sbornik zadach_econometrics

Таблица 15.1

	Доверительные интервалы для параметров
Граница		регрессии
	а	b
Нижняя	???	0,011
Верхняя	226,58	???

Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов.

35. Получены функции:

у=a+bx3, y=a+blnx, lny=a+blnx, y=a+bxc, ya=b+cx2, y=1+a(1–xb), y=a+bx/10.

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

36. Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции

выглядит следующим образом:

уА = 600; уВ = 80 + 0,7х; уС = 40 х0,5.

Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для В и С были равны. Сравните эластичность затрат для продукции В и С при

х=1000.

37. Зависимость объема производства у (тыс.ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна характеризуется следующим

образом:	у=30–0,4х+0,04х2
уравнение регрессии
доля остаточной дисперсии в общей	20%
Определите:

1)индекс корреляции;

2)значимость уравнения регрессии;

3)коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых составляет 30 человек.

Домашнее задание

38. Зависимость объема продаж у, тыс. долл., от расходов на рекламу х, тыс. долл., характеризуется по 12-ти предприятиям концерна следующим образом (табл. 16.1)

	Таблица 16.1
Уравнение регрессии	у = 10,6 + 0,6х
Среднее квадратическое отклонение х	4,7
Среднее квадратическое отклонение у	3,4

Требуется:

1) Найдите стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии.

21

2)Оцените значимость коэффициента регрессии.

3)Определите доверительный интервал для коэффициента

регрессии с вероятностью 0,95 и сделайте экономический вывод. 39. При изучении зависимости потребления материалов у от объема производства продукции х по 20 наблюдениям были получены следующие

варианты уравнения регрессии:

1.у=3+2х

(6,48)

2.	lny=2,5+0,2·lnx	r2=0,68
	(6,19)
3.	y=1,1+0,8·lnx	r2=0,69
	(6,28)
4.	y=3+1,5x+0,1x2	r2=0,701

(3)(2,65)

Вскобках указаны фактические значения t-критерия. Определить коэффициент детерминации для 1-го уравнения. Запишите функции, характеризующие зависимость у от х во 2-м и 3-м уравнениях. Определить коэффициенты эластичности для каждого из уравнений. Выберите наилучший вариант уравнения регрессии.

40. Зависимость расходов предприятия (тыс. руб.) у от объема производства (шт.) х характеризуется данными, представленными в табл.17.1 по двум видам продукции – А и Б.

		Таблица 17.1
Уравнение регрессии	Показатели корреляции	Число наблюдений
уА = 160 + 0,8х	0,85	30
уБ = 50 х0,6	0,72	25

Требуется:

1)Поясните смысл величин 0,8 и 0,6 в уравнениях регрессии.

2)Сравните эластичность расходов от объема производства для продукции А и Б при выпуске продукции А в 500 единиц.

3)Определите, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность расходов на нее совпадала с эластичностью

расходов на продукцию Б.

41. По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс.руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс.руб.): у=20+700/х. Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19.

Определите:

1)индекс корреляции;

2)значимость уравнения регрессии;

3)коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс.руб.

22

Дополнительные задачи

42. Изучалась зависимость вида у = ахb. Для преобразованных в логарифмах переменных получены следующие данные:

YX 4,2087; X 8,237; X2 9,2334;

Y 3,931; (Y Yх )2 0,0014;п 9.

Определите параметр b. Найдите показатель корреляции, предполагая y 0,08. Оцените его значимость. Оцените значимость

уравнения регрессии.

43. Пусть имеется следующая модель регрессии у = 8 – 7х. Известно

также, что n = 30, (х

х

)2 270,

(у ух )2 448. Постройте

доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели с вероятностью 90%, 95% и 99%.

44.При исследовании зависимости объема производства у (тыс.ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна получено, что доля остаточной дисперсии в общей составляет 20%. Оценить значимость коэффициента корреляции.

