metodichka

наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при

x n : p q

m

n

P

p

2Ф

.

n

p q

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від імовірності події за абсолютною величиною не більше як на 0,2.

2.Французький вчений Бюфон кинув монету 4040 разів, причому “герб” з’явився 2048 раз. Знайти ймовірність того, що при повторенні досліду Бюфона відносна частота появи “герба” відхилиться від ймовірності появи “герба” за абсолютною величиною не більше ніж в досліді Бюфона.

3.Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменшу кількість випробувань n, при якій з імовірністю 0,99 можна було б очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на

0,04.

4.Ймовірність появи події в кожному з 10 000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти таке додатне число , щоб з ймовірністю 0,98 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності р = 0,75 не перевищила .

5.Відділ технічного контролю перевіряє 475 виробів на брак. Ймовірність того, що виріб бракований, дорівнює 0,05. Знайти з ймовірністю 0,95 межі, в яких буде знаходитись число m бракованих виробів серед перевірених.

Варіант 2.

1.Ймовірність появи події в кожному з 10 000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її імовірності за абсолютною величиною не більше як на 0,01.

2.В урні є білі та чорні кульки у відношенні 4 : 1. Після вилучення кульки реєструється її колір і кулька знову повертається в урну. Чому дорівнює найменша кількість вилучень n, при якій з імовірністю 0,95 можна було б очікувати, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи білої кульки від її імовірності буде не більшою за 0,01?

3.Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробуваннях дорівнює 0,5. Знайти таке додатне число , щоб з ймовірністю 0,77 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її імовірності р = 0,5 не перевищила .

4.Гральний кубик кидають 80 раз. Знайти з ймовірністю 0,99 межі, в яких буде знаходитись число m випадань шістки.

§ 3.4 Найімовірніше число появи події в незалежних випробуваннях

Теоретичні відомості.

Число k0 (настання події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p ) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія настане в цих випробуваннях k0 раз, перевищує (або, хоча б, не менше) ймовірності інших можливих результатів випробувань.

Найімовірніше число випробувань k0 знаходять з подвійної нерівності:

n p q k0 n p p ,

причому:

а) якщо число np q – дробове, то існує лише одне найімовірніше число k0 ;

б) якщо число np q – ціле, то існує два найімовірніших числа,

а саме: k0 та k0 1;

в) якщо число np – ціле, то найімовірніше число k0 np.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Відділ технічного контролю перевіряє партію з 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

2.Два стрілці стріляють по мішені. Ймовірність промаху в одному пострілі для першого стрілця дорівнює 0,2, для другого – 0,4. Знайти найімовірніше число залпів, в яких не буде жодного влучення в мішень, якщо стрілці виконають 25 залпів.

3.Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,3. Знайти кількість випробувань n, при якій найімовірніше число появи події в цих випробуваннях дорівнює 30.

4.Чому дорівнює ймовірність p появи події в кожному з 49

незалежних випробувань, якщо найімовірніше число появи події в цих випробуваннях дорівнює 30?

5.Батарея зробила шість пострілів по об’єкту. Ймовірність влучення по об’єкту в одному пострілі дорівнює 0,3. Знайти: а) найімовірніше число влучень; б) ймовірність най імовірнішого числа влучень; в) ймовірність того, що об’єкт буде знищено, якщо для цього достатньо принаймні двох влучень.

Варіант 2.

1.Товарознавець перевіряє 24 зразки товару. Ймовірність того, що кожен із зразків буде визнано придатним до продажу, дорівнює 0,6. Знайти найімовірніше число зразків, які товарознавець визнає придатними до продажу.

2.Два стрілці одночасно стріляють в мішень. Ймовірність влучення в мішень в одному пострілі для першого стрілця дорівнює 0,8, для другого – 0,6. Знайти найімовірніше число залпів, в яких обидва стрілці влучать в мішень, якщо буде виконано 15 залпів.

3.Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти кількість випробувань n, при якій найімовірніше число появи події дорівнює 20.

4.Чому дорівнює ймовірність p появи події в кожному з 39 незалежних випробувань, якщо найімовірніше число появи події в цих випробуваннях дорівнює 25?

5.Прилад складається з п’яти елементів, що працюють незалежно. Ймовірність відмови елемента в момент вмикання приладу дорівнює 0,2. Знайти: а) найімовірніше

число елементів, які відмовлять; б) ймовірність найімовірнішого числа елементів, що відмовлять; в) ймовірність відмови приладу, якщо для цього достатньо, щоб відмовили принаймні чотири елементи.

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Розділ 4. ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

§ 4.1 Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Біноміальний закон та закон Пуассона

Теоретичні відомості.

Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (тобто, між сусідніми можливими значеннями немає інших можливих значень), які ця величина набуває з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна пронумерувати.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм імовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може задаватись у вигляді таблиці, перший рядок якої містить можливі значення хі, а другий – ймовірності рі:

Х		х1	х2	…	хn
Р		р1	р2	…	рn

n

де pi 1.

i 1

Біноміальним називають закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появ події в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р; ймовірність можливого значення Х = k (числа k появ події) знаходять за формулою Бернуллі:

Pn k Cnk pk qn k .

