОДУ

Характеристическое уравнение