45.Имеются следующие данные 12 областей о зависимости среднего размера ежемесячных назначенных пенсий у, тыс. руб. от прожиточного

минимума в среднем на одного пенсионера в месяц х, тыс. руб.:

х2

491762, (у ух )2

716,91,

х 33,37,

у 9,67. Оценить

значимость коэффициентов регрессии и корреляции.

46.Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость у от х: у = 8 – 7х. Известно также, что rxy = 0.8; n = 20. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 90% и 99%.

47.Предложить аналитическую форму модели по следующим данным (табл. 18.1):

Таблица 18.1

		yt			74					62				51						35			28				10				15				8					10
		xt			2,2					2,2				2,3						2,4			2,6				2,9				3,2				3,6					4
	48.					Предложить аналитическую форму модели по следующим
данным (табл. 19.1):																																				Таблица 19.1
	yt			40				47				45			57					65			60				55				84			76				94			96
	xt			30				33				40			43					46			49				55				56			58				59			63
			49.				Предложить аналитическую форму модели по следующим
данным (табл. 20.1):																																				Таблица 20.1
		yt				43			61					39			25				27			26				35				52				63				59
		xt				11,2			11,3				12,4				13				14,3			15,7				16,7				17,6				17,6			18,1
																				23

Тест 3

1.Критерий Стьюдента предназначен для определения значимости

1.построенного уравнения в целом;

2.коэффициента детерминации;

3.уравнения;

4.параметров регрессии.

2.Если доверительный интервал для параметра проходит через точку

ноль, то

1.значение параметра может принимать как отрицательные, так и положительные значения;

2.параметр является несущественным;

3.параметр является существенным;

4.параметр признается статистически значимым.

3.Параметр является существенным, если

1.доверительный интервал не проходит через ноль;

2.доверительный интервал проходит через ноль;

3.расчетное значение критерия Стьюдента меньше табличного значения;

4.стандартная ошибка превышает половину значения самого параметра.

4.Стандартная ошибка рассчитывается для проверки существенности

1.параметра;

2.коэффициента детерминации;

3.случайной величины;

4.коэффициента эластичностии.

5.Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента

1.равно нулю;

2.больше табличного значения критерия;

3.не больше табличного значения критерия;

4.меньше табличного значения критерия.

6.Назовите показатель корреляции для нелинейных моделей регрессии:

1.парный коэффициент линейной корреляции;

2.индекс детерминации;

3.линейный коэффициент корреляции;

4.индекс корреляции.

7.Линеаризация подразумевает процедуру …

1.приведения уравнения множественной регрессии к парной;

2.приведения нелинейного уравнения к линейному виду;

3.приведения линейного уравнения к нелинейному виду;

24

4.приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата.

8.К линейному виду нельзя привести:

1.линейную модель внутренне линейную;

2.нелинейную модель внутренне нелинейную;

3.линейную модель внутренне нелинейную;

4.нелинейную модель внутренне линейную.

9.Линеаризация не подразумевает процедуру …

1.включение в модель дополнительных существенных факторов;

2.приведение нелинейного уравнения к линейному;

3.замены переменных;

4.преобразования уравнения.

10.Значение индекса детерминации, рассчитанное для нелинейного уравнения регрессии характеризует …

1.долю дисперсии результативного признака, объясненную нелинейной регрессией в общей дисперсии результативного признака;

2.долю дисперсии результативного признака, объясненную линейной корреляцией в общей дисперсии результативного признака;

3.долю дисперсии результативного признака, объясненную линейной корреляцией в остаточной дисперсии результативного признака;

4.долю дисперсии результативного признака, объясненную линейной корреляцией в факторной дисперсии результативного признака.

11.Нелинейную модель зависимостей экономических показателей нельзя привести к линейному виду, если …

1.нелинейная модель является внутренне нелинейной;

2.нелинейная модель является внутренне линейной;

3.линейная модель является внутренне нелинейной;

4.линейная модель является внутренне линейной.

