ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Министерство образования и науки Российской Федерации

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» в г. Северодвинске

Л.В. Балакшина, А.И. Черевко

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Часть II

Сборник задач по курсу «Теоретические основы электротехники»

Архангельск

2011

УДК 621.372(075) Балакшина Л.В., Черевко А.И.

Сборник задач по теоретическим основам электротехники, часть 2, «Методы расчета линейных электрических цепей переменного тока». В оформлении сборника задач принимал участие Горбунов А.В.

Сборник задач представлен кафедрой «Судовая электроэнергетика и электротехника» Филиала «СЕВМАШВТУЗ» ГОУ ВПО СПбГМТУ

Сборник задач подготовлен под общей редакцией д.т.н., профессора Черевко А.И.

Рецензенты:

-Потего П.И., Главный инженер ОАО «СПО «АРКТИКА»;

-Манойленко А.Н., к.т.н., профессор, зав.кафедры «Автоматика и управление в технических системах Филиала «СЕВМАШВТУЗ» СПбГМТУ.

Сборник задач по ТОЭ, ч.2 , «Методы расчета линейных электрических цепей переменного тока» предназначен для развития практических навыков по расчету электрических цепей у студентов электротехнических и родственных им специальностей. Может быть, полезен студентам не электротехнических специальностей, изучающим электротехнику.

Сборник задач содержит основные теоретические положения, на основании которых проводится расчет электрических цепей переменного тока, условные обозначения элементов электрической цепи, правила присвоения знаков переменным токам и напряжениям при расчете цепей, и составлении уравнений баланса мощностей. Здесь последовательно рассмотрены: расчет простых и сложных цепей переменного тока символическим методом, расчеты цепей при резонансе токов и напряжений, расчеты цепей со взаимоиндуктивными связями. Практически все задачи содержат примеры построения векторных диаграмм, а правильность расчета токов оценивается на основании составления уравнений баланса мощностей.

Сборник задач отличается большим количеством разнообразных примеров по расчету цепей с источниками тока и напряжения, наряду, с задачами, предназначенными для самостоятельного решения самими студентами.

Сборник задач по ТОЭ, ч.2, рекомендован к изданию Учебнометодическим объединением вузов РФ по образованию в области кораблестроения и океанотехники от 12.12. 2009 г., протокол № 01/01.

Печатается по решению редакционно-издательского отдела Севмашвтуза

ISBN 978-5-7723-0758-8

© Севмашвтуз СПбГМТУ, 2011

2

ВВЕДЕНИЕ

Сборник задач по ТОЭ, часть II, посвящен «Методам расчета линейных электрических цепей переменного тока». Он предназначен для студентов электротехнических и родственных им специальностей Филиала «СЕВМАШВТУЗ» СПбГМТУ, изучающих ТОЭ в ходе подготовки специалистов технологического профиля. Может быть полезным для студентов неэлектротехнических специальностей, изучающих электротехнику.

Цель сборника задач состоит в оказании студентам помощи в самостоятельном изучении теоретического материала через практическое использование теории при самостоятельном решении задач.

В сборнике приведены основные теоретические положения, на основании которых проводится расчет электрических цепей переменного тока. Здесь даны законы Ома и Кирхгофа в символической форме, указаны правила присвоения знаков токам и напряжениям при расчете цепей, правила определения знаков при составлении уравнений баланса мощностей. Рассмотрен порядок построения треугольников токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей и мощностей, порядок построения векторных и топографических диаграмм в комплексной плоскости, условия резонанса напряжений и токов, а также правила знаков для определения взаимоиндуктивных падений напряжений в магнитосвязанных катушках индуктивности. Практически во всех задачах правильность расчета токов проверяется на основании составления уравнений баланса мощностей.

Сборник задач отличается большим количеством примеров расчета электрических цепей, содержащих только источники ЭДС (от 1-го до 2-х), только источники тока (от 1-го до 2-х), а также примерами, когда в цепях одновременно действует источники ЭДС и источники тока, что традиционно вызывает наибольшую сложность у студентов. Все решения приведены с точностью до третьей значащей цифры, как того требует инженерная практика расчетов.

