metodichka

ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Розділ 6. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД

§ 6.1 Статистичний розподіл вибірки

Теоретичні відомості.

Нехай для вивчення кількісної (дискретної чи неперервної)

ознаки X	з генеральної сукупності	вилучено вибірку
x1, x2 , ..., xk	об’єму n. Значення xi ,	що спостерігались,

називають варіантами, а послідовність варіант, що записані у зростаючому порядку – варіаційним рядом.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант xi варіаційного ряду і відповідних їм частот ni або відносних частот i (сума усіх частот дорівнює об’єму вибірки n, сума усіх відносних частот дорівнює одиниці).

Статистичний розподіл вибірки можна задати також у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (за частоту інтервалу приймають суму усіх частот варіант, що потрапили в цей інтервал).

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.	Вибірку задано у вигляді розподілу частот.
		xi		2	5		7	9
		ni		1	3		5	1
	Знайти розподіл відносних частот.
					Варіант 2.
1.	Вибірку задано у вигляді розподілу частот.
		xi		4	7		8	12
		ni		5	2		3	10

Знайти розподіл відносних частот.

§ 6.2 Емпірична функція розподілу

Теоретичні відомості.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F x , що визначає для кожного значення x відносну частоту події X x :

F x nx , n

де nx – кількість варіант менших за x; n – об’єм вибірки. Емпірична функція має такі властивості:

1.Значення емпіричної функції належать відрізку 0 ; 1 .

2.F x – неспадна функція.

3. Якщо x1	– найменша варіанта, а xk		– найбільша, то
F x 0	при x x	та F x 1 при x x	k	.
	1

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки, та побудувати її графік.

xi		2	5	7	8
ni		1	3	2	4

Варіант 2.

1.Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки, та побудувати її графік.

xi		3	7	8	10
ni		4	2	3	1

§ 6.3 Полігон та гістограма

Теоретичні відомості.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки x1, n1 , x2 , n2 , …, xk , nk , де xi – варіанти вибірки, а ni – відповідні їм частоти.

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки

якої з’єднують точки	x1, 1 , x2 , 2 ,	…, xk , k	,	де xi –
варіанти вибірки, а i	– відповідні їм відносні частоти.
При неперервному розподілі весь		інтервал,	в	якому

знаходяться всі значення, що спостерігаються, розбивають на ряд підінтервалів довжиною h та знаходять ni – суму частот варіант, що попали в i -ий підінтервал. Гістограмою частот називають сходинкоподібну фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні підінтервали

	довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню	ni	(	ni	–
		h		h

густина частоти).

Гістограмою відносних частот називають сходинкоподібну фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні підінтервали довжиною h, а висоти

дорівнюють відношенню	i	(	i	– густина відносної частоти).
	h
			h

Практичні завдання.

Варіант 1.

1. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:

xi		2	3	5	6
ni		10	15	5	20

2. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки:

xi		2	4	5	7	10
ni		10	15	45	5	25

3. Побудувати гістограму частот за даним розподілом вибірки:

	Номер	Підінтервал		Сума частот	Густина
	інтервалу			варіант інтервалу	частоти
		xi	xi 1
	i			ni	ni /h
	1	2	– 7	5
	2	7 – 12		10
	3	12	– 17	25
	4	17	– 22	6
	5	22	– 27	4

Варіант 2.

1. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:

xi		1	4	5	9
ni		5	15	5	20

2. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки:

xi		15	20	25	30	35
ni		10	30	15	5	40

3. Побудувати гістограму частот за даним розподілом вибірки:

	Номер	Підінтервал		Сума частот	Густина
	інтервалу			варіант інтервалу	частоти
		xi	xi 1
	i			ni	ni /h
	1	3	– 5	4
	2	5	– 7	6
	3	7	– 9	20
	4	9 – 11		40
	5	11	– 13	20
	6	13	– 15	4
	7	15	– 17	6

Розділ 7. СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ

§ 7.1 Точкові оцінки Теоретичні відомості.

Статистичною оцінкою Q невідомого параметра Q

теоретичного розподілу називають функцію							f X1,	X2 , ...,			Xn
від випадкових величин X1, X2 , ...,				Xn , що спостерігаються.
Точковою називають статистичну оцінку, що визначається
одним числом	Q f x , x	2	, ...,	x	n	, де	x , x	2	, ..., x	n	–
результати n	1						1				X
	спостережень		над		кількісною ознакою
(вибірка).

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої дорівнює параметру, що оцінюється, при будьякому об’ємі вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює параметру, що оцінюється.

