sbornik zadach_econometrics

Задание:

1)Восстановите пропущенные характеристики.

2)С вероятностью 90%, 95% и 99% постройте доверительный интервал для коэффициентов регрессии.

78.По данным полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от трех факторов: численности работников х1, количества минеральных удобрений х2 (кг) и количества осадков в период вегетации х3 (г). Были получены следующие результаты (табл. 11.2

и12.2):

1)		Таблица 11.2
R2
	0,75
Уравнение регрессии	у = –5 + 0,8х1 + 1,2х2
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при	нижняя (0,4)	верхняя (???)
факторе х1
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при	нижняя (???)	верхняя (1,4)
факторе х2
2)		Таблица 12.2
R2
		0,77
Уравнение регрессии	у = 2 + 0,5х1 + 1,7х2 – 2х3
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (0,1)	верхняя (???)
х1
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (???)	верхняя (2,3)
х2
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (???)	верхняя (1,5)
х3
Задание:

1)Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2)Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

79.Регрессия зависимой переменной у на три независимые переменные на основе п=30 наблюдений дала следующие результаты

(табл. 13.2):

41

						Таблица 13.2
Уравнение регрессии	у = 25,1	+ 1,2х1		+ х2	– 0,5х3
Стандартные ошибки	(2,1)	(1,5)		(1,3)		(0,06)
t-значение	(11,9)	(	)	(	)	(	)
95% - доверительные границы	( 4,3) (		)	(	)	(	)
Заполните пропуски.

Домашнее задание

80. По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась значимость производительности труда – у от уровня квалификации рабочих – х1 и энерговооруженности их труда – х2. Результаты оказались следующими

(табл. 14.2):

			Таблица 14.2
Множественный коэффициент		0,85
корреляции	у = а + 10х1 + 2х2,
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	(0,5)	(2)	(???)
t-критерий	(3)	(???)	(5)

Задание:

1)Определите параметр а и заполните пропущенные значения.

2)Оцените значимость уравнения в целом.

81.По 50 семьям изучалось потребление мяса – у (кг на душу населения) от дохода – х1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы – х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующими

(табл. 15.2):

	Множественный коэффициент	Таблица 15.2
		0,85
	корреляции
		у = –180 + 0,2х1 – 0,4х2,
	Уравнение регрессии
	Стандартные ошибки параметров	(20) (0,01) (0,25)

Задание:

1)Оцените значимость параметров уравнения.

2)Рассчитайте F-критерий Фишера.

82.По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от четырех факторов: численности работников х1 (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева х2 (кг), количества осадков в период вегетации х3 (г) и качества почвы х4 (баллов). Были получены следующие варианты уравнений регрессии и доверительные интервалы коэффициентов регрессий (табл. 16.2 и 17.2)

42

R2		Таблица 16.2
		0,77
уравнение регрессии	у = 2 + 0,5х1 + 1,7х2 – 2х3
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (???)	верхняя (0,8)
х1
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (1,3)	верхняя (???)
х2
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (−2,2)	верхняя (???)
х3		Таблица 17.2
R2
		0,81
уравнение регрессии	у = 6,4 + 0,7х1 + 1,5х2 – 2х3+ 0,8х4
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (0,3)	верхняя (???)
х1
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (−0,2)	верхняя (???)
х2
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (???)	верхняя (−1,2)
х3
95% доверительный интервал для
коэффициента регрессии при факторе	нижняя (???)	верхняя (1,2)
х4

Задание:

1)Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2)Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Дополнительные задачи

83. По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл.18.2): зависимость среднегодового душевого дохода у (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности занятых х1(%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения х2 (%).

43

									Таблица 18.2
Признак		Среднее		Среднее	Характеристика			Уравнение
		значение		квадратическое	тесноты связи				связи
				отклонение
у		112,76		31,58	Rух х		0,773	ух х	130,49
						1	2	1	2
								6,14х1 4,13х2
х1		5,40		3,34	rух		0,746	ух	74,4 7,1х1
						1		1
х2		50,88		1,74	rух		0,507	ух	355,3 9,2
						2		2
					rх х		0,432
					1	2
Задание:
	1) Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при
		уровне	значимости 0,05			статистической			значимости

уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2)С помощью частных F -критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора х1 после фактора х2 и насколько целесообразно включение х2 после х1.

3)Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных х1 и х2 множественного уравнения регрессии.

84.Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

у 21,1 6,2х	0,95х	2	3,57х ;	R2 0,7;
1	0,54		3
1,8			0,83

где у – цена объекта, тыс. долл.; х1– расстояние до центра города, км;

х2 – полезная площадь объекта, кв. м; х3 – число этажей в доме, ед.;

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.

1)Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.

2)Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.

3)Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.

85.По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа (табл. 19.2) зависимости объема

44

выпуска продукции у (млн.руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн.руб.):

		Таблица 19.2
Коэффициент детерминации		0,81
Множественный коэффициент		???
корреляции	lnу = а +	0,48lnх1 + 0,62lnх2,
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	(2)	(0,06)	(???)
t-критерий	(1,5)	(???)	(5)
Задание:

1)Напишите уравнение регрессии, характеризующей зависимость у от х1 и х2.

