sbornik zadach_econometrics

				Таблица 2.2
		Среднее	Среднее	Парный
Признак			квадратическое	коэффициент
		значение
			отклонение	корреляции
у		86,8	11,44	ryx =0,8405
				1
х	1	54,9	5,86	ryx = –0,2101
				2
х2		33,5	0,58	rx1x2 = –0,116

Постройте уравнение множественной регрессии в нормальном и стандартизованном виде.

53. Перейти от уравнения регрессии в натуральном масштабе переменных, описывающей зависимость среднедневного душевого дохода (у, руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего (х1, руб.) и среднего возраста безработного (х2, лет) у= 337,373+1,966х1–12,0867х2 к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе переменных, если

известно, что y	61,44,	x	25,86,	x	0,58 и интерпретировать
		1			2

коэффиценты уравнения регрессии.

Домашнее задание

55. В таблице 3.2 представлены реальный доход на душу населения у (тыс.дол.), процент рабочей силы, занятой в с/х, х1 и средний уровень образования населения в возрасте после 25 лет х2 для 15 развитых стран.

Таблица 3.2

Страна	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
у	7	9	9	8	8	14	9	8	11	11	12	9	12	10	12
х1	8	9	7	6	10	4	5	5	6	7	6	4	8	5	8
х2	9	13	11	11	12	16	11	11	12	14	11	15	15	10	13

Постройте уравнение регрессии и интерпретируйте оценки.

56. По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс.руб) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2 (%). Данные приведены в таблице 4.2.

					Таблица 4.2
			Среднее	Парный
Признак		Среднее значение	квадратическое	коэффициент
			отклонение	корреляции
у		250	38	ryx	=0,68
				1
х	1	47	12	ryx	=0,63
				2
х2		112	21	rx1x2	=0,42

Постройте уравнение множественной регрессии в нормальном и стандартизованном виде.

31

57. Перейти от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе переменных, описывающей зависимость объема производства (у, тыс. руб.) от количества занятых (х1, чел.) и стоимости основных фондов (х2 тыс. руб.) ty 0,4tx1 0,53tx2 , к уравнению регрессии в натуральном масштабе

переменных, если известно, что y					345,3, x	5,7, x	98,8,	y	3173,
	x1 48,3,	x			1		2
			2	597 и интерпретировать коэффициенты уравнения
регрессии.

Дополнительные задачи

58. На основании информации, приведенной в таблице 6.2, построено двухфакторное уравнение годового товарооборота в зависимости от торговой площади магазина (х1) и среднего числа посетителей в день (х2), которое выглядит следующим образом:

у= –10,8153+61,6583х1+2,2748х2.

Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии.

59. Дэвид Ромер, исследуя факторы, влияющие на академическую успеваемость студентов, построил следующую эконометрическую модель

Gi=1,07+1,74ATTi+0,6PSi, n=195,

где Gi – оценка (A – 4, B – 3, C – 2, F – 1, что соответствует российским оценкам от 5 до 2), полученная студентом класса Ромера на экзамене, ATTi

– доля лекций, посещенных данным студентом, PSi – доля выполненных им домашних заданий.

Задание:

1)Дайте интерпретацию коэффициентам регрессии.

2)Предположим, что лекции по курсу Ромера занимают 25 часов, а выполнение всех домашних заданий – 50 часов. Если у студента появился лишний час, который он может посвятить учебе, следует ли ему с целью повышения будущей оценки пойти на лекцию, или лучше остаться дома и заниматься домашними заданиями?

3)Как бы изменились ваши рекомендации, если бы структура курса была иной: 50 часов лекций и 10 часов на выполнение домашних заданий?

60.Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в табл. 5.2.

Таблица 5.2

у	31,4	30,4	32,1	31	30,5	29,8	31,1	31,7	30,7	29,7
х1	4,1	4,2	4	4,6	4	5	3,9	4,4	4,5	4,8
х2	1050	1010	1070	1060	1000	1040	1030	1080	1050	1020

Оцените с помощью метода наименьших квадратов параметры линейного двухфакторного уравнения и интерпретировать оценки.

