- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный медицинский университет
имени академика И.П.Павлова
Федерального агентства по здравоохранению
и социальному развитию»
Кафедра математики и информатики
Практикум
Рязань
2009
УДК 517.2/.3 + 519.2 (075.8)
ББК 22.161.1+22.17
М 34
Авторы – составители: М.П. Булаев, М.Н. Дмитриева, Н.В. Дорошина, И.С. Маркова, О.А. Назарова, Е.В. Прохорова
Рецензенты: С.П. Вихров, д.ф.-м.н., профессор Рязанского
государственного радиотехнического
университета;
А.Н. Пылькин, д.т.н., профессор Рязанского государственного радиотехнического университета;
М
М34
Предназначен для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей и математической статистики. Практикум рассчитан на студентов специальностей 060101, 060104, 060105, 060108, 030302 дневной, вечерней и заочной форм образования.
Он также может быть полезен студентам других гуманитарных специальностей.
УДК 517.2/.3+519.2 (075.8)
ББК 22.161.1+22.17
Табл.: 60 Ил.: 38 Библиогр.: 10 назв.
Печатается по решению Учебно-методического Совета Рязанского государственного медицинского университета.
ГОУ ВПО «РязГМУРосздрава», 2009
Введение
Математика является сегодня системообразующей дисциплиной в ГОС любой специальности. Это в равной степени относится к медицинским специальностям: лечебное дело, медико-профилактическое дело, стоматология, фармация и клиническая психология.
Изучение математики в названных специальностях связано со следующими разделами: теория функции, производная и дифференциал, численное дифференцирование, интерполяция, основы интегрального исчисления, дифференциальные уравнения, элементы теории вероятностей, случайные величины, основы математической статистики, корреляционный анализ, регрессионный анализ и т.д. Все эти разделы представлены в настоящем практикуме с коротким резюме лекционного материала, детальным рассмотрением типовых задач, контрольными вопросами и подбором достаточного числа вариантов задач для самостоятельного решения. Рассмотренные задачи определяют степень сложности контрольных работ, которые содержатся в учебных планах каждой специальности.
Конечно, обучить студентов перечисленным разделам математики на ее современном уровне невозможно – слишком глубоки и обширны математические дисциплины. Тем не менее, изучение основ математики дает надежду на то, что обучаемые смогут в дальнейшем углубить свои математические знания при изучении предусмотренных учебными планами специальных дисциплин или самостоятельно.
Знание математики, освоение ее основных методов и моделей – признак образованного человека, приобщенного к культуре мировой цивилизации.
"Природа – открытая книга. Но только тот может прочесть эту книгу, кто изучит язык, на котором она написана. А написана она на языке математики". Эти мудрые слова принадлежат Галилею. Но на то они и мудрые, что не теряют своей значимости.
Глава 1. Предел функции
1.1. Определение предела
Рис. 1.1
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x – a < верно неравенство f(x) – A< (рис. 1.1).
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а – < x < a + , x a, то верно неравенство А – < f(x) < A + .
Запись предела функции в точке: .
Если f(x) A1 при х а только при x < a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (рис. 1.2).
П
Рис. 1.2
Пределы А1 и А2 называются также односторонними
пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
1.2. Операции над пределами
-
Предел постоянной есть сама постоянная: , где С = const.
Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха;
-
Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:
;
-
Предел произведения равен произведению пределов:
;
-
Постоянную можно выносить за знак предела:
;
-
Предел отношения равен отношению пределов:
, при ;
-
Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0;
-
Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и , то и ;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;
-
Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.