Физика часть1

X t ,n				,	(13)
			x

где t ,n - коэффициент, зависящий от величины доверительный вероятности и от объема выборки n. При n 30 t ,n находится по

таблице Стьюдента, при n> 30 он очень мало отличается от таблицы нормального распределения и в этом случае t ,n может быть

найден по той же таблице при n= ∞.

Если взять величину абсолютной погрешности 3 x , то вероятность того, что доверительный интервал X 3 x ; X 3 x содержит Х0 будет равна = 0,997. Это очень большая вероятность и поэтому говорят, что с практической уверенностью можно утверждать, что отклонение Х от Х0 больше чем на 3 х не-

возможно. Это правило известно под названием “правила трех сигм”.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью х для оценки

случайной погрешности пользуются и среднеарифметической погрешностью r, вычисленной по формуле:

		1	n
	r			xi	.	(14)
		n i 1

Все приведенные выше результаты теории случайных погрешностей применимы для характеристики точности измерения лишь в случае, если измерение многократно повторено.

Последовательность действий при оценке истинного значения измеряемой величины и оценки случайной погрешности следующая:

1.находится среднее арифметическое по результатам измерений:

			1	n
	X			xi	,	(15)
			n i 1

2.находится среднеквадратическая погрешность отдельного результата измерения:

x 1 xi x 2 , (16)

n

n 1 i 1

13

3.находится максимальная абсолютная погрешность отдельного измерения:

X M 3 x ,

(17)

4.проверяется, все ли результаты измерений укладываются в интервал Х 3 x , если да, то переходим к следующему пункту, если нет, то такое значение отбрасыватся (тем самым мы избавляемся от промахов) и вычисления следует начать сначала.

5.находится среднеквадратическая погрешность среднего арифметического:

х (18)

х n

6.находится из таблицы коэффициент t ,n по заданным и п

иопределяется оценка абсолютной погрешности:

Х			t ,n		(19)
				x

7.записывается результат измерения:

X 0 X X				(20)

при заданном . Это означает, что с заданной доверительной вероятностью доверительный интервал X X накрывает X 0 , т.е. X X X 0 X X .

8.если необходимо, то находится относительная погрешность, при этом, поскольку Х0 неизвестно, приближенно его заменяют на Х :

X

X

.

(21)

X 0

x

X

Методика оценки случайных погрешностей косвенных измерений

Чаще всего интересующая нас величина Х непосредственно не измеряется. Вместо этого измеряются некоторые величины u, ,ω,..., а затем вычисляется искомая величина Х, которая

14

является функцией указанных непосредственно измеренных величин:

		X f (U ,,ω,...)			(22)
Для каждой из величин u, ,ω,...мы находим, как было
указано	выше,	наиболее	вероятное	значение,	т.е.

среднеарифметическое из измеренных значений u, , ...; и оцениваем их погрешности – либо вычисляем их среднеквадратичные погрешности u ; ; ... для случая

многократных изменений, либо находим максимальные погрешности UM , VM , WM ..., в случае отсутствия разброса в значениях u, ,ω... при многократных измерениях.

Т.к. каждая из величин u, ,ω... - случайна, случайной будет и величина Х – как функция случайных аргументов. Тогда, очевидно, наиболее близким к истинному значению Х0 искомой величины будет значение функции:

	X f (U ; ; ...).								(23)
Погрешность результата косвенных									измерений зависит от

погрешностей прямых измерений каждой из величин, входящих в эту формулу.

Для расчета абсолютной погрешности косвенного измерения при заданной доверительной вероятности следует использовать выражение (даем без вывода):

2

2

2

X

f / U

f / f / ...

(24)

u

где U , V , W ... - погрешности прямых измерений при заданной

доверительной вероятности

(одинаковой

для U , V , W ...),

f

/ , f / , f /

- частные производные функции

X f ( u; ; ...) по

u

переменным u, ,ω... соответственно. Напомним, что частная производная функции нескольких переменных f ( u, ,ω,...) по

одной из них, например, по	u, является обычной производной
функции f по u, только	при этом другие переменные

,ω... считаются постоянными параметрами. Все производные в

формуле (24) вычисляются при значении u U ;V V ; W ...

15

Для нахождения максимальной абсолютной погрешности используют формулу:

X M f

/ U

M

f /

V

f / W ...

(25)

u

M

M

Окончательный результат измерений и вычислений

записывается в виде X 0

X X

при заданной доверительной вероятности :

или X X X M ,

где

X M

-

максимальная

абсолютная

погрешность.

При этом обязательно указывать название характеризующей

результат меры точности X

или

X M ).