Сборник задач составлен таким образом, чтобы студенты могли на примерах изучить особенности расчета цепей переменного тока, приобрести первичные навыки в решении задач и использовать их при самостоятельном решении типовых задачи с целью закрепления теоретического материала и осмысления электромагнитных процессов в электрических цепях, что необходимо для успешного изучения специальных электротехнических дисциплин, и применения полученные знания в практической деятельности инженера-электрика.

Разбор и решение примеров, помещенных в данном сборнике задач, позволяет осознать характер электромагнитных процессов и закрепить теоретические сведения, но при этом полезно использовать задачники по ТОЭ и электротехнике и других авторов [2, 5, 7], из которых каждый студент по своему усмотрению или по рекомендации преподавателя может выбрать необходимые ему задачи.

3

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

е(t) – мгновенное значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В; Е – действующее значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В; Em – амплитудное значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В; Eср – среднее значение переменной электродвижущей силы (ЭДС), В;

E , Em– комплексное изображение переменной синусоидальной электродвижущей силы (ЭДС), В;

u(t) – мгновенное значение переменного напряжения, В; U – действующее значение переменного напряжения, В; Um – амплитудное значение переменного напряжения, В; Uср – среднее значение переменного напряжения, В;

U, Um – комплексное изображение переменного синусоидального напряжения, В;

i(t) – мгновенное значение переменного тока, А; I – действующее значение переменного тока, А; Im – амплитудное значение переменного тока, А; Iср – среднее значение переменного тока, А;

I, Im – комплексное изображение переменного синусоидального тока, А;

I, Im – сопряженный комплекс тока, А;

j(t) – мгновенное значение переменного тока источника тока, А; J – действующее значение переменного тока источника тока, А;

J – комплексное изображение переменного синусоидального тока источника тока, А; ψ – начальная фаза (начальный фазовый сдвиг);

φ – угол сдвига по фазе;

j 1 – мнимая единица;

Re – значение действительной части комплексного числа; Im – значение мнимой части комплексного числа;

WM(t) – мгновенное значение энергии магнитного поля, Дж; WM – значение энергии магнитного поля, Дж;

WЭ(t) – мгновенное значение энергии электрического поля, Дж; WЭ – значение энергии электрического поля, Дж;

p(t) – мгновенная мощность, Вт; Р – активная мощность, Вт;

Q – реактивная мощность, ВАр; S – полная мощность, ВА;

S – комплексное изображение полной мощности, ВА; cos – коэффициент мощности;

T – период переменного тока, с; f – частота переменного тока, Гц;

4

– угловая частота переменного тока, рад/с; R – омическое сопротивление резистора, Ом;

G = 1/R – омическая проводимость ветви, 1/Ом или См (Сименс); L – индуктивность катушки, Гн;

М – взаимная индуктивность катушки, Гн; XL – индуктивное сопротивление катушки, Ом; XМ – взаимоиндуктивное сопротивление, Ом; К – коэффициент магнитной связи; С – емкость конденсатора, Ф;

XC – емкостное сопротивление конденсатора, Ом; Z – модуль полного сопротивления, Ом;

Z– полное комплексное сопротивление, Ом;

Х– реактивное сопротивление, Ом;

Y – модуль полной проводимости, См (Сименс);

Y– полная комплексная проводимости, См (Сименс);

В– реактивная проводимость, См;

ψ – потокосцепление, Вб; Ф – магнитный поток, Вб; n – число всех узлов схемы; m – число всех ветвей схемы;

mит – число всех ветвей схемы, содержащих источники тока; (m – mит) – число неизвестных токов;

f0 – резонансная частота переменного тока, Гц;

2Δf0 – абсолютное значение полосы пропускания частоты, Гц; 2Δf0 / f0 – относительное значение полосы пропускания частоты;0 – резонансная угловая частота переменного тока, рад/с;

2Δ 0 – абсолютное значение полосы пропускания угловой частоты, рад/с; 2Δ 0 / 0 – относительное значение полосы пропускания угловой частоты; Q' – добротность контура;

d– коэффициент затухания;

– волновое сопротивление, Ом;

γ – волновая проводимость, См; ВД – векторная диаграмма;

ТВД – топографическая векторная диаграмма; ВТ – воздушный трансформатор.