32

Тест 4

1. В стандартизованном уравнении множественной регрессии

переменными являются:
1. исходные переменные;	2. стандартизованные параметры;

3.средние значения переменных; 4. стандартизованные переменные.

2.В стандартизованном уравнении свободный член ….

1.равен 1;

2.равен коэффициенту множественной детерминации;

3.равен коэффициенту множественной корреляции;

4.отсутствует.

3.Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …

1.корреляции между ними по модулю больше 0,7;

2.детерминации между ними по модулю больше 0,7;

3.детерминации между ними по модулю меньше 0,7;

4.корреляции между ними по модулю меньше 0,7.

4.Объем выборки определяется …

1.числовыми значением переменных, отбираемых в выборку;

2.объемом генеральной совокупности;

3.числом параметров при независимых переменных;

4.числом результативных переменных.

5.Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид

у = 20 + х1 – 2х2. Определите какой из факторов х1 или х2 оказывает более сильное влияние на у:

1.х2, так как 2 > 1;

2.оказывают одинаковое влияние;

3.х1, так как 1 > – 2;

4.по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой.

6.Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии, различают …

1.линейную и нелинейную регрессии;

2.непосредственную и косвенную регрессии;

3.простую и множественную регрессию;

4.множественную и многофакторную регрессию.

7.В стандартизованном уравнении множественной регрессии

ty 0,3tx1 2,1tx2 . Определите, какой из факторов х1 или х2 оказывает более сильное влияние на у:

1.х2, так как 2,1 > 0,3;

2.по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии;

3.х1, так как 0,3 > –2,1;

33

4.по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизированные коэффициенты несравнимы между собой.

8.Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода:

1.	средних квадратов;	2.	наибольших квадратов;
3.	нормальных квадратов;	4.	наименьших квадратов.

9.Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является:

1.отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором;

2.отсутствие взаимосвязи между факторами;

3.отсутствие линейной взаимосвязи между факторами;

4.наличие тесной взаимосвязи между факторами.

10.Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор,

1.который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами;

2.который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами;

3.который при отсутствии связи с результатом имеет наименьшую связь с другими факторами;

4.который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами.

11.Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем

результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов, называется ____________

коэффициентом регрессии

1.	стандартизованным;	2.	нормализованным;
3.	выровненным;	4.	центрированным.

12. Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …

1.наличие нелинейной зависимости между двумя факторами;

2.наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами;

3.отсутствие зависимости между факторами;

4.наличие линейной зависимости между двумя факторами.

13. Для построения модели линейной множественной регрессии вида

y a b1x1 b2x2 необходимое количество наблюдений должно быть не менее:

1. 2; 2. 7; 3. 14; 4. 10.

14. Включение фактора в модель целесообразно, если коэффициент регрессии при этом факторе является …

1. нулевым; 2. незначимым; 3. существенным; 4. несущественным.

34

§2.2. Показатели силы связи в модели множественной регрессии. Множественная корреляция

Контрольные вопросы

1.Какие коэффициенты используются для оценки сравнительной силы воздействия факторов на результат?

2.От чего зависит величина скорректированного индекса множественной корреляции?

3.Каково назначение частной корреляции при построении модели множественной регрессии?

4.Поясните смысл показателей частной детерминации.

Задачи

61. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов х1 (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%).

у = –1,8353 + 0,9459х1 + 0,0856х2, где y= 9,6;x1= 6,19; x2 = 22,3.

Задание:

1)Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2)Ранжировать факторы по силе влияния.

62.Имеется информация по 25 наблюдениям (табл. 6.2).

