- •Рязань 2012
- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы Глава 6 Основы интерполяции.
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7.4.1. Непосредственное интегрирование
- •7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7.4.3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения определенного интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1) Метод вариации произвольной постоянной
- •2) Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •10.2. Метод Рунге – Кутта
- •10.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •11.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочные характеристики
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •1.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 150
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 168
11.4. Варианты заданий
№11.1. Решить с помощью методов Эйлера, уточненного метода Эйлера, Рунге-Кутта и аналитически следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях, на заданном отрезке с шагом 0,2. Сравнить полученные результаты.
№ варианта |
Уравнение
|
Начальные условия (x0, y0) |
Отрезок [x0, xк] |
1 |
|
x0= –1, y0= 0 |
[–1, 1] |
2 |
|
x0= 0, y0= 2 |
[0, 2] |
3 |
|
x0= 1, y0= 0 |
[1, 3] |
4 |
|
x0= 0, y0= 2 |
[0, 2] |
5 |
|
x0= 0, y0= 2 |
[0, 2] |
6 |
|
x0= 1, y0= 1 |
[1, 3] |
7 |
|
x0= 1, y0= 1 |
[1, 3] |
8 |
|
x0= 1,y0= 2 |
[1, 3] |
9 |
|
x0= 0, y0= 2 |
[0, 2] |
10 |
|
x0= 2, y0= 0 |
[2, 4] |
11 |
|
x0= 0, y0= 3 |
[0, 2] |
12 |
|
x0= –3, y0= –2 |
[–3, –1] |
13 |
|
x0= –2, y0= 1 |
[–2, 0] |
14 |
|
x0= –3, y0= 5 |
[–3, –1] |
15 |
|
X0= - 4,Y0= 4 |
[-4,-2] |
16 |
|
X0= 2,Y0= 2 |
[2,- 4] |
17 |
|
X0= 3,Y0= 0 |
[3,5] |
18 |
|
X0= 0,Y0= -2 |
[0,2] |
19 |
|
X0= -3,Y0= 1 |
[-3,-1] |
20 |
|
X0= 2,Y0= 9 |
[2,4] |
21 |
|
X0= -2,Y0= -0.4 |
[-2,0] |
22 |
|
X0= - 4,Y0= -2 |
[-4,-2] |
23 |
|
X0= 0,Y0= 2 |
[0,2] |
24 |
|
X0= 1,Y0= 1 |
[1,3] |
11.4. Контрольные вопросы
1. Когда применяются численные методы решения дифференциальных уравнений?
2. Перечислите известные вам численные методы решения дифференциальных уравнений.
3. В чем заключается суть метода Эйлера?
4. В чем смысл уточненного метода Эйлера?
5. В чем смысл метода Рунге-Кутта?
6. Как рассчитать погрешность вычислений в приближенных методах?
Глава 12. Элементы теории вероятностей
12.1. Случайное событие
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Теория вероятности изучает случайные события и случайные величины.
Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания.
Испытание (опыт, эксперимент) – в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание может проводиться человеком, но может осуществляться и независимо от человека. Человек в этом случае выступает в роли наблюдателя.
Событие обозначаются начальными прописными (заглавными) буквами латинского алфавита A, В, С.
1. Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания обязательно должно произойти.
2. Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания вообще не может произойти.
События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события – совместные.
Противоположные события: два события A и называются противоположными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого. (читается "не А").