12.Оценить статистическую значимость нелинейного уравнения регрессии можно с помощью …

1.индекса корреляции;

2.критерия Фишера;

3.линейного коэффициента корреляции;

4.показателя эластичности.

13.Назовите показатель тесноты связи для нелинейных моделей регрессии:

1.индекс корреляции;

2.индекс детерминации;

3.линейный коэффициент корреляции;

25

4.парный коэффициент линейной корреляции.

14.Значение индекса корреляции, рассчитанное для нелинейного уравнения регрессии характеризует

1.тесноту случайной связи;

2.тесноту линейной связи;

3.тесноту нелинейной связи;

4.тесноту обратной связи.

15.Параметр b в степенной модели является:

1.коэффициентом детерминации;

2.коэффициентом эластичности;

3.коэффициентом корреляции;

4.индексом корреляции.

16.Какое уравнение регрессии нельзя свести к линейному виду:

1.yx a b lnx;

2.yx a xb :

3.yx a b xc .

17.Какое из уравнений является степенным:

1.yx a b lnx;

2.yx a xb :

3.yx a b xc .

18.Коэффициент корреляции rxy может принимать значения:

1.от –1 до 1;

2.от 0 до 1;

3.любые.

19. Для функции y a b средний коэффициент эластичности x

имеет вид:

b

x

1.

;

Э

a b

x

2.

b

;

Э

a

x

b

3.

b

x

.

Э

a b

x

20. Какое из следующих уравнений нелинейно по оцениваемым параметрам:

1.y a b x ;

2.y a b lnx ;

3.y a xb .

26

21.Для расчета параметров уравнения у=а+lnx необходимо иметь

___ наблюдений.

1.14;

2.ln14;

3.7;

4.10.

22.Уравнение вида у а bxc приводится к линейному виду

1.путем замены bхc =z;

2.путем замены lnх=x, lny=y, lna=a;

3.не приводится к линейному виду;

4.путем замены а/х=z.

23.Уравнение вида у а blnx приводится к линейному виду

1.путем замены в/х = z;

2.путем замены а/х = z;

3.путем замены lnх = z ;

4.не приводится к линейному виду.

				1
24.	Уравнение вида у а 1					приводится к линейному виду:
			1 х		b
	1)	не приводится к линейному виду;
	2)	путем замены хb =z;
	3)	путем замены 1/у=z;
	4)	путем замены ухb =z.
25.	Уравнение вида у а bex			приводится к линейному виду
	1.	путем замены в/х=z;

2.путем замены ex =z;

3.путем замены 1/y=z;

4.не приводится к линейному виду.

26.Уравнение вида у а bх приводится к линейному виду

1.не приводится к линейному виду;

2.путем замены х=z;

3.путем замены bx=z;

4.путем замены х2 =z.

27.Уравнение вида у а bх сх2 приводится к линейному виду

1.не приводится к линейному виду;

2.путем замены сх2 =z;

3.путем замены bх=z;

4.путем замены х2 =z.

28. Уравнение вида у 1 приводится к линейному виду:

аbх

1.путем замены 1/у=z;

27

2.путем замены 1/х=z;

3.не приводится к линейному виду;

4.путем замены ух=z.

29. Уравнение вида у а в приводится к линейному виду

х

1.путем замены в/х=z;

2.не приводится к линейному виду;

3.путем замены 1/х=z;

4.путем замены а/х=z.

30.Уравнение вида у а хb приводится к линейному виду

1.Путем замены lny=z;

2.Путем замены хb =z;

3.Путем замены lnx=X, lny=Y, lna=A;

4.Не приводится к линейному виду.

31.Основной целью линеаризации уравнения регрессии является. . . .

1.повышения существенности связи между рассматриваемыми переменными;

2.получение новых нелинейных зависимостей;

3.возможность применения метода наименьших квадратов для оценки параметров;

4.улучшение качества модели.

32.Для нелинейных уравнений метод наименьших квадратов применяется к …

1.не преобразованным линейным уравнениям;

2.обратным уравнениям;

3.преобразованным линеаризованным уравнениям;

4.нелинейным уравнениям.