2)Восстановите пропущенные характеристики.

3)С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4)Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

86. По 50 семьям изучалось потребление мяса у (кг на душу населения) от дохода х1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующими

(табл.20.2):

	Таблица 20.2
Множественный коэффициент	0,85
корреляции	у = −180 + 0,2х1 − 0,4х2,
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	(20) (0,01) (0,25)
Задание:

1)Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.

2)Рассчитайте F-критерий Фишера.

3)Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность

включения в модель:

а) фактора х1 после фактора х2; б) фактора х2 после фактора х1.

87. В 2001 г. европейское мясное лобби размышляет на тему, стоит ли оказать давление на правительства стран-членов ЕС, чтобы новые случаи заболевания губчатой энцефалопатией и болезнью КройцфельдаЯкоба не становились достоянием гласности. Безусловно, такое давление будет стоить недешево, и поэтому необходимо предварительно оценить полезность подобных действий. Оценивается зависимость yt (доли вегетарианцев среди населения t-й страны ЕС) от x1t (числа ставших известными случаев инфицирования коров губчатой энцефалопатией) и x2t (числа ставших известными случаев заболевания людей болезнью Кройцфельда-Якоба). Исследование проводится для Т = 15 стран.

45

Результаты оценивания по МНК (в скобках даны стандартные отклонения оценок коэффициентов):

yt = 0,21 + 0,0030 x1t + 0,0092 x2t + еt (0,045) (0,0016) (0,0050).

Задание:

1)Проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения при = 0,05.

2)Проверить совместную статистическую значимость переменных x1 и x2, если сумма квадратов ошибок составляет 0,0084, а дисперсия наблюдаемой переменной у = 0,0011.

88.Стандартные ошибки структурных параметров линейной модели при переменных x1 и x2 равны: 0,5 и 4.

Значения эмпирических t-критериев Стьюдента, соответствующих конкретным параметрам, равны: 4,5 и 20.

Рассчитать значения оценок структурных параметров.

89.На основе 30-элементной пробы оценены структурные параметры

истандартные ошибки структурных параметров следующей модели:

у= 100 + 21х1 +6х2 – 9х3.

(10)(3) (10) (1)

Для уровня значимости = 0,10 исследовать существенность структурных параметров этой модели

90. На основе статистических данных за 10 лет оценены структурные параметры и стандартные погрешности оценивания структурных параметров линейной модели, описывающей зависимость объемов производства у от количества работающих х1 и установочной мощности оборудования х2:

у= 54 + 23,4 х1 + 6,44 х2. (6,5) (5,1) (0,83)

Для уровня значимости = 0,05 исследовать, оказывают ли объясняющие переменные х1 и х2 существенное влияние на объясняемую переменную у.

91. На основе статистических данных по 10 производственным предприятиям оценены структурные параметры модели производительности у относительно технической оснащенности труда х1 и среднего трудового стажа работников предприятия х2.

у = 31 + 2,1 х1 + 0,42 х2.

Коэффициент множественной корреляции переменной у с переменными х1 и х2 равен 0,6. При уровне значимости = 0,05 исследовать, можно ли считать этот коэффициент статистически существенным.

46

Тест 6

1.Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения …

1.отвергается; 2. незначима; 3. принимается; 4. несущественна.

2.Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента

1.больше табличного значения критерия;

2.равно нулю;

3.не больше табличного значения критерия Стьюдента;

4.меньше табличного значения критерия.

3.Число степеней свободы для остаточной суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:

1.n 1; 2. m; 3. n m 1; 4. 1.

4.Число степеней свободы для общей суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:

1.n 1; 2. m; 3. n m 1; 4. 1.

5.Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:

1.n 1; 2. m; 3. n m 1; 4. 1.

6.Частный F -критерий:

1.оценивает значимость уравнения регрессии в целом;

2.служит мерой для оценки включения фактора в модель;

3.ранжирует факторы по силе их влияния на результат.

7.Оценить значимость коэффициентов регрессии в множественной линейной модели можно при помощи:

1.коэффициента корреляции;

2.коэффициента автокорреляции;

3.критерия Стьюдента;

4.критерия Дарбина-Уотсона.

8.Что определяет критерий Фишера:

1.тесноту связи функции отклика от переменных факторов;

2.силу связи между результатом и фактором;

3.оценку значимости уравнения регрессии в целом;

4.долю дисперсии результативного признака в общей дисперсии.

9.Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в линейной

модели множественной регрессии y 15 2x1 0,6x12 0,8x2 0,4x22 равно:

1.4; 2. m; 3. n m 1; 4. 1.

