10.5. Условный экстремум

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторым дополнительным условиям (условиям связи). Такие экстремумы называются условными.

Рассмотрим общую постановку задачи нахождения условного экстремума. Пусть задана функция m+n переменных

, (10.5)

для которой нужно найти условный экстремум при наличии m условий связи:

(10.6)

Будем говорить, что функция (10.5) имеет условный экстремум при наличии связей (10.6) в точке M₀, координаты которой удовлетворяют условиям связи, если ее значение в этой точке является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями функции в точках некоторой окрестности точки M₀, координаты которых удовлетворяют условиям связи.

Рис. 10.3.

ример 8. Найти экстремум функции

при условии, чтоx и y связаны уравнением x+y–1=0.

Решение. Из уравнения связи следует, что y=x–1 и . Таким образом, при выполнении условия связи исходная функция становится функцией одной переменной. Ее экстремум находится элементарно: приравниваем нулю ее производную, получим2x–1=0, откуда x=1/2. В этой точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум. Значению x=1/2 , согласно уравнению связи, соответствует y=1/2 . Следовательно, в точке исходная функция достигает минимума относительно уравнения связи. Геометрически это означает, что точка параболоида, находящаяся над точкой, является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямойx+y–1=0 (рис. 10.3). Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает условного экстремума, не является, вообще говоря, точкой экстремума этой функции.

Однако на практике решение системы (10.6) оказывается в явном виде невозможным или весьма затруднительным, поэтому для отыскания точек условного экстремума чаще используют метод неопределенных множителей Лагранжа , который основан на следующей теореме:

Теорема. Пусть точка M₀ является точкой условного экстремума функции u=f(M) при выполнении уравнений связи (10.6). Тогда существуют такие числа ₁, ₂, …, _m, что в точке M₀ будут выполняться условия

. (10.7)

Функцией Лагранжа для данной функции u=f(M) называется функция

(10.8)

Из теоремы следует, что если точка M₀ является точкой условного экстремума функции u=f(M), то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т.е. должны выполняться условия:

(10.9)

Таким образом, для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m уравнений (10.6) и (10.9) относительно неизвестных x₁,…,x_n, ₁,…,_m и решить ее (если это окажется возможным), найдя x₁,…,x_n и по возможности исключив ₁,…,_m. Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находиться среди найденных таким образом точек. Вопрос о том, какие же из них фактически будут точками условного экстремума, требует дополнительного исследования.

В случае функции двух переменных при одном уравнении связифункция Лагранжа имеет вид. Система уравнений (10.6) и (10.9) будет содержать три уравнения: