sbornik zadach_econometrics

времени использовались натуральные числа, начиная с 1). Показатели за 2009 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в таблице 2.4.

				Таблица 2.4
Время	Фактический	Компонента, полученная по аддитивной
года	объем продаж		модели
	в 2009 г.	трендовая	сезонная	случайная
Зима	100			+4
Весна			10	+5
Лето	150		25
Осень

Определите недостающие в таблице 2.4 данные, учитывая, что объем продаж компании АВС за 2009 г. в целом составил 490 млн. руб.

104. На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн. кВт*ч) за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 3.4:

Таблица 3.4

Январь	+ 25	Май	– 32	Сентябрь	+ 2
Февраль	+ 10	Июнь	– 38	Октябрь	+ 15
Март	+ 6	Июль	– 25	Ноябрь	+ 27
Апрель	– 4	Август	– 18	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом: Т 300 2t

(при расчете параметров тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа t 1:36).

Задание:

1)Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2)На основе построенной модели дайте точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

105.На основании поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние пять лет построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводится в табл. 4.4:

Таблица 4.4

I…1,4	III…0,7
II…0,8	IV…???

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т =9,2 – 0,3t

61

(при расчете параметров тренда для нумерации кварталов использовались натуральные числа t от 1 до 20).

Задание:

1)Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.

2)На основе построенной модели дайте точечный прогноз уровня безработицы в течение первого квартала следующего года.

106. Имеются следующие данные об уровне безработицы уt (%) за 8

месяцев:
Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8
уt	8,8	8,6	8,4	8,1	7,9	7,6	7,4	7,0

Задание:

1)Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

2)Обоснуйте выбор уравнения тренда и определите его параметры.

Домашнее задание
107. Пусть имеется следующий временной ряд:
t	1	2	3	4	5	6	7	8
хt	20	…	…	…	…	…	…	10
Известно также, что хt				150, хt2		n
					8100, хt xt 1		7350.

t 2

Задание:

1)Определите коэффициент автокорреляции уровней этого ряда первого порядка.

2)Установите, включает ли исследуемый временной ряд тенденцию.

108.Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 2006 – 2010 гг. была построена мультипликативная модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид:

T 100 2t (при построении тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа, начиная с 1). Показатели за 2008 г., полученные в ходе построения мультипликативной модели, представлены в таблице 5.4.

					Таблица 5.4
Время	Фактический	Компонента, полученная по аддитивной
года	объем продаж			модели
	в 2008 г.	трендовая		сезонная	случайная
Зима	100				+4
Весна				10	+5
Лето	150			25
Осень
			62

Определите недостающие в таблице 5.4 данные, учитывая, что объем продаж компании АВС за 2008 г. в целом составил 510 млн. руб.

109. На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние четыре года была построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующий месяц приводятся в табл. 6.4:

Таблица 6.4

Месяц	Скорректированные значения
	сезонной компоненты
Январь	–1
Февраль	2
Март	–0,5
Апрель	0,3
Май	–2
Июнь	–1,1
Июль	3
Август	1
Сентябрь	2,5
Октябрь	1
Ноябрь	–3
Декабрь	???

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

T = 2,5 + 0,03t

(при расчете параметров тренда для нумерации кварталов использовались натуральные числа t от 1 до 48).

Задание:

1)Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2)На основе построенной модели дайте точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

Дополнительные задачи

110.По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней:

r1=0,63; r2=0,38; r3=0,72; r4=0,97; r5=0,55; r6=0,4; r7=0,65; ri – коэффициенты автокорреляции i-го порядка.

Задание:

1)Охарактеризуйте структуру этого ряда, используя графическое изображение.

2)Для прогнозирования значений временного ряда в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Указать общий вид этого уравнения.

111.Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 2005-2009 гг. (табл. 7.4)

63

			Таблица 7.4
Номер	Товарооборот, % к	Номер	Товарооборот, % к
квартала	предыдущему периоду	квартала	предыдущему периоду
1	100	11	98,8
2	93,9	12	101,9
3	96,5	13	113,1
4	101,8	14	98,4
5	107,8	15	97,3
6	96,3	16	102,1
7	95,7	17	97,6
8	98,2	18	83,7
9	104	19	84,3
10	99	20	88,4

Задание:

1)Постройте график временного ряда.

2)Постройте мультипликативную модель временного ряда.

3)Оцените качество модели через показатели средней абсолютной

ошибки и среднего относительного отклонения.

112. В таблице 8.4. приводятся данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле, в сопоставимых ценах 2005 г., млрд долл.