								Таблица 6.2
	Признак		Среднее		Коэффициент		Уравнение регрессии
			значение		вариации %
	у		35	20			у = 20 + х1 – 2,0х2
	х1		16	30			у = 9 +1,1 х1
	х2		8	10			у = 4 – 4,1х2
	Найдите	частные коэффициенты эластичности.
	63. По результатам применения инструмента Регрессия (рис. 1.2)
	Регрессионная статистика
	Множественный R		0.915377
	R-квадрат		0.837915
	Нормированный R-
	квадрат		0.81476
	Стандартная ошибка		6.956614
	Наблюдения		25
			Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение
	Y-пересечение		23.91744	7.181353			3.330493	0.003175
	X1		2.137686	3.352659			0.637609	0.530619
	X2		-0.06742	0.073135			-0.92185	0.367075
	X3		0.892212	0.089374			9.982921	2.00E-09

Рис. 1.2. Результаты применения инструмента Регрессия

35

составить уравнение множественной регрессии, определить коэффициенты множественной корреляции и детерминации, найти значение скорректированного коэффициента множественной детерминации и сделать выводы.

64. Найти показатели тесноты связи для модели: ty 0,4tx1 0,5tx2 0,4tx3 0,3tx4 ,

если известны парные коэффициенты результата с каждым из ее факторов: ryx1 0,6, ryx2 0,7, ryx3 0,6, ryx4 0,4.

65. Предположим, что изучается зависимость тиража газеты у от ожидаемого дохода от распродажи газеты х1, количества персонала редакции х2, рейтинга газеты среди других газет, распространяемых в регионе х3. В этом случае матрица парных коэффициентов корреляции составила:

	1
	0,69	1
			1		.
0,58		0,46
	0,55	0,5	0,41	1

Задание:

1)Определить частные коэффициенты корреляции.

2)Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном виде.

3)Определить показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

Домашнее задание

66. По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

	1
	0,3	1
			1		.
0,6		0,1
	0,4	0,15	0,8	1

Задание:

1)Определить частные коэффициенты корреляции.

2)Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном виде.

3)Определить показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

67.Предположим, что по ряду регионов множественная регрессия величины импорта на определенный товар y относительно отечественного его производства х1, изменения запасов х2 и потребления на внутреннем рынке х3 оказалось следующей:

36

у = – 66,028 + 0,135х1 + 0,476х2 + 0,343х3.

При этом средние значения для рассматриваемых признаков составили:

y= 31,5;x1= 245,7; x2 = 3,7; x3 = 182,5.

Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат и ранжировать факторы по силе влияния.

68. По 30 наблюдениям получены следующие данные: Уравнение регрессии:

у = а + 0,176х1 + 0,014х2 – 7,75х3.

При этом получены следующие данные y= 200;x1= 150; x2 = 20; x3 = 100. Коэффициент детерминации равен 0,65.

Задание:

1)Определите частные коэффициенты эластичности.

2)Оцените параметр а.

Дополнительные задачи

69. Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт/час) от объемов производства продукции А – х1 (тыс. ед.) и продукции Б – х2 (тыс. ед.) характеризуется следующим образом (табл. 7.2):

		Таблица 7.2
Уравнение регрессии	ty	0,79tx	0,56tx	2
		1
Коэффициент детерминации		0,95
Коэффициент вариации у		27%
Коэффициент вариации х1		45%
Коэффициент вариации х2		40%

Задание:

1)Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат.

2)Учитывая значения коэффициентов вариации рассматриваемых признаков, определите частные коэффициенты эластичности,

сделайте по ним выводы.

70. По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х1 – количество осадков в период вегетации (мм); х2 – средняя температура воздуха (0С).

Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид (табл. 8.2):

Таблица 8.2

у х1 х2

у1

х1	0,6	1
х2	– 0,5	– 0,9	1
		37

Задание:

1)Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции результатов.

2)Исследователь, анализирующий данную зависимость, намерен определить на основе приведенной выше матрицы, какое уравнение регрессии лучше строить:

а) парную линейную регрессию у на х1;

б) парную линейную регрессию у на х2 ; в) множественную линейную регрессию.

Как бы вы ответили на эти вопросы?

3)Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

71.Изучается зависимость тиража газеты (у) от ожидаемого дохода от распродажи газеты (х1), количества персонала редакции (х2), рейтинга газеты среди других газет, распространяемых в регионе (х3). Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

	1
	0,69	1
			1		.
0,58		0,46
	0,55	0,50	0,41	1

Найти частные коэффициенты корреляции первого и второго порядка.