Если необходимо,

указывается и значение относительной погрешности

X

или

X M

(26)

X

X

X M

X

Порядок обработки результатов косвенных измерений следующий:

1.находятся средние арифметические U ,V ,W ... и абсолютные погрешности U , V , W ... по заданной доверительной вероятности и объему выборки для каждой величины по

методике, оценке случайной погрешности прямых измерений приведенной в 4. При этом вероятность должна быть одинаковой для всех u, ,ω..., а объем выборки может быть для них различным.

2.находится среднее значение результата косвенных измерений по формуле (23).

3.находится абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (24).

4.записывается результат измерения: X 0 X X

Правила приближенных вычислений, записи погрешностей и результатов измерения

1. Экспериментальные результаты измерения являются приближенными числами, поэтому при их записи следует указывать величину погрешности. Как было видно выше,

16

вычисляемая практически среднеквадратическая и абсолютная погрешности характеризуют реальные погрешности приближенно, поэтому указывать их величину с большой точностью бессмысленно. Значение погрешности нужно округлять, оставив одну или две значащие цифры. В частности, если это цифры 1 или 2, то следует обязательно привести и

вторую значащую цифру.
Например, нужно писать
				0,06 , а не 0,0553
	X
или				2,3, а не 2,36.
		X
2. Число значащих цифр результата X также ограничено и

определяется порядком величины погрешности. Если, например, величина погрешности составляет сотые доли, т.е. если мы не ручаемся за правильность сотых долей, нет смысла сохранять тысячные доли и результат следует округлить до сотых долей. В общем случае, запись окончательного значения измеряемой

величины X и ее погрешность X нужно приводить с одинаковым числом десятичных знаков.

Например, надо писать:

U = (15,3 ± 0,3), а не U = (15,33 ± 0,3)

3. Абсолютную погрешность всегда выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину, например:

l= (1,572 0,004) м,

(2,67 0,06) 103 см/с

но не

l= 1,572 4 м,

(2,67 103 60) см/с

Последняя запись совершенно неприемлема, т. к. не позволяет сразу увидеть, какая цифра результата является ненадежной.

4. При проведении расчетов по результатам измерений необходимо помнить, что мы имеем дело с приближенными численными значениями, поэтому необходимо знать основные правила выполнения приближенных вычислений. Напомним их:

17

а) при округлении следует прибавить единицу в соседний старший разряд записи числа, если отбрасывается цифра младшего разряда 5 или больше, и просто отбросить ее, если она меньше 5. например, 4,08 округляя до двух значащих цифр получим: 4,1; 4,03 ≈ 4,0, а не просто 4, т.к. запись 4, 0 означает округление до двух значащих цифр, а просто 4 – только одной.

б) при сложении и вычитании приближенных чисел следует сохранять в окончательном результате и в слагаемых не больше знаков после запятой, чем их имеется в наименее достоверном числе.

Пример. При сложении чисел:

4,462 + 2,38 + 1,17273 +1,0262 = 9,04093

определив наименее достоверное число (2,28) следует слагаемые и сумму округлить до сотых долей, т.е.:

4,46 + 2,38 + 1,17 +1,03 = 9,04;

в) при умножении и делении исходные данные округляются, сохраняя лишь одну лишнюю значащую цифру по сравнению с наименее достоверн6ым числом, результат округляется до числа значащих цифр в наименее достоверном числе.

Методика построения графиков и графическое определение погрешностей

Если изучается зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графика.

Основное достоинство графиков – их наглядность. Посмотрев на график, можно сразу, одним взглядом, охватить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие различных особенностей: максимумов и минимумов, областей возрастания и убывания, периодичности и т.п. График позволяет также судить о соответствии экспериментальных данных той или иной теоретической зависимости.

При вычерчивании графика в прямоугольной системе координат необходимо руководствоваться следующими правилами.

18

1.Выбор бумаги. График должен выполнятся на миллиметровой или хотя бы клетчатой бумаге.

2.Выбор координатных осей. По горизонтальной оси принято откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс – аргумент Х, по оси ординат – функцию Y). На осях координат следует указать название или символ величины и указать, в каких единицах она измеряется:

I, мк А	или	ток, мк А

3. Выбор интервала. На графике приводится только та область изменения измеряемых величин, которая была исследована на опыте, поэтому пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями Х = 0 и Y = 0. Например:

25

20

15

10

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

4. Выбор масштаба. Масштабы на каждой оси выбираются независимо друг от друга, причем так, чтобы экспериментальные точки не сливались друг с другом и чтобы наилучшим образом использовалась площадь бумаги. Следует помнить, что график получается более наглядным, если основная часть кривой имеет наклон, не слишком отличающийся от 45º.

Масштаб должен быть простым и легко читаться, поэтому одна клетка масштабной сетки должна соответствовать удобному числу – 1, 2, 5, 10 … , 0,1, 0,2, 0,5, (но не 3, 7, 11, 13 …), единиц изображаемой на графике величины.