					Таблица 8.4.
Месяц	2006 г.	2007 г.	2008 г.	2009 г.	2010 г.
Январь	472,5	477,9	510,9	541	578,2
Февраль	482,1	467,5	484,7	512,3	539,4
Март	489,5	470,9	486,6	512,6	545,3
Апрель	493,6	469,1	488,4	511,5	551,9
Май	488	478,1	489,5	511,9	549,7
Июнь	490,6	480,6	486,6	513,9	550,1
Июль	492,5	479,3	491,8	520	554
Август	488,1	484,2	495,2	515,9	550
Сентябрь	493,1	484,9	491,8	524,2	565,6
Октябрь	484,5	485,6	496,1	527,1	564,7
Ноябрь	483	486,1	498,8	529,8	566,9
Декабрь	476,9	484,1	501,5	534,9	572,7
Задание

1)Рассчитайте трендовую и сезонные компоненты.

2)Постройте аддитивную модель этого ряда.

3)Постройте автокорреляционную функцию временного ряда объема продаж в перерабатывающей промышленности и торговле. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

64

113. Имеются даные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд долл., цены Фондовой Общероссийской биржи (ФОБ)) за 20042009гг. (табл. 9.4.)

			Таблица 9.4.
Номер	Экспорт, млрд	Номер	Экспорт, млрд
квартала	долл., цены ФОБ	квартала	долл., цены ФОБ
1	4087	13	6975
2	4737	14	6891
3	5768	15	7527
4	6005	16	7971
5	5639	17	5875
6	6745	18	6140
7	6311	19	6248
8	7107	20	6041
9	5741	21	4626
10	7087	22	6501
11	7310	23	6284
12	8600	24	6707
Задание:

1)Построить график временного ряда.

2)Построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда.

3)Оценить качество каждой модели через показатели средней абсолютной ошибки среднего относительного отклонения. Выберете лучшую модель.

114.На основе поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние 5 лет была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводятся в табл.10.4:

Таблица 10.4

I…1,3	III…0,7
II…0,9	IV…???

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

T = 8−0,5t

(при расчете параметров тренда для нумерации кварталов использовались натуральные числа t от 1 до 20).

Задание:

1)Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.

2)На основе построенной модели дайте точечный прогноз уровня безработицы на I квартал следующего года.

65

Тест 8

1.Временной ряд – это совокупность значений экономического показателя

1.за несколько непоследовательных моментов (периодов) времени;

2.независящих от времени;

3.по однотипным объектам;

4.за несколько последовательных моментов (периодов) времени.

2.В общем случае каждый уровень временного ряда формируется под воздействием …

1.случайных временных воздействий;

2.сезонных колебаний и случайных факторов;

3.тенденции, сезонных колебаний и случайных факторов;

4.тенденции и случайных факторов.

3.Автокорреляционной функцией временного ряда называется:

1.последовательность приращений коэффициентов автокорреляции уровней различных порядков;

2.последовательность отношений коэффициентов автокорреляции к величинам соответствующих лагов;

3.зависимость коэффициентов автокорреляции первого порядка от числа уровней временного ряда;

4.последовательность значений коэффициентов автокорреляции различных порядков.

4.Известны значения мультипликативной модели временного ряда: Y=15

– значение уровня ряда, T=5 – значение тренда, S=3 – значение сезонной компоненты. Определите значение компоненты (случайной компоненты).

1. E= –1;

2. E=3;

3. E=1;

4. E=0.

5.Мультипликативная модель содержит исследуемые факторы …

1.в виде их отношений;

2.в виде слагаемых;

3.в виде сомножителей;

4.в виде комбинации слагаемых и сомножителей.

6.Уровень временного ряда может формироваться под воздействием тенденции, сезонных колебаний и …

1.	динамической составляющей;	2.	тренда;
3.	циклических колебаний;	4.	случайных воздействий.

7.Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только:

1.тенденцию;

2.циклические колебания с периодичностью в один момент времени;

3.сильную нелинейную тенденцию;

4.случайную компоненту.

8.Коррелограммой называется:

1.графическое отображение автокорреляционной функции;

2.аналитическое выражение для автокорреляционной функции;

66

3.графическое отображение регрессионной функции;

4.процесс экспериментального нахождения значений автокорреляционной функции.

9.Известны значения аддитивной модели временного ряда: Y=30 – значение уровня ряда, Т=15 – значение тренда, E=2 – значение случайной компоненты. Определите значение сезонной компоненты .

1. 0;

2. 13;

3. 1;

4. –1.

10.Временной ряд характеризует …

1.совокупность последовательных моментов (периодов) времени;

2.данные, описывающие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

3.зависимость последовательных моментов (периодов) времени;

4.данные, описывающие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени.