33.У какой нелинейной регрессии коэффициент регрессии является коэффициентом эластичности

1.показательной;

2.степенной;

3.обратной;

4.гиперболы.

34.Нелинейным называется уравнение регрессии, если …

1.параметры входят нелинейным образом, а переменные линейны;

2.независимые переменные входят в уравнение нелинейным образом;

3.параметры и зависимые переменные входят в уравнение нелинейным образом;

4.зависимые переменные входят в уравнение нелинейным образом.

28

35.Если коэффициент регрессии является несущественным, то его значения приравниваются к …

1.табличному значению и соответствующий фактор не включается в модель;

2.нулю и соответствующий фактор не включается в модель;

3.единице и не влияет на результат;

4.нулю и соответствующий фактор включается в модель.

36.Нелинейное уравнение регрессии означает нелинейную форму зависимости между:

1.фактором и результатом;

2.фактором и случайной величиной;

3.результатом и факторами;

4.результатом и параметрами.

37.К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам могут быть отнесены следующие функции:

1.полиномы разных степеней;

2.степенная;

3.квадратичная;

4.равносторонняя гипербола.

38.Табличное значение t-критерия Стьюдента меньше расчетного t- критерия Стьюдента. Это значит:

1.коэффициент регрессии значительно отличается от нуля;

2.коэффициент регрессии не значительно отличается от нуля;

3.все коэффициенты уравнения регрессии равны нулю;

4.выводы сделать нельзя.

39.Коэффициент эластичности в линейной регрессии совокупного спроса на мобильные телефоны (тыс. руб.) по цене (руб.) оказался равным –1. Это означает:

1.увеличение цены на 1% снижает спрос на мобильные телефоны

на 1%;

2.увеличение цена на 1 рубль снижает спрос на мобильные телефоны на 1%;

3.увеличение цены на 1% снижает спрос на мобильные телефоны на 1 тысячу рублей;

4.увеличение цены на 1 рубль снижает спрос на мобильные телефоны на 1 тысячу рублей;

5.полученное число никак не интерпретируется.

40.Уравнение множественной регрессии характеризуется

следующими средними коэффициентами эластичности: Э1 0,215 и

Э2 0,365. Какой из факторов (х1		или х2) оказывает большее влияние на
результативный признак?
1. х1 < х2	2. х1 > х2	3. х1=х2
		29

Глава 2

Множественная регрессия и корреляция

§2.1. Построение эконометрической модели.

Оценка параметров регрессии методом наименьших квадратов.

Контрольные вопросы

1.Назовите, в чем состоит спецификация модели множественной регрессии.

2.Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включения их в модель множественной регрессии.

3.К каким трудностям приводит мультиколлинеарность факторов, включенных в модель, и как они могут быть разрешены?

4.Чем различаются уравнения множественной регрессии в натуральном и стандартизованном масштабе?

5.Каковы свойства стандартизованных переменных?

6.Как связаны между собой коэффициенты уравнения множественной линейной регрессии в натуральном и стандартизованном масштабе?

Задачи

50. Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (таблица 1.2, в тыс.руб):

			Таблица 1.2
Семья	Накопления, у	Доход, х1	Имущество, х2
1	3	4,	60
2	6	55	36
3	5	45	36
4	3,5	30	15
5	1,5	30	90
Задание:

1)Оцените регрессию.

2)Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 40 тыс. руб. и имущество стоимостью 25 тыс. руб.

3)Предположим, что доход семьи возрос на 10 тыс. руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрастут ее накопления.

4)Оцените, как возрастут накопления семьи, если ее доход вырос на 5 тыс. руб., а стоимость имущества увеличилась на 15 тыс. руб.

52. Изучается зависимость по 30 территориям России среднедневного душевого дохода у (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего х1 (руб.) и среднего возраста безработного х2 (лет). Данные приведены в таблице 2.2.

30