72. Задана следующая матрица коэффициентов корреляции между попарно объединенными переменными х1, х2, х3:

	1
	0,8	1
				.
	0,9	0,6	1

Рассчитать коэффициент множественной корреляции переменной х2

спеременными х1, х3.

73.Коэффициенты парной корреляции равны:

ryx1 0,8, ryx2 0,7, rx1x2 0,9.

Чему равен коэффициент множественной корреляции между переменной у и переменными х1, х2?

74. Заданы следующие коэффициенты корреляции пар переменных

х1, х2, х3, х4 и х5:

r12=0,43; r53=0,62; r42=0,25; r51=0,54; r14=0,28; r45=0,53; r25=0,26; r31=0,53; r23=0,4.

Построить полную матрицу коэффициентов корреляции всех пар переменных.

38

Тест 5

1. В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между ...

1.	переменными;	2.	параметрами и переменными;
3.	параметрами;	4.	переменными и случайными факторами.

2. Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления

коллинеарных и мультиколлинеарных …
1.	параметров;	2.	случайных факторов;
3.	существенных факторов;	4.	результатов.

3. Исследуется зависимость, которая характеризуется линейным уравнением множественной регрессии. Для уравнения рассчитано значение тесноты связи результативной переменной с набором факторов. В качестве этого показателя был использован множественный коэффициент

1. корреляции;	2. эластичности; 3. регрессии;	4. детерминации.
4. Множественный	коэффициент корреляции Ryx x	0,9. Определите,
	1	2

какой процент дисперсии зависимой переменной y объясняется влиянием

факторов x1 и x2 :
1. 90%;	2. 81%;	3. 19%;	4. 9%.

5.Частные коэффициенты корреляции:

1.характеризуют тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком;

2.содержат поправку на число степеней свободы и не допускают преувеличения тесноты связи;

3.характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании других факторов, включенных в уравнение регрессии.

6.Коэффициенты частной корреляции позволяют:

1.выявить связь между одной и многими переменными;

2.выявить парную связь между переменными;

3.выявить чистую связь между переменными;

4.элиминировать наведенные связи между переменными.

7.Коэффициенты множественной корреляции позволяют:

1.выявить связь между одной и многими переменными;

2.выявить парную связь между переменными;

3.выявить чистую связь между переменными;

4.элиминировать наведенные связи между переменными.

8.Скорректированный коэффициент детерминации

1.меньше обычного коэффициента детерминации;

2.больше обычного коэффициента детерминации;

3.меньше или равен обычному коэффициенту детерминации;

4.больше или равен обычного коэффициента детерминации.

39

§2.2. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции

Контрольные вопросы

1.Что понимается под значимостью параметра?

2.Какой критерий используется для оценки значимости параметров уравнения регрессии?

3.Для чего используется частный F-критерий?

4.Что понимают под значимостью модели регрессии в целом? Какой метод используется для ее оценки?

Задачи

75. По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация (табл. 9.2), характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн. руб.) от количества отработанных за год человеком часов х1 (тыс. чел./час) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн. руб.):

		Таблица 9.2
	Уравнение регрессии	у =35+ 0,06х1 +2,5х2
	Множественный коэффициент корреляции	0,9
	Сумма квадратов отклонений расчетных	3000
	значений результата от фактических
	Задание:

1)Определите коэффициент детерминации в этой модели.

2)Составьте таблицу дисперсионного анализа.

76.Предположим, что модель урожайности пшеницы у (ц/га) от количества внесенных минеральных удобрений на 1га х1 (ц) и осадков х2 (мм) характеризуется следующим уравнением:

у= –120+0,2х1–0,008х12+0,8х2–0,001х22+ .

При этом y =2; п=30; R=0,85.

Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости =0,05 статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

77. По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа (табл. 10.2) зависимости объема численности занятых на предприятии х1 (чел) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб):

	Множественный коэффициент		Таблица 10.2
			0,85
	корреляции
		у = ??? + 0,48х1 +		20х2 ,
	Уравнение регрессии
	Стандартные ошибки параметров	(2)	(0,06)	(???)
	t – значение	(1,5)	(???)	(4)
		40