5. Нанесение шкал по осям. Масштаб наносится на осях графика в виде равностоящих “круглых” чисел, например:

19

или

2 4 6 8 10 12 14 l, см 5 10 15 20 25 30 35 t0, C

Не следует расставлять эти числа слишком густо – достаточно нанести их через 2 или даже через 5 делений:

10

14

16

t0, C

5,0

5,5

U, mB

Дополнительно указывать масштаб, как это делается на географических картах, не следует.

6.Нанесение точек на график. На график наносят все полученные в измерениях значения. Если одна точка измерялась несколько раз, можно нанести среднее и указать погрешность. Координаты экспериментальных точек на осях выписывать не нужно, т.к. это загромождает график и мешает его чтению (на осях наносятся только масштабные деления).

Выносные линии на графике, как правило, не проводятся: научитесь наносить точки на график без их помощи. Выносная линия может в виде исключения быть нанесена, только если какую-либо точку хотят особо выделить на графике.

Размечать масштабные деления на осях координат и наносить на график точки лучше всего сначала карандашом. Вдруг вы решите изменить масштаб или окажется, что какая-то точка случайно поставлена неправильно. Если же с масштабом и расположением точек все в порядке, нетрудно обвести все чернилами. В результате же удается избежать переделок и лишних затрат графической бумаги.

7.Проведение кривой по нанесенным точкам. Так как все измерения сделаны с той или иной погрешностью, то может наблюдаться некоторый разброс точек. Нельзя соединять эти точки простой ломаной линией, проходящей через каждую точку, т.к. это означало бы, что зависимость между двумя величинами

20

носит скачкообразный характер, а это маловероятно. Скорее следует ожидать, что данная зависимость описывается какойлибо плавной кривой. Помните, что всякая особенность на кривой (излом, резкое изменение кривизны и т.д.) требует специального экспериментального доказательства, либо теоретического объяснения. Поэтому чаще всего кривую на графике проводят плавно, избегая изломов и перегибов, причем так, чтобы большее число экспериментальных точек легло на эту линию, а остальные равномерно распределились выше и ниже ее.

Во всех случаях кривая должна быть проведена так, чтобы она не закрывала экспериментальных точек. Помните, что результат эксперимента - это точки, а кривая – это только Ваше толкование результата (вообще говоря, не однозначное).

8. Выбор наиболее наглядной зависимости. При построении графика нужно стремиться к тому, чтобы он наиболее четко отображал все особенности представляемой зависимости. Для этого часто бывают удобны функциональные масштабы – по осям откладываются не сами измеряемые величины, а их функции, подобранные в соответствии с решаемой задачей. Например, если измеряемая величина изменяется очень сильно, на несколько порядков, удобно применять логарифмический (по осям откладываются логарифмы измеряемых величин) или полулогарифмический масштаб (логарифм откладывается только по одной из осей). С примером полулогарифмической шкалы Вы встретитесь в работе по снятию аудиограммы и частотной характеристики импеданса биологической ткани.

При пользовании функциональных масштабов на оси следует наносить двойную шкалу: одну – равномерную для откладываемой по оси функции (например, lg x), а другую – неравномерную для самой величины (но и на эту шкалу наносят, как обычно, “круглые” числа.

Например:

1		2	3		4		lg x
10		100	1000		10000		ν, Гц
			21

9. Оформление графиков. Готовый график, снабжается подписью, которая должна содержать точное описание того, что показывает график.

Ниже показан пример построения графика (к лаб. раб.№ 1).

α	дел
10,2	мг
9,8	αх

9,4
	50		100		150		P, г

Рисунок 1. Зависимость чувствительности α весов от величины нагрузки P

10. Кривую, построенную по экспериментально полученным точкам для некоторой области изменения аргумента, можно

затем	использовать для нахождения значений функции для
			любого	промежуточного		значения
Y	y		аргумента	на этой области. Эта
			операция	называется графическим
y0			интегрированием.		Например,			по
			графику (рис. 1) можно найти значение
	Δx		чувствительности		весов	αх		при
						мг
			нагрузке Р =75 г: α 75 = 9,7				.
0	x0	Х		х		дел

11. На основании графика можно Рисунок 2. найти абсолютную погрешность в

Зависимость y=f(x)

определении одной из величин, если известна абсолютная погрешность другой величины. Пусть график изображает зависимость y = f(x) и известно, что некоторое значение величины Х измерено с погрешностью х (точка Х0). Тогда на графике откладывают на соответствующей оси около значения Х0 величину ΔX в выбранном масштабе и по графику находит соответствующую ей величину отрезка Y (см. рис.2).

22