- •1. Сущность математического моделирования экономических процессов
- •1.1. Понятие математической модели экономического процесса
- •1.2. Классификация математических моделей
- •1.3. Примеры построения математических моделей экономических задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования
- •2.2. Линейное программирование в экономике
- •2.3. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •2.4. Основная задача линейного программирования
- •2.5.Симплекс-метод
- •2.6.Пример расчета экономико-математической модели
- •2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация
- •2.8. Целочисленное линейное программирование. Метод Гомори
- •3. Транспортная задача как пример специальной задачи линейного программирования
- •3.1.Построение транспортной модели
- •3.2. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели
- •3.3. Определение начального плана транспортировок. Методы "северо-западного" угла, минимального элемента, Фогеля
- •3.4.Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов
- •3.5. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям
- •3.6. Венгерский метод решения задачи о назначениях
- •3.7. Применение задачи о назначениях к решению экономических проблем
- •4. Нелинейное программирование
- •4.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения
- •4.3. Метод множителей Лагранжа
- •4.4. Расчет экономико-математической модели при нелинейных затратах на производство
- •5. Динамическое программирование
- •5.1. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения
- •5.2. Составление математической модели динамического программирования
- •5.3.Этапы решения задачи динамического программирования
- •5.4. Задача замены оборудования как задача динамического программирования
- •5.5. Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования
- •6. Модели систем массового обслуживания
- •6.1 Определение систем массового обслуживания
- •6.2 Классификация смо.
- •6.3. Параметры смо
- •6.4 Модели смо с отказами.
- •6.5 Модели смо с неограниченным временем ожидания
- •6.6 Модели замкнутых смо
- •7. Модели сетевого планирования и управления (спу)
4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения
Рассмотрим задачу Нелинейного программирования, содержащую две переменные.
(4.2.1)
(4.2.2)
Система ограничений (4.2.2) определяет в -мерном пространстве некоторую область, которая является областью допустимых решений задачи.
Решить ЗНП графически – это значит найти точку области допустимых решений (4.2.2), через которую проходит линия наивысшего (наинизшего) уровня.
Указанная точка может находиться как на границе, так и внутри области допустимых решений (4.2.2), в отличие от задач линейного программирования.
Так же, как и для линейных задач, ЗНП удобно решать графически, когда функция и ограничения содержат две переменные.
Алгоритм решения ЗНП графическим методом
Шаг 1. На плоскости строят область допустимых решений, определенную ограничениями (4.2.2). Если она пуста, т.е. ограничения несовместны, то задача (4.2.1) – (4.2.2) не имеет решения. В противном случае переходят к шагу 2.
Шаг 2. Строят линию уровня функции , где С – некоторая константа. Переход к шагу 3.
Шаг 3. Определяют направление возрастания (при максимизации), убывания (при минимизации) функции .
Шаг 4. Находят точку области допустимых решений, через которую проходит линия уровня с наибольшим (при максимизации), наименьшим (при минимизации) значением С или устанавливают неограниченность функции на области допустимых решений.
Шаг 5. Определяют значения для точки, найденной на шаге 4, и величину функции в этой точке.
Пример 4.2.1
В соответствии с алгоритмом построим на плоскости область допустимых решений (рис. 4.2.1)
Рис. 4.2.1
Ограничения , выделяют на плоскости первую четверть.
Границей полуплоскости, соответствующей первому ограничению,
является гипербола
Неравенство выполняется для точек, лежащих выше гиперболы.
Границей полуплоскости, определяемой вторым ограничением, является окружность с центром в точке (0,0) и радиусом, равным 4. Искомая полуплоскость заштрихована вертикальной штриховкой. Область допустимых решений выделена горизонтальной штриховкой.
Функция возрастает в направлении вектора-нормали с координатами (2,3), и ее линии уровня расположены перпендикулярно вектору-нормали. Таким образом, максимум достигается в точкеА, а минимум – в точке В.
Заметим, что в точке А совпадают тангенсы углов наклона касательной к окружности и прямойк оси . Тангенсы углов наклона касательной и прямой к оси определяются значениями производных по соответствующих функций. Для прямойтангенс равен.
Продифференцируем выражение как неявную функцию от. Получаем
,
Приравниваем значения тангенсов, получаем
,
К этому уравнению добавим уравнение окружности, которой принадлежит точка А.
Получаем систему
Решив ее, найдем оптимальное решение
; ;
Аналогично определим координату точки В, в которой тангенс угла наклона к оси прямой совпадает с тангенсом угла наклона касательной к функции.
Получаем уравнение
Вторым для нахождения координат точки является уравнение гиперболы, которой принадлежит точка В:
Из последней системы найдем оптимальное решение, соответствующее минимальному значению ,
, ,