- •1. Сущность математического моделирования экономических процессов
- •1.1. Понятие математической модели экономического процесса
- •1.2. Классификация математических моделей
- •1.3. Примеры построения математических моделей экономических задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования
- •2.2. Линейное программирование в экономике
- •2.3. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •2.4. Основная задача линейного программирования
- •2.5.Симплекс-метод
- •2.6.Пример расчета экономико-математической модели
- •2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация
- •2.8. Целочисленное линейное программирование. Метод Гомори
- •3. Транспортная задача как пример специальной задачи линейного программирования
- •3.1.Построение транспортной модели
- •3.2. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели
- •3.3. Определение начального плана транспортировок. Методы "северо-западного" угла, минимального элемента, Фогеля
- •3.4.Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов
- •3.5. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям
- •3.6. Венгерский метод решения задачи о назначениях
- •3.7. Применение задачи о назначениях к решению экономических проблем
- •4. Нелинейное программирование
- •4.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения
- •4.3. Метод множителей Лагранжа
- •4.4. Расчет экономико-математической модели при нелинейных затратах на производство
- •5. Динамическое программирование
- •5.1. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения
- •5.2. Составление математической модели динамического программирования
- •5.3.Этапы решения задачи динамического программирования
- •5.4. Задача замены оборудования как задача динамического программирования
- •5.5. Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования
- •6. Модели систем массового обслуживания
- •6.1 Определение систем массового обслуживания
- •6.2 Классификация смо.
- •6.3. Параметры смо
- •6.4 Модели смо с отказами.
- •6.5 Модели смо с неограниченным временем ожидания
- •6.6 Модели замкнутых смо
- •7. Модели сетевого планирования и управления (спу)
2.2. Линейное программирование в экономике
Приведем примеры некоторых типичных экономических и производственных задач, оптимальное решение которых может быть найдено с помощью построения и расчета соответствующих линейных математических моделей.
Планирование производства
Для изготовления различных видов изделий используются разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, количество ресурса каждого типа, затрачиваемого на изготовление одного изделия каждого вида, и прибыль, получаемая от реализации одного изделия каждого вида, заданы. Нужно составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль от реализации изделий.
Построение математической модели
Математическую модель строим по этапам, сформулированным в пункте 1.2.
Целью является максимизация прибыли.
Задача решается в общем виде, поэтому для определения параметров введем условные обозначения:
–число различных видов изделий;
– число различных типов ресурсов;
– запас ресурса -го типа,;
– количество ресурсов -ro типа для изготовления одного изделия -го вида,;;
– прибыль от реализации одного изделия -го вида.
Управляющие переменные число изделий-го вида.
Ограничения задачи – это ограничения по ресурсам и условия неотрицательности управляющих переменных.
Таким образом, можно построить математическую модель.
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.1), (2.2.2) – линейная математическая модель поставленной задачи. В результате ее расчета определяют оптимальный план производства, т.е. количество изделий каждого вида, которые надо изготовить так, чтобы при этом была максимальна прибыль (2.2.1) и не был превышен запас ресурсов (2.2.2).
После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 1-3 контрольной работы № 2, а также вернуться к решению задачи 7(если ее не удалось решить) из контрольной работы № 1
Формирование минимальной потребительской продовольственной корзины
Задан ассортимент продуктов, имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ (витаминов и калорий). Известен требуемый человеку минимум питательных веществ каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость.
Составление математической модели.
Целью является минимизация стоимости потребительской корзины.
Параметры задачи:
–число различных продуктов, имеющихся в продаже;
–число различных питательных веществ, необходимых человеку;
– содержание -го питательного вещества в-м продукте,;;
–количество -го питательного вещества, необходимое человеку,;
–стоимость единицы -го продукта,.
Управляющие переменные – это количество-го продукта, входящего в потребительскую корзину,.
Область допустимых решений определяется следующей системой неравенств, содержащей условия по необходимому уровню потребления каждого питательного вещества во всех продуктах и условия неотрицательности управляющих переменных:
(2.2.4)
5) Критерий оптимальности имеет вид
(2.2.5)
(2.2.4), (2.2.5) – линейная математическая модель. После ее расчета определяют значения , удовлетворяющие ограничениям (2.2.4) и доставляющие минимум функции (2.2.5), т.е. рассчитывается состав минимальной потребительской продовольственной корзины.