5

1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Основные понятия и определения переменного тока

Мгновенное значение величины a(t), синусоидально изменяющейся с течением времени определяется выражением:

a(t) = Am sin ( t + ),

где Am – максимальное значение, или амплитуда; ( t + ) – текущее значение фазы (фазового угла); – начальная фаза (начальный фазовый угол); – угловая частота; t – время.

Период Т, угловая частота и циклическая частота f связаны соотношениями:

		f ;		f .
Действующие значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напря-
жения и тока:
E = Em /		= 0,707Em,	U = Um /			,	I = Im /		.
	2				2			2
Средние значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и
тока за положительную полуволну (полупериод):
Еср = 2 m/ = 0,637Еm,			Uср = 2Um/ ,				Iср = 2Im/ .

Среднее значение синусоидально изменяющейся величины а(t) = Am sin( t + ) за целый период Т = 2π равно нулю.

Изображение синусоидальной функции вращающимся вектором.

Проекция вектора Am вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью (рис. 1.1) на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону: a(t) = Am sin ( t , а на горизонтальную ось по косинусоидальному закону: a(t) = Am cos ( t + ).

Рис. 1.1

Символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется символическим методом. Сущность символического метода состоит в том, чтобы, ис-

6

Be j В2.

пользуя комплексные числа, перейти от составления и решения интегродифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений к составлению и решению алгебраических уравнений для функций оператора комплексной плоскости.

Изображение синусоидальной функции комплексным числом.

В ТОЭ используются следующие формы записи комплексного числа:

.

алгебраическая: Am Am jAm;

.

показательная: Am Amej ;

.

тригонометрическая: Am Amcos jAmsin .

.

Здесь

Am Am cos Re[Am]

– действительная часть комплексного

числа

.

.

–

мнимая часть

комплексного

числа;

Am;

Am

Amsin Im[Am]

2

2

Am

Am

Am

– модуль

комплексного числа;

arctg

Am

– аргумент

Am

ej /2

комплексного числа;

j

1

– мнимая единица или оператор поворота

вектора на угол = 90° (умножение на j приводит к повороту нового вектора против часовой стрелки на угол 90°, а умножение на –j = e–j – к повороту нового вектора на угол 90° по часовой стрелке).

Изображение комплексного числа в системе координат (+1; + j) приведено на рис. 1.1.

Действия над комплексными числами.

а) С использованием алгебраической формы записи комплексного числа:

.

.

.

сложение: A B (a1+ jb1) + (a2 + jb2) = (a1 + a2) + j (b1+ b2) =C;

. .

.

умножение: A B = (a1+ jb1) (a2 + jb2) = (a1a2 – b1b2) + j (a1b2 + a2b1) =D;

. .

A AB

деление: . .

B BB

		(a1 jb1) (a2 jb2)		a1a2 b1b2		a2b1	a1b2	.
					+ j			F,
		(a1 jb2) (a2 jb2)		a22 b22		a22	b22

.

где число B – комплексно-сопряженное числу B (отличаются знаком мнимой

части). Произведение комплексно-сопряженных чисел – действительное число,

.

равное квадрату их модуля: B B Be j

б) С использованием показательной формы записи комплексного числа удобнее производить операции умножения, деления, возведения в степень и извлечение квадратного корня:

. .

умножение: A B = Aej a Bej b = ABej( a + b);

7

.

деление: A. Aej a / Bej b A ej( a – b);

B

B

.

возведение в степень: (A)n = (Aej a)n= An ej a n= An cos a n + jAn sin a n;

.

извлечение квадратного корня: A = A ej a = A ej a/2.

Различные формы записи комплексного числа объединяются между со-

бой при помощи формулы Эйлера:

e+ j = cos + jsin .

Мгновенное значение синусоидальной функции есть проекция вектора вращающегося в комплексной плоскости на ось мнимых чисел. Тот факт, что вектор (комплекс) вращается, подчеркивают умножением вектора на ej t:

.

a(t) = Im Amej t Im Amej( t

= Im Amcos( t + φ) + jAmsin( t + φ) = Amsin( t +

Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла.