11.Основной задачей моделирования временных рядов является …

1.исключение уровней из совокупности значений временного ряда;

2.выявление и придание количественного значения каждой из трех компонент;

3.исключение значений каждой из трех компонент из уровней ряда;

4.добавление новых уравнений к совокупности значений временного ряда.

12.Значения коэффициента автокорреляции второго порядка характеризует связь между:

1.исходными уровнями и уровнем второго временного ряда;

2.исходными уровнями и уровнями другого ряда, сдвинутыми на 2 момента назад;

3.двумя временными рядами;

4.исходными уровнями и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 момента времени.

13.Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции третьего порядка, то исследуемый ряд содержит …

1.сезонные колебания с периодичностью в три момента времени;

2.линейный тренд, проявляющийся в каждом третьем уровне ряда;

3.случайную величину, влияющую на каждый третий уровень ряда;

4.нелинейную тенденцию полинома третьего порядка.

14.Если факторы входят в модель как сумма, то модель называется:

1. суммарной; 2. мультипликативной; 3. аддитивной; 4. производной. 15. Если факторы входят в модель как произведение, то модель называется:

1. суммарной; 2. мультипликативной; 3. аддитивной; 4. производной.

16.Под лагом подразумевается число …

1.периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции;

2.уровней исходного временного ряда;

67

3.пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции;

4.уровней ряда, сдвинутых при расчете коэффициента автокорреляции.

17.Уровнем временного ряда является …

1.значение временного ряда в конкретный момент (период) времени;

2.среднее значение временного ряда;

3.совокупность значений временного ряда;

4.значение конкретного момента (периода) времени.

18.Параметры уравнения тренда определяются ________методом наименьших квадратов

1. обычным; 2. двухшаговым; 3. обобщенным; 4. косвенным.

19.Аддитивная модель временного ряда имеет вид:

1. Y T S E; 2. Y T S E ; 3. Y T S E .

20. Мультипликативная модель временного ряда имеет вид: 1. Y T S E; 2. Y T S E ; 3. Y T S E .

21.Коэффициент автокорреляции:

1.характеризует тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда;

2.характеризует тесноту нелинейной связи текущего и предыдущего уровней ряда;

3.характеризует наличие тенденции;

4.характеризует отсутствие тенденции.

22.Аддитивная модель временного ряда строится, если:

1.значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов;

2.амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается;

3.отсутствует тенденция.

23.Мультипликативная модель временного ряда строится, если:

1.значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов;

2.амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается;

3.отсутствует тенденция.

24.На основе поквартальных данных построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 7 – I квартал, 9 – II квартал и –11 – III квартал. Значение сезонной компоненты за IV квартал есть:

1. 5; 2. –4; 3. –5; 4. 4.

25. На основе поквартальных данных построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 0,8 – I квартал, 1,2 – II квартал и 1,3 – III квартал. Значение сезонной компоненты за IV квартал есть:

1. 0,7;	2. 1,7;	3. 0,9;	4. 1,2.
			68

ПРИЛОЖЕНИЯ

СТАТИСТИКО-МАТЕМАТИЧЕКИЕ ТАБЛИЦЫ

1. Критические значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,1; 0,05; 0,1 (двухсторонний)

Число степеней свободы			α
	0,1		0,05	0,01
1	6.314		12.706	63.657
2	2.920		4.303	9925
3	2.353		3.182	5841
4	2.132		2.776	4604
5	2.015		2.571	4.043
6	1.953		2.447	3.707
7	1.895		2,365	3499
8	1.860		2,306	3.355
9	1.833		2.262	3.250
10	1.812		2.228	3.169
11	1.796		2.201	3 106
12	1.782		2.179	3.055
13	1.771		2.160	3.012
14	1.761		2.145	2.977
15	1.753		2.131	2.947
16	1.746		2.120	2921
[7	1.740		2.110	2898
18	1.734		2.101	2878
19	1.729		2.093	2861
20	1.725		2.086	2845
21	1.721		2.080	2831
22	1.717		2.074	2819
23	1.714		2.069	2807
24	1.711		2.064	2797
25	1.708		2.060	2.787
26	1.706		2.056	2779
27	1.703		2.052	2771
28	1.701		2.048	2.763
29	1.699		2.045	2.756
30	1.697		2.042	2.750
40	1 684		2.021	2.704
60	1.671		2.000	2.660
120	1 658		1.980	2.617
∞	1.645		1.960	2.576
		69

2 Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости

α=0,05

70