- •1. Сущность математического моделирования экономических процессов
- •1.1. Понятие математической модели экономического процесса
- •1.2. Классификация математических моделей
- •1.3. Примеры построения математических моделей экономических задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования
- •2.2. Линейное программирование в экономике
- •2.3. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •2.4. Основная задача линейного программирования
- •2.5.Симплекс-метод
- •2.6.Пример расчета экономико-математической модели
- •2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация
- •2.8. Целочисленное линейное программирование. Метод Гомори
- •3. Транспортная задача как пример специальной задачи линейного программирования
- •3.1.Построение транспортной модели
- •3.2. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели
- •3.3. Определение начального плана транспортировок. Методы "северо-западного" угла, минимального элемента, Фогеля
- •3.4.Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов
- •3.5. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям
- •3.6. Венгерский метод решения задачи о назначениях
- •3.7. Применение задачи о назначениях к решению экономических проблем
- •4. Нелинейное программирование
- •4.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения
- •4.3. Метод множителей Лагранжа
- •4.4. Расчет экономико-математической модели при нелинейных затратах на производство
- •5. Динамическое программирование
- •5.1. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения
- •5.2. Составление математической модели динамического программирования
- •5.3.Этапы решения задачи динамического программирования
- •5.4. Задача замены оборудования как задача динамического программирования
- •5.5. Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования
- •6. Модели систем массового обслуживания
- •6.1 Определение систем массового обслуживания
- •6.2 Классификация смо.
- •6.3. Параметры смо
- •6.4 Модели смо с отказами.
- •6.5 Модели смо с неограниченным временем ожидания
- •6.6 Модели замкнутых смо
- •7. Модели сетевого планирования и управления (спу)
2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация
Рассмотрим задачу линейного программирования следующего вида:
(2.7.1)
(2.7.2)
В задаче требуется максимизировать целевую функцию; все ограничения являются неравенствами со знаком , все переменные неотрицательны. Задача содержит управляющих переменных и ограничений. Коэффициенты при переменных в целевой функции: ; свободные члены:.
Двойственная задача линейного программирования имеет вид
(2.7.3)
(2.7.4)
В двойственной задаче требуется найти минимум целевой функции, ограничения – неравенства со знаком , управляющие переменные неотрицательны. Задача содержит управляющих переменных и ограничений. Коэффициенты целевой функции задачи являются свободными членами исходной ЗЛП, а свободные члены двойственной задачи – коэффициентами целевой функции исходной ЗЛП. Матрица коэффициентов двойственной задачи транспонирована, т.е. строки заменены столбцами, а столбцы – строками.
Задачи (2.7.1), (2.7.2) и (2.7.3), (2.7.4) называются парой взаимно двойственных задач линейного программирования.
Для двойственных задач верна следующая теорема.
Теорема двойственности: если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение х*, то другая также имеет оптимальное решение у*. При этом соответствующие им оптимальные значения целевых функций иравны.
Поясним экономический смысл двойственной модели.
Пусть в качестве управляющих переменных исходной модели рассматривается число изделий, производимых некоторым предприятием, а параметрами – количество ресурсов -го типа, используемых для изготовления изделий. Через обозначено количество ресурсов -го типа, идущее на изготовление одного изделия-го вида, (– прибыль от реализации одного изделия-го вида). Тогда исходная модель (2.7.1), (2.7.2) соответствует задаче определения оптимального плана производства продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.
Пусть предприятие решило прекратить производство изделий и продать ресурсы, идущие на их изготовление. Обозначим через цены на единицу ресурсов -го вида,. Цены на ресурсы должны удовлетворять следующим двум условиям: во-первых, они не должны быть слишком высокими, иначе ресурсы невозможно будет продать; а во-вторых, цены на ресурсы должны быть такими, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли от реализации готовой продукции. Первое условие выражается формулой (2.7.3), второе условие – ограничениями (2.7.4). В левой части каждого из неравенств (2.7.4) стоит прибыль от продажи ресурсов всех типов, идущих на изготовление-го изделия, в правой части – прибыль от продажи-го изделия,. Таким образом, двойственная задача (2.7.3) – (2.7.4) соответствует следующей экономической проблеме: по каким минимальным ценам следует продавать ресурсы, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли, полученной от реализации продукции, изготавливаемой с использованием этих ресурсов. Значения переменных часто называют теневыми ценами.
Построение двойственной задачи позволяет глубже разобраться в поставленной экономической проблеме.