После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 4,5 контрольной работы № 2, а также вернуться к решению задачи 9(если ее не удалось решить) из контрольной работы № 1
Расчет оптимальной загрузки оборудования
Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на имеющемся оборудовании. Для каждой единицы оборудования заданы: фонд рабочего времени, себестоимость на изготовление единицы продукции каждого вида и производительность, т.е. число единиц продукции каждого вида, которое можно произвести в единицу времени. Нужно распределить изготовление продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальна.
Составление математической модели.
Целью является минимизация себестоимости.
Параметры:
– номенклатура, т.е. число различных видов продукции в производственном заказе;
– число единиц продукции -го вида,;
– число единиц оборудования;
– фонд времени работы оборудования -го типа,;
–производительность оборудования -го типа по производству изделий-го вида,;;
–себестоимость изготовления единицы продукции -го вида на оборудовании-го типа,;;
3) Управляющие переменные ,,– это время, в течение которого оборудование -го типа занято изготовлением продукции-го вида.
4) Область допустимых решений определяется ограничениями (2.2.6) по фонду времени, ограничениями (2.2.7) по номенклатуре и условиями неотрицательности .
(2.2.6) (2.2.7)(2.2.8)
5) Критерий оптимальности задается функцией
, (2.2.9)
где – суммарная себестоимость.
(2.2.6) – (2.2.9) – линейная математическая модель задачи. Она содержит неизвестных (управляющих переменных) и ограничений, не считая условий (2.2.8). После расчета модели определяется оптимальная загрузка оборудования, т.е. время в течение которого оборудование каждого типа занято изготовлением продукции каждого вида.
После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 6-7 контрольной работы № 2.
Раскрой материала
На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна.
Составление математической модели.
Цель – минимизация себестоимости раскроя.
Параметры:
– число различных видов материала, поступающего на раскрой;
– количество материала -го вида,;
– число различных видов изделий, которые надо изготовить;
– исло изделий -го вида,;
– число различных способов раскроя;
–исло изделий -го вида, которое можно получить изединицы материала -го вида при-м способе раскроя,,,;
–ебестоимость раскроя единицы материала -го вида-м способом, ,.
3) Управляющие переменные – количество единиц материала-го вида, раскраиваемых-м способом, ,.
4) Область допустимых решений определяется ограничениями по количеству исходного материала (2.2.10), ограничениями по выпуску (2.2.11) и условиями неотрицательности управляющих переменных (2.2.12).
(2.2.10)(2.2.11)(2.2.12)
Критерий оптимальности задается формулой
(2.2.13)
(2.2.10) – (2.2.13) – линейная математическая модель поставленной задачи. Она содержит неизвестных (управляющих переменных) и ограничений, не считая условий неотрицательности переменных . После расчета модели определяется количество материала каждого вида, раскраиваемого различными способами.
Вместо критерия минимизации себестоимости в задаче может быть взят, например, критерий минимизации отходов. В этом случае в условии должно быть задано количество отходов, получаемых при каждом способе раскроя для единицы материала каждого вида.
После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 8-11 контрольной работы № 2.
Составление плана реализации товара
Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств (технических, людских, денежных).
Общий запас средств, число средств каждого вида, используемых при реализации единицы любого товара и прибыль от его продажи заданы. Надо сформировать план реализации товаров, приносящий фирме максимальную прибыль.
Построение математической модели.
Цель — максимизации прибыли.
Параметры:
– число различных видов реализуемых товаров;
– число разных видов средств;
– запас средств -го вида,;
–число средств -го вида, используемых для реализации единицы товара-го вида,,;
– прибыль от реализации единицы товара -го вида,.
Управляющие переменные ,– количество реализуемого товара-го вида;
Область допустимых решений формируют ограничения по запасам средств и условия неотрицательности управляющих переменных.
(2.2.14)
5) Критерий оптимальности определяется по формуле
, (2.2.15)
где – суммарная прибыль.
В результате расчета линейной математической модели (2.2.14), (2.2.15) определяется количество реализуемых товаров каждого вида, обеспечивающее фирме максимальную прибыль.
После изучения данного раздела целесообразно решить задачи 12-13 контрольной работы № 2.