sbornik zadach_econometrics

20. По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получена зависимость себестоимости единицы продукции у (тыс.руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс.руб.). Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19. Оцените значимость уравнения регрессии.

21. По совокупности 30 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: х – цена на товар А, тыс. руб., у – прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

(у ух )2 39000; (у у)2 120000.

1.Постройте таблицу дисперсионного анализа.

2.Найдите коэффициент корреляции.

22. Моделирование прибыли фирмы привело к результатам

(табл.8.1):

Таблица 8.1

	№	Прибыль фирмы у, тыс. руб.
		Фактическая	Расчетная
	1	10	11
	2	12	11
	3	15	17
	4	17	15
	5	18	20
	6	11	11
	7	13	14
	8	19	16

Оцените качество модели. Для этого:

1.определите ошибку аппроксимации;

2.найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

3.постройте таблицу дисперсионного анализа.

Домашнее задание

23.Получены следующие данные:

ху 4,2087; х 8,237; х2 9,2334; у 3,931;п 9.

Определите коэффициенты регрессии и корреляции, предполагая

y 0,8.

24. По 20-ти фермам области получена информация, представленная в таблице 9.1. Фактическое значение F-критерия Фишера составило 45.

Таблица 9.1

Показатель	Среднее значение	Коэффициент вариации
Урожайность ц/га	27	20
Всего удобрений на 1га, кг	5	15
	11

1.Определите линейный коэффициент детерминации.

2.Постройте уравнение линейной регрессии.

25. При исследовании зависимости объема производства у (тыс.ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна получено, что доля остаточной дисперсии в общей составляет 20%.

26. Исследование зависимости среднемесячной производительности труда от возраста рабочих привело к результатам (табл. 10.1):

Таблица 10.1

	№	Производительность труда рабочих у, тыс. руб.
		Фактическая	Расчетная
	1	12	10
	2	8	10
	3	13	13
	4	15	14
	5	16	15
	6	11	12
	7	12	13
	8	9	10
	9	11	10
	10	9	9

Оцените качество модели. Для этого:

1.определите ошибку аппроксимации;

2.найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

3.постройте таблицу дисперсионного анализа.

Дополнительные задачи

27.На основе приведенных ниже данных (табл. 11.1) для объясняемой переменной у и потенциальных объясняющих переменных х1, х2 рассчитать коэффициенты парной корреляции переменной у с переменными х1, х2, а также переменной х1 с переменной х2.

Таблица 11.1

i	yi	xi1	xi2
1	1,9	11	1,1
2	2,1	13	1,2
3	2,5	21	1,4
4	2,7	31	2,1
5	3,2	29	2,2

28. По 12 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб) от выработки продукции на одного человека х (единиц). Результаты регрессионного анализа в Excel представлены на рис. 1.1 и рис.2.1:

12

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный	0,721025214
R
R-квадрат	0,519877359
Нормированный	0,471865095
R-квадрат
Стандартная
ошибка	12,5495908
Наблюдения	12
Дисперсионный анализ
					Значимость
	df	SS	MS	F	F
Регрессия	1	1705,327706	1705,328	10,828	0,008
Остаток	10	1574,922294	157,492
Итого	11	3280,25
	Коэффициенты	Стандартная	t-	P-	Нижние		Верхние
		ошибка	статистика	Значение	95%	95%
Y-пересечение	76,98	24,21	3,179	0,0098	23,03	130,92
Переменная X
1	0,92	0,28	3,29	0,008	0,297	1,544
Рис. 1.1. Результаты применения инструмента Регрессия
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение		ПредсказанноеY			Остатки
		1	148,7700683		-15,77006831
		2	152,4517905			-4,45179052
		3	157,0539433		-23,05394328
		4	149,6904989		4,309501138
		5	158,8948044		3,105195612
		6	174,5421238		20,45787622
		7	138,6453322		0,354667771
		8	157,9743738		0,025626164
		9	144,1679155		7,832084455
		10	157,0539433		4,946056717
		11	146,9292072			12,0707928
		12	182,8259988		-9,825998758

Рис. 2.1. Результаты применения инструмента Регрессия. Информация об остатках.

Требуется:

1.Используя рис. 1.1, записать получившееся уравнение регрессии и поясните смысл его параметров

2.Используя рис. 1.1, записать значение коэффициента детерминации. Рассчитать значение коэффициента парной корреляции. Поясните их смысл.

13

3.Оцените значимость уравнения регрессии в целом, используя данные дисперсионного анализа рис.1.1.

4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения, используя информацию об остатках рис. 2.1.

29.Для некоторой модели получена следующая последовательность остатков (табл.12.1):

Таблица 12.1

i	1	2	3	4	5	6
ei	–5	10	–1	–5	2	–1

Известно, что дисперсия объясняемой переменной σу = 500. Чему равен коэффициент детерминации?

