- •1. Сущность математического моделирования экономических процессов
- •1.1. Понятие математической модели экономического процесса
- •1.2. Классификация математических моделей
- •1.3. Примеры построения математических моделей экономических задач
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Постановка задачи линейного программирования
- •2.2. Линейное программирование в экономике
- •2.3. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •2.4. Основная задача линейного программирования
- •2.5.Симплекс-метод
- •2.6.Пример расчета экономико-математической модели
- •2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация
- •2.8. Целочисленное линейное программирование. Метод Гомори
- •3. Транспортная задача как пример специальной задачи линейного программирования
- •3.1.Построение транспортной модели
- •3.2. Сбалансированные и несбалансированные транспортные модели
- •3.3. Определение начального плана транспортировок. Методы "северо-западного" угла, минимального элемента, Фогеля
- •3.4.Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов
- •3.5. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям
- •3.6. Венгерский метод решения задачи о назначениях
- •3.7. Применение задачи о назначениях к решению экономических проблем
- •4. Нелинейное программирование
- •4.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •4.2 Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Графический метод решения
- •4.3. Метод множителей Лагранжа
- •4.4. Расчет экономико-математической модели при нелинейных затратах на производство
- •5. Динамическое программирование
- •5.1. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения
- •5.2. Составление математической модели динамического программирования
- •5.3.Этапы решения задачи динамического программирования
- •5.4. Задача замены оборудования как задача динамического программирования
- •5.5. Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования
- •6. Модели систем массового обслуживания
- •6.1 Определение систем массового обслуживания
- •6.2 Классификация смо.
- •6.3. Параметры смо
- •6.4 Модели смо с отказами.
- •6.5 Модели смо с неограниченным временем ожидания
- •6.6 Модели замкнутых смо
- •7. Модели сетевого планирования и управления (спу)
6. Модели систем массового обслуживания
6.1 Определение систем массового обслуживания
Под системой массового обслуживания (СМО) понимается некоторая система, предназначенная для обслуживания поступающих в систему заявок.
Элементы СМО называются обслуживающими каналами. Заявки в систему поступают в случайные моменты времени, продолжительность обслуживания одной заявки также является случайной величиной. Задачи исследования СМО впервые были рассмотрены А.К. Эрлангом в начале 20 века и легли в основу теории массового обслуживания, которая развивается до сих пор. Данная теория базируется на теории Марковских случайных процессов, уравнениях Колмогорова для вероятностей состояний, анализе процессов «гибели и размножения», формуле Литтла и других теоретических положений, которые рассматриваются в рамках теории массового обслуживания.
Остановимся только на некоторых положениях теории массового обслуживания.
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток вызовов на станции скорой помощи, поток автомобилей, прибывающих на АЗС, поток покупателей у кассы магазина и т.п.
Интенсивность (скорость) потока обозначается символом λ, и представляет собой среднее число событий, приходящееся на единицу времени.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Например, поток покупателей в магазине между 17 и 18 часами можно считать стационарным, тот же поток в течение всего рабочего дня таковым не является
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток событий называется без последействия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них,не зависит от того, сколько событий попало на другой.
Поток событий называется простейшим(стационарным пуассоновским), если он обладает свойствамистационарности, ординарности и не имеет последействия.
Для простейшего потока интервал времени Тмежду соседними событиями имеет показательное распределение с плотностью:
f(t) = λe-λt , t>0 (6.1)
λ в формуле (6.1) называется параметров показательного закона. Как известно из курса теории вероятностей для случайной величины Т, имеющей показательное распределение, математическое ожидание Мтесть величина , обратная параметруλ, а среднее квадратическое отклонениет равно математическому ожиданию:Мт = т = 1/λ.
Любая СМО состоит из блока обслуживания, состоящего из одного или нескольких каналов обслуживания и потока заявок, поступающих в систему. Примерами СМО являются автозаправочные станции, предприятия обслуживания населения (магазины, предприятия общественного питания), больницы, станции скорой помощи, ремонтные, инструментальные, транспортные, складские хозяйства промышленных предприятий, телекоммуникационные системы и многие другие объекты экономической, технической и социальной сферы жизнедеятельности человека.