Незміщеною	оцінкою						генеральної				середньої
(математичного сподівання) є вибіркова середня
					k
					ni	xi
	x	B		i 1			,
					n
											k
де xi – варіанта вибірки, ni – частота варіанти xi ,											n ni –
об’єм вибірки.											i 1
Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії є вибіркова
дисперсія
				k				2
				ni xi		xB
	DB		i 1							;
					n

ця оцінка є зміщеною, оскільки

М D			n 1	D		.
	B				Г
			n

Зручнішою є формула

		2			2		ni xi2
DB x
			x				n

ni xi		2
	n	.

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія

	s2	n		D		.
		n 1			B

Практичні завдання.

Варіант 1.

1. З генеральної сукупності зроблено вибірку об’єму n 60.

xi		1	3	6	26
ni		8	40	10	2

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

2.З вибірки об’єму n 41 знайдено зміщену оцінку DB 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

3.Внаслідок п’яти вимірювань довжини деталі одним приладом (без систематичних похибок) отримано такі результати (у мм): 92, 94, 103, 105, 106. Знайти: а) вибіркову середню довжину деталі; б) вибіркову та виправлену дисперсії похибок приладу.

4.Задано генеральну сукупність, яка характеризує річний прибуток фермерів (в тис грн). З неї зроблено вибірку з 20 елементів. Виконати такі вправи:

а) побудувати статистичний розподіл вибірки та його емпіричну функцію розподілу;

б) обчислити числові характеристики вибірки та зробити з їх допомогою висновок про генеральну сукупність;

в) побудувати полігони частот і відносних частот та гістограму, розбивши інтервал на 4 рівних підінтервали;

г) знайти моду, медіану, розмах та коефіцієнт варіації.

вибірка

10, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 13, 15, 14, 15, 14, 16, 12, 14, 16, 14, 16, 15, 13

Варіант 2.

1. З генеральної сукупності зроблено вибірку об’єму n 50.

xi		2	5	7	10
ni		16	12	8	14

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

2.З вибірки об’єму n 51 знайдено зміщену оцінку DB 5 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

3.Внаслідок чотирьох вимірювань деякої фізичної величини одним приладом (без систематичних похибок) отримано такі результати: 8, 9, 11, 12. Знайти: а) вибіркову середню результатів вимірювань; б) вибіркову та виправлену дисперсії похибок приладу.

4.Задано генеральну сукупність, яка характеризує річний прибуток фермерів (в тис грн). З неї зроблено вибірку з 20 елементів. Виконати такі вправи:

а) побудувати статистичний розподіл вибірки та його емпіричну функцію розподілу;

б) обчислити числові характеристики вибірки та зробити з

їх допомогою висновок про генеральну сукупність; в) побудувати полігони частот і відносних частот та

гістограму, розбивши інтервал на 4 рівних підінтервали; г) знайти моду, медіану, розмах та коефіцієнт варіації.

вибірка

7, 8, 5, 11, 7, 9, 10, 7, 5, 14, 8, 11, 10, 9, 4, 8, 11, 9, 11, 8.

§ 7.2 Інтервальні оцінки Теоретичні відомості.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу, який покриває параметр, що оцінюється.

Довірчим називають інтервал, який з заданою надійністю покриває заданий параметр.

1. Інтервальною оцінкою (з надійністю ) математичного сподівання а нормально розподіленої кількісної ознаки X по вибірковій середній xВ при відомому середньому квадратичному відхиленні генеральної сукупності є довірчий інтервал

x

В

t

a

x

В

t

,

n

n

де

t

– точність оцінки, n – об’єм вибірки, t

– значення

n

інтегральної функції Лапласа Ф t ,

аргумента

при якому

Ф t ; при невідомому (та об’ємі вибірки n 30)

2

x

В

t

s

a

x

В

t

s

,

n

n

де s – “виправлене” вибіркове середнє квадратичне відхилення, t знаходять за таблицею по заданих n та .

2. Інтервальною оцінкою (з надійністю ) середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої кількісної

ознаки X по “виправленому” вибірковому середньому квадратичному відхиленню s є довірчий інтервал

s 1 q			s 1 q , коли q 1;
0			s 1 q , коли q 1,

де q знаходять за таблицею по заданих n та .

3. Інтервальною оцінкою (з надійністю ) невідомої ймовірності p біноміального розподілу по відносній частоті

є довірчий інтервал (з наближеними кінцями p1 та p2 )

де

p1

p

p2 ,

n

t

2

1

t

2

p

2

t

,

1

t2

n

2n

n

2n

n

t

2

1

t

2

p

2

t

,

2

t2

n

n

2n

2n

де n – загальна кількість випробувань, m – кількість появ події,

m – відносна частота, t – значення аргумента функції n

Лапласа Ф t , при якому Ф t . 2

При великих значеннях n (понад сотню) за наближені границі довірчого інтервалу можна взяти

p1 t		1		,	p1 t		1		.
		n					n

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Одним і тим самим приладом з середнім квадратичним відхиленням випадкових похибок вимірювань 40 м