10.Какое выражение является верным:

1.Общая сумма квадратов отклонений равна (у у)2 ;

2.Факторная сумма квадратов отклонений равна (у ух )2 ;

3.Остаточная сумма квадратов отклонений равна (ух у)2 ;

4.Факторная сумма квадратов отклонений равна у2 ny2 .

47

11.t -критерий

1.служит мерой для оценки включения фактора в модель;

2.ранжирует факторы по силе их влияния на результат;

3.оценивает значимость коэффициента регрессии;

4.оценивает значимость уравнения регрессии в целом.

12.Табличное значение t-критерия Стьюдента при оценке значимости коэффициента множественной регрессии имеет … число степеней свободы

1. п−т−1;

2. п−2;

3. п−1;

4. т−1.

13.Расчетное значение критерия Фишера определяется как отношение ….

1.Дисперсий;

2.Результата к фактору;

3.Математических ожиданий;

4.Случайных величин.

14.Установите соответствие между параметром и формулой, по которой он вычисляется

___

__ __

1. t-статистика коэффициента регрессии;

A)

xy x y

;

___

___

x2

(

x

)2

у2 (

y

)2

2.

Частный F-критерий Фишера;

B) у2

n(1 R2);

R2

r2

n 3 ;

3.

Факторная сумма квадратов отклонений;

С)

yx x

yx

1 Ryx2

x

1

2

2

b

1

2

4.

Остаточная сумма квадратов отклонений;

D)

mb

Е) (ух у)2 .

15. Известны факторная и общая суммы квадратов отклонений: Σфакт=9300, Σобщ=11065. Тогда остаточная сумма квадратов отклонений будет равна:

1. 1765; 2. 20365; 3. 9300; 4. 11065.

16.Какое выражение является верным:

1.Оценка значимости коэффициентов множественной регрессии осуществляется по критерию Стьюдента;

2.Факторная сумма в модели множественной регрессии имеет n−m−1 степеней свободы;

3.Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью метода наименьших квадратов;

4.Согласно основной идее дисперсионного анализа факторная сумма квадратов отклонений раскладывается на две часть – «объясненную» и «необъясненную»;

5.Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии.

48

Глава 3

Системы эконометрических уравнений

Контрольные вопросы

1.Назовите возможные способы построения систем уравнений. Чем они отличаются друг от друга?

2.Как связаны между собой структурная и приведенная формы модели?

3.В чем состоят проблемы идентификации модели и какие условия идентификации (необходимое и достаточное) вы знаете?

4.Раскройте суть косвенного метода наименьших квадратов.

5.В каких случаях используется двухшаговый метод наименьших квадратов? Раскройте его содержание.

6.Что представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа? Как интерпретируются коэффициенты приведенной формы такой модели?

7.Приведите пример динамической модели экономики.

8.Как строится структурная модель спроса и предложения?

Задачи

92.Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой

модели:

у1 = –4 + ???у2 – 9,4х2 у2 = 12,83 – 2,67у1 + ???х1

у3 = 1,36 – 1,76у1 + 0,828у2

Приведенная форма модели:

у1 = 2 + 4х1 – 3х2 у2 = 7,5 + 5х1 + 8х2

у3 = 4 + ???х1 + ???х2.

Вставьте пропущенные характеристики.

93. Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х). Ниже представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели (табл. 1.3).

							Таблица 1.3
Уравнение	у1	у2	у3	у4	х1	х2	х3
1	–1	0	в13	в14	с11	0	0
2	0	–1	в23	0	с21	0	0
3	0	в32	–1	0	с31	0	с33
4	в41	в42	в43	–1	0	с42	с43

Проверьте структурную форму на идентификацию.

49

94. Имеется следующая модель:

у1 а1 b11x1 b12 x2 c12 y2,

у2 а2 b22 x2 b23x3 c21y1,

у3 а3 b31x1 b33x3.

Приведенная форма этой модели имеет вид y1 6 8x1 10x2 4x3, y2 16 12x1 70x2 8x3, y3 10 5x1 22x2 5x3.

Определите все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

95. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели и запишите приведенную форму модели.

Модель денежного рынка:

Rt = a1 + b11Mt + b12Yt + 1,

Yt = a2 + b21Rt + b22It + 2, It = a3 + b33Rt + 3,

где R – процентные ставки; Y – ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции.

Домашнее задание

96. Имеется следующая модель:

у1 b11x1 b12 x2 c12 y2 ,

у2 b22x2 с23 у3 c21y1,

у3 b31x1 b33x3 c32 y2.

Приведенная форма этой модели имеет вид y1 3x1 6x2 2x3, y2 2x1 4x2 10x3, y3 5x1 6x2 5x3.

Определите структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели проверьте структурную форму модели на идентификацию.

97. Пусть имеется следующая модель:

у1 а1 c12 y2 с13 у3 b12 x2,

у2 а2 c21 y1 c23 y3 b21x1 b22x2 ,

у3 а3 c34 y4 b32 x2 b33x3,

у4 а4 c42 y2 c43 y3 b43x3.

Этой модели соответствует следующая приведенная форма:

50