30. По территориям Центрального района известны данные за 2010 год (табл.13.1), при доле денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты в общей сумме среднедушевого денежного дохода у,%:

			Таблица 13.1
	Район	Доля доходов у, %.	Среднемесячная
			заработная плата х, руб
	Брянская обл.	6,9	289
	Владимирская обл.	8,7	334
	Ивановская обл.	6,4	300
	Калужская обл.	8,4	343
	Костромская обл.	6,1	356
	Орловская обл.	9,4	289
	Рязанская обл.	11,0	341
	Смоленская обл.	6,4	327
	Тверская обл.	9,3	357
	Тульская обл.	8,2	352
	Ярославская обл.	8,6	381
	Задание:

1.Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2.Рассчитайте параметры уравнения линейной парной регрессии.

3.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4.Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6.Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

14

Тест 2

1.Значение коэффициента корреляции составило 2. Следовательно

1.значение коэффициента корреляции рассчитано с ошибкой;

2.теснота связи в 2 раза сильнее, чем для функциональной связи;

3.связь функциональная;

4.при увеличении фактора на единицу значение результата увеличивается в 2 раза.

2.Значение коэффициента корреляции не характеризует …

1.статистическую значимость уравнения;

2.корень из значения коэффициента детерминации;

3.тесноту связи;

4.силу связи.

3.Для уравнения зависимости выручки от величины оборотных средств получено значение коэффициента детерминации, равное 0,7. Следовательно, _______ процентов дисперсии обусловлено случайными факторами.

1.30%;

2.100%;

3.70%;

4.0%.

4.Значения коэффициента корреляции может находиться в отрезке:

1.[-1;0];

2.[0;1];

3.[-1;1];

4.[-2;2].

5.Качество подбора уравнения оценивает коэффициент

1.корреляции;

2.детерминации;

3.эластичности;

4.регрессии.

6.Расчетное значение критерия Фишера определяется как отношение

1.дисперсий;

2.результата к фактору;

3.математических ожиданий;

4.случайных величин.

7.При хорошем качестве модели допустимым значением средней ошибки аппроксимации является …

1.5-7%;

2.50%;

3.90-95%;

4.20-25%.

15

8.Случайными воздействиями обусловлено 12% дисперсии результативного признака, следовательно, значение коэффициента детерминации составило:

1.88;

2.0,12;

3.0,88;

4.12.

9.Значение линейного коэффициента корреляции характеризует тесноту … связи.

1.нелинейной;

2.линейной;

3.случайной;

4.множественной линейной.

10.В качестве показателя тесноты связи для линейного уравнения парной регрессии используется:

1.множественный коэффициент линейной корреляции;

2.линейный коэффициент корреляции;

3.линейный коэффициент регрессии;

4.линейный коэффициент детерминации.

11.Значение коэффициента корреляции равно 0,9. Следовательно, значение коэффициента детерминации составит …

1.0,3;

2.0,81;

3.0,95;

4.0,1.

12.Если средняя ошибка аппроксимации равна 12%, то говорят, что

1.качество построенной модели плохое;

2.связь между признаком и фактором слабая;

3.качество построенной модели хорошее;

4.связь между признаком и фактором сильная.

13. Если 0

rxy

0,3, то о связи между фактором и признаком

можно сказать, что она

1.умеренная;

2.сильная;

3.отсутствует;

4.слабая.

14.О сильной связи между фактором и признаком говорит то, что

1. 0,3 rxy 0,7;

2. 0,7 rxy 1;

3. 0

rxy

0,3;

4. rxy 0.

16

15.«Необъясненную» сумму квадратов отклонений иначе называют:

1.остаточной суммой квадратов отклонений;

2.факторной суммой квадратов отклонений;

3.общей суммой квадратов отклонений;

4.средней суммой квадратов отклонений.

16.О слабой связи между фактором и признаком говорит то, что

1. 0,3 rxy 0,7;

2. 0,7 rxy 1;

3. 0

rxy

0,3;

4. rxy 0.

17.«Объясненную» сумму квадратов отклонений иначе называют:

1.общей суммой квадратов отклонений;

2.факторной суммой квадратов отклонений;

3.остаточной суммой квадратов отклонений;

4.средней суммой квадратов отклонений.

18.Коэффициент уравнения парной регрессии показывает:

1.тесноту связи между зависимой и независимой переменными;

2.на сколько процентов изменится зависимая переменная, если независимая переменная изменится на единицу;

3.на сколько процентов изменится зависимая переменная, если независимая переменная изменится на 1%;

4.на сколько единиц. изменится зависимая переменная, если независимая переменная изменится на 1 ед.

19.Степень влияния неучтенных факторов в рассматриваемой модели можно определить на основе:

1.парного линейного коэффициента корреляции;

2.частного коэффициента корреляции;

3.индекса корреляции;

4.коэффициента детерминации;

5.коэффициента регрессии.

20.Дисперсионный анализ уравнения парной регрессии проверяет:

1.значимость коэффициента корреляции;

2.значимость уравнения регрессии;

3.значимость коэффициента регрессии;

4.значимость свободного члена уравнения регрессии.