Якщо число випробувань велике, а ймовірність появи події р в кожному випробуванні дуже мала, то користуються

наближеною формулою
P k	k e	,
n	k!

де k – число появ події в n незалежних випробуваннях, np (середнє число появи події в n випробуваннях) та кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Пристрій складається з трьох елементів, що працюють незалежно. Ймовірність відмови кожного елемента в одному досліді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досліді.

2.Два гральних кубика одночасно кидають 2 рази. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадань парної кількості очок на двох гральних кубиках.

3.В партії з 10 деталей є 8 стандартних. Навмання відібрано дві деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних.

4.Екзаменатор дає студенту додаткові питання. Ймовірність того, що студент відповість на будь-яке задане питання, дорівнює 0,9. Викладач припиняє екзамен, за умови, що студент не знає заданого питання. Необхідно: а) скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа додаткових питань, що будуть задані студенту; б) знайти найімовірніше число k0 заданих студенту додаткових питань.

5.З двох гармат по черзі ведуть постріли по мішені до першого влучення однією з гармат. Ймовірність влучення в мішень з першої гармати дорівнює 0,3, а з другої – 0,6. Першою

починає стріляти перша гармата. Скласти закони розподілу дискретних випадкових величин Х та Y – числа витрачених снарядів відповідно першою та другою гарматами.

6.Верстат-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою дорівнює 0,01. Знайти перших чотири члени закону розподілу числа бракованих деталей серед вироблених 200.

Варіант 2.

1.В партії деталей 10% нестандартних. Навмання відібрано 4 деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних та побудувати многокутник отриманого розподілу.

2.Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появ герба при двох киданнях монети.

3.В партії з 6 деталей є 4 стандартних. Навмання відібрано три деталі. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед відібраних.

4.Ймовірність того, що стрілець влучить в мішень з одного пострілу, дорівнює 0,8. Стрілцю послідовно видають патрони доти, доки він не влучить. Необхідно: а) скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа патронів, виданих стрілцю; б) знайти найімовірніше число

k0 виданих стрілкцю патронів.

5.Два бомбардувальники по черзі скидають бомби на об’єкт до першого влучення. Ймовірність влучення для першого бомбардувальника дорівнює 0,7, а для другого – 0,8. Першим починає скидати бомби перший бомбардувальник. Знайти перших чотири члени закону розподілу дискретної випадкової величини Х – числа скинутих бомб обома бомбардувальниками.

6.Пристрій складається з 1000 елементів, що працюють незалежно. Ймовірність відмови будь-якого елемента за час t дорівнює 0,002. Знайти перших три члени закону розподілу дискретної випадкової величини Х – відмов елементів за час t .

§ 4.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин

Теоретичні відомості.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх її можливих значень на ймовірності цих значень:

n

M(X) x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi .

i 1

Математичне сподівання має такі властивості:

1. Математичне сподівання сталої величини С дорівнює цій сталій:

М(С) = С;

2.Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання :

М(СХ) = С М(Х);

3.Математичне сподівання суми скінченного числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

M(X1 + X2 + … + Xn) = M(X1) + M(X2) + … + M(Xn);

4.Математичне сподівання добутку скінченного числа незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

M(X1 · X2 · … · Xn) = M(X1) · M(X2) · … · M(Xn).

5.Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом

M(X) = np.

Розсіювання значень дискретної випадкової величини навколо її середнього значення, тобто математичного сподівання, характеризується дисперсією і середнім квадратичним відхиленням.

Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання і позначається символом D(X).

D X M X M X 2 .

Дисперсію зручно обчислювати за формулою:

D X M X 2 M 2 X .

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулеві, тобто

D(С) = 0.

2.Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, попередньо піднісши його до квадрату

D(СХ) = С2D(Х).

3.Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин

D(Х1 + Х2 + … + Хn) = D(Х1) + D(Х2) + … + D(Хn).

4. Дисперсія випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом

D(Х) = npq.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії і позначається символом (x) або x. Тобто

(x) D(х) .

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, що задана законом розподілу:

Х		– 4	6	10
Р		0,2	0,3	0,5

2. Знайти математичне сподівання випадкової величини

ZX 2Y , коли відомо, що M Х 5, М Y 3.

3.Дано перелік можливих значень дискретної випадкової

величини Х:	x1	1, x2 0 ,		x3 1,			а також математичне
сподівання	цієї	величини		та	її	квадрату:		M X 0,1,
M X 2 0,9. Знайти ймовірності						p1 ,	p2 , p3 ,	які відпові-
дають можливим значенням x1 ,					x2 ,	x3 .
4. Випадкові величини X			та Y	незалежні. Знайти дисперсію
випадкової	величини		Z 3X 2Y ,				коли	відомо, що
D X 5, D Y 6.

5.	Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення
	дискретної випадкової величини Х, що задана законом
	розподілу:
		Х			4,3		5,1		10,6
		Р			0,2		0,3		0,5
6.	Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення
	дискретної випадкової величини Х – числа появ події A в
	п’яти незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи
	події A в кожному випробуванні дорівнює 0,2.
7.	Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа
	появ події		A в двох			незалежних		випробуваннях, якщо
	ймовірність появи події в цих випробуваннях однакова і
	відомо, що M X 1,2.