Физика часть1

8. По формулам 11, 12, 13 (см. ниже) по средним значениям «t» вычислить линейное ускорение «a», угловое ускорение « », вращающий момент «M», действующий на маятник

h	at 2	;	a	2h	;		a		2h		(12)
2				t 2			r		rt 2
где r – радиус шкива, на который наматывается нить.
			M Tr m( g a )r								(13)
9. По формуле «14» высчитать момент инерции, найденный
практически
			Jпракт = М /								(14)

10. Вычислить теоретически момент инерции «Jтеорет» по формуле (15) и сравнить с результатом Jпракт , полученным в пункте 9 (формула 14).

J				1	m l 2	4m R2	(15)
	теорет
			6		2	1

Сравнивая Jпракт = М/ , найденный из основного уравнения динамики вращательного движения ( = M/J), с его теоретическим

значением J теорет 61 m2 l 2 4m1 R2 в работе проверяется справед-

ливость основного уравнения динамики вращательного движения

= M/J.

11. Вычислить абсолютную по формуле (16) и относительную по формуле (17) погрешность измерений для одной из серий результатов.

Вычисление погрешностей

1) Абсолютная погрешность измерения практического значения момента инерции маятника Обербека:

J

J

mgr 2

mgt 2 r 2

mgr

2t

t

J

практ

t

t

h

h

2t t

h

2 t

h

, (16)

2h

2h

2

2h

h

где t

t

t1

t t2

t t3

.

3

33

2) Относительная погрешность измерения практического значения момента инерции маятника Обербека:

J			J практ	100%	(17)
	практ
			J практ

Таблица 1

Результаты измерений и вычислений

R,

m,

t,

a

2h

a/r

M=m(g-a)r,

J практ

M

J теор

1

m2l 2

4m1 R

№

t 2

6

м

кг

с

2

Н.м

.

2

2

1/с

. 2

м/с

кг м

кг м

1

2

3

Cр

4

5

6

Ср

m1=154 г =0,154 кг– масса каждого груза на стержне, m2 =184 г=0,184 кг – масса каждого из 2-х стержней, l =52 cм=0,52 м – длина стержня,

r =1 см=0,01м – радиус шкива,

g =9,8 м/с2, h =0,5 м, h =1см=0,01м

34

m1

			R
L	m1	2r	m1

0

m1

		а
	Т

m

P m g X

Рисунок 4. Маятник Обербека

Контрольные вопросы

1.Перечислите величины, характеризующие кинематику вращательного движения, момент инерции и единицы его измерения.

2.Момент инерции различных тел (с выводом формул для стержня, тонкого кольца, тонкой сферы и др.).

3.Момент силы (векторная форма записи), направление и единицы его измерения.

4.Основное уравнение динамики вращательного движения.

35

5.Закон сохранения момента количества движения (привести примеры использования его на практике).

6.Сочленения и рычаги в опорно-двигательном аппарате человека.

7.Центрифугирование.

Лабораторная работа №2

Определение отношения теплоемкостейCP CV по скорости звука в газе

Основные понятия и определения: уравнение Клапейрона-

Менделеева, первое начало термодинамики, внутренняя энергия идеального газа, теплоемкость и виды теплоемкостей.

Цель работы: научиться работать с электроприборами, измерять скорость звука по резонансу в воздушном столбе.

Краткая теория

Теплоемкость газов

При термодинамическом равновесии состояние газа в целом может характеризоваться тремя параметрами: давлением P, объемом V и температурой Т.

Соотношение, связывающее между собой эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа таковым является уравнение Клапейрона - Менделеева, которое для данной массы газа m имеет вид:

pV m RT ,

где - молярная масса газа,

R- универсальная газовая постоянная.

При равновесном переходе газа из одного состояния в другое, т.е. при термодинамическом процессе, должно выполниться первое начало термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом:

36

количество теплоты dQ, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую газом против внешних сил: dQ = dU + dA

Элементарная работа dA=pdV, а внутренняя энергия одного киломоля идеального газа определяется по формуле

U	i	RT ,	(1)
2

где i - число степеней свободы молекулы газа,

Для одноатомных молекул i=3 (только 3 поступательных степени свободы); для двухатомных i=5 (3 поступательных и 2 вращательных); для трех и более атомных i=6 (3 поступательных и 3 вращательных).

Теплоѐмкостью С называется величина, равная отношению сообщенного телу при нагревании количества теплоты dQ к вызванному этим процессом изменению температуры dT:

C dQdT dUdT dTdA

Различают удельную теплоемкость Cуд – теплоѐмкость одного килограмма газа в молярную С - теплоѐмкость одного киломоля газа. Эти теплоѐмкости связаны между собой равенством:

C C уд

Теплоемкости для одного и того же газа не являются постоянными величинами, а зависят от характера процесса, при котором происходит нагревание газа, т.к. одному и тому же изменению температуры dT могут соответствовать различные значения работы dA.

Рассмотрим основные изопроцессы, протекающие в одном киломоле идеального газа и найдем соответствующие им теплоѐмкости.

а) Изохорический процесс (V= const)

В этом случае dV=0, следовательно dA=0, и всѐ подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии dU:

dQ = dU.

37

Тогда молярная теплоемкость при постоянном объѐме, учитывая (I), равна:

C			dU		i	R .	(2)
	v
			dT	2

б) Изобарический процесс (p = const)

В этом случае молярная теплоемкость

C			dU	p	dV	.	(3)
	p
			dT		dT

Из уравнения состояния газа для одного киломоля имеем:

	p dV V dp R dT .	(4)
Т.к, p = const,то	dp =0 и pdV=RdT.	(4а)
Подставляя (4а) в (3) и заменяя dU согласно (2) на Cv		dT ,

получим окончательно:

C		C		R	i	R R	i 2	R .	(5)
	p		v
				2		2

в) Изотермический процесс (T = const)

В этом случае dT =0 и dQ = dA,т.е. все подводимое количество теплоты идет на совершение газом работы, а его внутренняя энергия остается постоянной. Т.к. температура при этом не изменяется, то молярная теплоѐмкость равна .

Элементарная работа при изотермическом процессе определяется уравнением

dA pdV

Полная работа

A	V2
A dA pdV
O	V1

где V1 и V2 - начальный и конечный объем газа при изотермическом расширении

Из уравнения КлапейронаМенделеева для любой массы газа

	pV				m		RT
Находим давление	p m RT
		V
	38

	V						V
	Тогда A 2	m	RT	dV		m	RT 2	dV
				V				V
	V						V
	1						1

Данный интеграл имеет следующее решение

	A	m	RT ln V1	ln V2	m	RT ln	V2
							V1

Итак, работа газа при изотермическом расширении определяется уравнением

A m RT ln V2

V1

г) Адиабатический процесс (dQ =0, dU + dA =0) – процесс,

происходящий при отсутствии теплообмена между газом и окружающей средой. Т.к. при этом dQ =0,то молярная теплоѐмкость равна нулю.

Выведем уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона).

dA = -dU или pdV = -CvdT.

(6)

Разделив равенство (4) на (6), учитывая (5),получим:

1

V

dP

R

Cp

Cv

или

dp

dV

,

(7)

p

dV

Cv

Cv

p

V

где Cp Cv -

отношение

теплоемкостей,

называемое

показателем адиабаты.

Если вместо Ср и Сv подставить в выражение для их значения через число степеней свободы идеального газа i, то получим:

		i 2			R
		2					i 2	.	(8)
			i				i
				R
			2

Интегрируя и потенцируя уравнение (7), получим уравнение Пуассона:

39

pV const . (9)

В данной работе определяется отношение для воздуха по скорости звука в нем.

Теория метода

Звуковые волны в газах являются продольными и представляют собой последовательные сжатия и разрежения частиц газа. Скорость распространения звуковой волны зависит от упругости газа и его плотности:

	V		E		,	(10)

где Е – модуль упругости (Юнга).

Модуль упругости Е, по определению, есть коэффициент пропорциональности между относительным удлинением телаll и приложенным к нему напряжением FS (т.е. растягивающей силе на единицу площади):

E	l		F	, откуда E	F l	.
	l		S		S l

В продольной волне при одностороннем растяжении относительное удлинение ll равно относительному увеличение объе-

ма V V , а роль напряжения играет изменение давленая, р. Полагая изменения объѐма и давления бесконечно малыми и принимая во внимание, что увеличение давления соответствует уменьшению объѐма, для модуля упругости газа можно написать равенство:

E	dp V	.	(11)
	dV

При распространении волн в газовой среде вследствие сжатий и разрежений происходит изменение температуры различных участков. Причѐм опыт показал, что для звуковых волн за время одного колебания температура между сжатыми (и тем самым разогретыми) и разреженными (и тем самым охлаждѐнными) областями волны не успевает выравниваться. Поэтому кратковременные процессы сжатия и разрежения можно считать происходящими без теплообмена, т.е. адиабатическими.

40

Дифференцируя уравнение Пуассона (9), получим:

V dp V 1 pdV 0 , откуда	dp		p	.	(12)
	dV		V

Подставляя выражение (12) в равенство (11), для модуля упругости получим:

E p

(13)

Плотность раза можно получить из уравнения КлайперонаМенделеева:

	m		p			(14)
V			RT
Подставляя (13) и (14) в (10),			получим		RT	, откуда:
		2				(15)
		RT

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить абсолютную температуру газа и скорость распространения звука в нем (молярная масса газа считается известной). В вашей работе газом является воздух и его молярная масса = 29 кг/кмоль. Скорость же звука измеряется с помощью установки, изображенной на рис. 1. Звуковые колебания возбуждаются в трубе Т телефоном Тф, укрепленным на конце подвижного поршня П, а улавливаются микрофоном М у открытого конца трубы. Телефон подключается к звуковому генератору ЗГ, а возникающие в микрофоне электрические сигналы наблюдаются на экране осциллографа Э0.

Колебаний мембраны телефона приведут в движение частицы воздуха, прилегающие к ней, которые в свою очередь приведут в движение находящиеся за ними соседние частицы и т.д., то есть в трубе будет распространяться звуковая волна. Эта волна будет испытывать многократные отражения от закрытого и открытого концов трубы, поэтому звуковые колебания в результате наложения на первоначальную волну всех отраженных волн, вообще говоря, имеют сложный вид. Картина значительно упроща-

41

ется, если в трубе возникает акустический резонанс, которому соответствует резкое увеличение амплитуды электрических колебаний, наблюдаемых на экране осциллографа.

Рисунок 1. Установка, для измерения скорости звука в воздухе

Резонанс - это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний и колебательной системе при приближении частоты вынуждающей внешней силы к частоте какого-либо собственного колебания данной системы. В нашем случае имеем акустический резонанс, при котором колебания частиц воздуха на выходе трубы достигают максимальной амплитуды. Это произойдет в том случае, если частота звуковых колебаний мембраны (вынуждающей силы) приближается к одной из собственных частот колебаний столба воздуха в трубе между поршнем и открытым концом. Для этого необходимо, чтобы длина Ln этого воздушного столба удовлетворяла условию:

Ln	2n 1	,
		4

где - длина волны звука в трубе, n – любое целое число (n=1, 2,

3,…).

Скорость же звука связана с его частотой и длиной волны

соотношением:

42