21.Коэффициент корреляции больше нуля, это означает, что

1.связь между переменными тесная;

2.связь между переменными прямая;

3.связь между переменными обратная;

4.связь между переменными отсутствует.

17

22.Оценка значимости уравнения в целом осуществляется по

критерию:

1.Фишера;

2.Дарбина-Уотсона;

3.Пирсона;

4.Стьюдента.

23.Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения

1.незначима;

2.несущественна;

3.отвергается;

4.принимается.

24.Табличное значение критерия Фишера определяется по:

1.уровню значимости и степеням свободы факторной и остаточной дисперсий;

2.уровню значимости и степени свободы общей дисперсии;

3.уровню значимости;

4.степени свободы факторной и остаточной дисперсий.

25.Общая дисперсия служит для оценки влияния

1.учтенных явно в модели факторов;

2.как учтенных факторов, так и случайных воздействий;

3.величины постоянной составляющей в уравнении;

4.случайных воздействий.

26.Остаточная дисперсия служит для оценки влияния

1.случайных воздействий;

2.величины постоянной составляющей в уравнении;

3.учтенных явно в модели факторов;

4.как учтенных факторов, так и случайных воздействий.

27.Расчетное значение критерия Фишера определяется как

1.разность факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы;

2.отношение факторной дисперсии к остаточной;

3.отношение факторной дисперсии к остаточной, рассчитанных на одну степень свободы;

4.суммы факторной дисперсии к остаточной, рассчитанных на одну степень свободы.

28.Факторная дисперсия служит для оценки влияния:

1.как учтенных факторов, так и случайные воздействия;

2.учтенных явно в модели факторов;

3.величины постоянной составляющей в уравнении;

4.случайных воздействий.

18

29.Расчетное значение критерия Фишера определяется как … факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы

1.произведение;

2.разность;

3.сумма;

4.отношение.

30.Парный линейный коэффициент корреляции характеризует наличие слабой обратной связи, значит он принимает следующее значение:

1.1,2;

2.–0,82;

3.0,23;

4.0,92;

5.–0,24.

31.Коэффициент корреляции равен нулю, это означает, что

1.связь между переменными тесная;

2.связь между переменными прямая;

3.связь между переменными обратная;

4.связь между переменными отсутствует.

32.Коэффициент корреляции меньше нуля, это означает, что

1.связь между переменными тесная;

2.связь между переменными прямая;

3.связь между переменными обратная;

4.связь между переменными отсутствует.

33.Остаточная сумма квадратов равна нулю:

1.когда правильно подобрана регрессионная модель;

2.когда между признаками существует точная функциональная связь;

3.никогда.

34.Табличное значение F-критерия Фишера меньше расчетного F-критерия Фишера. Это значит:

1.уравнение регрессии значимо;

2.уравнение регрессии незначимо;

3.все коэффициенты уравнения регрессии равны нулю;

4.не все коэффициенты уравнения регрессии равны нулю.

35.Остаточная сумма квадратов отклонений вычисляется по

формуле:

1.(у у)2 ;

2.у2 ny2 ;

3.(у ух )2 ;

4.x2 x2 .

19

§1.3. Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции. Прогнозирование по линейному уравнению регрессии.

Нелинейные модели. Показатель силы связи в модели парной регрессии.

Контрольные вопросы

1.Как оценивается значимость параметров уравнения регрессии?

2.От чего зависит точность предсказания значения зависимой переменной на основе уравнения парной регрессии?

3.Запишите все виды моделей, нелинейных относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров.

4.Как осуществляется линеаризация модели?

5.Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных соотношениях рассматриваемых признаков.

6.Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

Задачи

31. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть (х) и индексом нефтяных компаний (у) получены следующие данные

Среднее значение х – 16,2 (ден.ед); Среднее значение у – 4000 (усл.ед); Среднее квадратическое отклонение х – 4; Среднее квадратическое отклонение у – 500; Ковариация между х и у – 40;

(у ух )2 720, n=22

Необходимо: 1) составить уравнение регрессии; 2) используя уравнение регрессии, найти прогнозное значение индекса при прогнозной цене на нефть 16,5 ден.ед и построить доверительный интервал прогноза.

32. По совокупности 9 предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции изучается зависимость между признаками х (тыс.ед.) – выпуск продукции; у (млн.руб.) – затраты на производство. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: у=−5,79+36,84х, х 4 у 225. Определите коэффициент

детерминации. Оценить значимость коэффициента корреляции. 33. Рассчитайте, недостающие параметры таблицы 14.1:

Таблица 14.1

Уравнение регрессии	у=	193,54	+	???	х
Стандартные ошибки		???		0,073
t-значение		13,05		2,38

34. При анализе 12 областей выявлена зависимость среднего размера ежемесячных назначенных пенсий у, тыс. руб. от прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц х, тыс. руб. Получены уравнение регрессии у= 193,54+0,17х и доверительные интервалы для параметров регрессии (табл. 15.1):

20