В общем виде мгновенное значение синусоидальной функции, ее производной и интеграла можно представить как:

Временная и

Производная функ-

комплексная за-

Функция

Интеграл от функции

писи

ции

Запись в функции

da

t

Am

adt =

cos( t+ )

времени

a(t)=Amsin( t+ )

Amcos( t+ )

dt

0

Комплексная

Amej( t+ )

Amej( t + + / 2)

1

Amej( t +

–

/2)

функция времени

.

.

1 .

Комплексная ам-

плитуда

Am Ame

j

j Am

Am

j

Комплексное

.

.

1 .

действующее

A Ae

j

j A

A

j

значение

Если

i(t) Im[Im ej t] Im[Im ej t ej ] Im[Im ej( t )]

Im[Im cos t jIm sin t ] Im sin t , то

соответствие

между

мгновенными и комплексными падениями напряжений на активном сопротивлении, индуктивности и емкости можно выразить следующим образом:

Мгновенные	Комплексные
uR(t) i(t)R RImsin t ;	.	.
	URm RIm;

8

uL(t) L			di(t)	LIm cos t ;
			dt
	1 t				1	Imcos t ;
uC(t)		i(t)dt =
	C				C
0

. .

ULm j LIm;

.	1 .
UCm		Im.
	C

Элементы электрической цепи переменного тока: пассивные и активные.

В табл. 1.1 приведены пассивные элементы, их изображения и обозначения, формы записи сопротивления и проводимости.

Таблица 1.1

			Сопро-	Запись	Прово-			Запись
				сопро-
Наименование	Свойст-	Изображение	тивление	тивления	димость			проводи-
элемента	ва эле-	и буквенное	при си-	в ком-	при си-			мости в
	мента	обозначение	нусоид.	плексной	нусоид.			комплекс-
			токе	форме	токе			ной форме
	Эл. со-
Резистор	против-		R	R	G = 1/R			G = 1/R
	ление
	Индук-				1
Индуктивная	тив-							YL=1/ZL=
катушка	ность		XL= L	ZL= j L	BL=			= – jBL
						L

Конденсатор Емкость		ZC			YC=1/ZC=
	XC=1/ C		1	BC = C
		j			= jBC
			C

Активные элементы цепи переменного тока и их схемы, и условные обозначения.

Мгновенные	Комплексные
1 Источник ЭДС: e(t)	1 Источник ЭДС: Em или E
1.1 Идеальный:	1.1 Идеальный:

1.2 Реальный:

1.2 Реальный:

2 Источник тока: j(t)	2 Источник тока: Jm или J
2.1 Идеальный:	2.1 Идеальный:

9

2.2 Реальный:

2.2 Реальный:

1.2 Законы Ома и Кирхгофа для цепей переменного тока

Закон Ома: Комплекс действующего значения тока прямо пропорционален комплексному падению напряжения и обратно пропорционален сопротивлению участка цепи:

	.	U.
Рис. 1.2	I		,
		Z

где Z – комплексное сопротивление участка цепи.

Например, для цепи, изображенной на рис. 1.2, Z = R + j(XL – XC) и закон

. E.

Ома имеет вид: I (где, считаем источник ЭДС идеальным). Z

Первый закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных токов соответственно:

n	n .
ik(t) 0;	Ik 0.
k=1	k=1

Второй закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных токов, напряжений и ЭДС соответственно:

	n	n						n .	n .
	ek(t) Rkik(t) uLk(t) uCk(t) ;							Ek Ik Zk,
	k=1	k=1						k=1	k=1
	где	uLk(t) Lk	dik(t)	;	uCk(t)	1	ik(t)dt;	Zk Rk j XLk XCk ;
			dt
				.		Ck
	ik(t) Imk sin t k ;
				Ik Ike j k.

Последовательное и параллельное соединение комплексных сопротивлений и проводимостей.

На рис. 1.3 и 1.4 изображены соответственно последовательная и параллельная электрические цепи:

10